Том 1 (1113042), страница 65

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

29 . Доказать, что произведение двух подгрупп группы яв­ляется группой тогда и только тогда, когда эти подгруппы пере­становочны.39 . 30. Доказать , что множества p'll , р Е N, исчерпывают всененулевые подгруппы аддитивной группы Z целых чисел.39 . 3 1 . Доказать , что множество линейных функций образуетподгруппу группы дробно-линейных функций задачи 39 . 5.39 . 32 . Существует ли бесконечная группа, содержащая лишьдве тривиальные подгруппы?-Глава Х.

Элементы общей алгебры35639 . 33 . Доказать, что любая бесконечная группа содержитбесконечно много нетривиальных подгрупп.39. 34. Доказать, что конечная группа имеет лишь две три­виальные подгруппы - { е} и G тогда и только тогда, когда еепорядок - простое число.39 .35. Указать все (с точностью до изоморфизма) конечныегруппы, имеющие р9вно одну нетривиальную подгруппу.39 . 36. Доказать , что любая группа либо имеет лишь -две три­виальные подгруппы, либо имеет коммутативную подгруппу.39 . 37. Найти все (с точностью до изоморфизма ) группы,каждая из которых изоморфна любой своей неединичной под­группе.-С м е ж н ы е к л а с с ы.

Н о р м а л ь н ы й д е л и т е л ь39 . 38. Является ли смежный класс группой?39 .39. Доказать, что меж,цу любыми двумя смежными клас­сами по одной подгруппе Н группы G можно установить взаимнооднозначное соответствие.39.40. Пусть Н - подгруппа группы G. Доказать , что бинар­ное отношение: aRb , если и Ь находятся в одном левом ( соот­ветственно правом) смежном классе по подгруппе Н, являетсяотношением эквивалентности на множестве G.39. 4 1 . Доказать, что элементы, обратные к элементам левогосмежного класса по произвольной подгруппе, образуют правыйсмежный класс по этой подгруппе.39 .42 .

Доказать, что произведение двух левых смежныхклассов по подгруппе Н является левым смежным классом поэтой подгруппе тогда и только тогда, когда Н - нормальныйделитель.39 .43 . Доказать, что отношение сопряженности элементовгруппы G является отношением эквивалентности на множествеG.39 .44. Найти смежные классы:а) аддитивной группы Z целых чисел по подгруппе pZ чисел,кратных данному натуральном у числу р;б) аддитивной группы IR действительных чисел по подгруппеZ целых чисел ;в) аддитивной группы целых чисел , кратных 3, по подгруппечисел, кратных 24;а357§39 . Группаг ) аддитивной группы Q рациональных чисел по подгруппеZ целых чисел;д) мультипликативной группы ненулевых действительныхчисел по подгруппе 1R + положительных действительных чисел;е) мультипликативной группы ненулевых действительных чи­сел по подгруппе { - 1 ; 1 } .39.45.

Найти смежные классы:а) аддитивной группы векторов плоскости по подгруппе век­торов, лежащих на оси абсцисс Ох;б) группы всех параллельных переносов пространства Vз иззадачи 39.3(10) по подгруппе параллельных переносов на векто­ры, коллинеарные фиксированному вектору а =/:. О;в ) группы всех поворотов плоскости V2 вокруг заданной точ­ки О по подгруппе поворотов на угол , кратный 2 rг /n, где п > 2 ,п Е Z;г ) симметрической группы Sn по подгруппе перестановок,оставляющих п на месте;д) аддитивной группы действительных многочленов степенине выше 5 по подгруппе многочленов степени не выше 3 ;е) аддитивной группы действительных многочленов степенине выше 4 по подгруппе многочленов , имеющих число хОсвоим корнем .39 .46. Пусть Gаддитивная группа квадратных матрицIR.

n x n . Найти ее смежные классы :а) по подгруппе симметрических матриц;б) по подгруппе кососимметрических матриц;в) по подгруппе нижних треугольных матриц.39.47. Пусть G мультипликативная группа невырожденныхматриц А Е JR n x n . Найти ее левостороннее и правостороннее раз­ложения:а) по подгруппе всех невырожденных диагональных матриц ;б) по подгруппе матриц перестановок;в) по подгруппе верхних треугольных матриц с единичнымидиагональными элементам ;г ) по подгруппе матриц с определителем, равным 1 .39 . 48. Найти левые и правые смежные классы группыдробно-линейных функций ( задача 39.5) по подгруппе линейных=--функций видау =ах + ь ,Ох + 1гдеа, ЬЕ JR ,а =/= О.Является ли этаГлава Х.

Элементы общей алгебры358подгруппа нормальным делителем?39 .49 . Пусть G мультипликативная группа невырожденныхматриц второго порядка.-1 ) Доказать , что подмножество Н всех матриц вида[ � � ],где а Е JR , образует подгруппу.2 ) Показать, что подгруппа Н изоморфна аддитивной группеJR вещественных чисел .3) Найти левые и правые смежные классы группы G по под­группе Н. Является ли подгруппа Н нормальным делителем?39 . 50 . Пусть 9 группа из задачи 39.6 .1) Доказать, что множество 1t всех подмножеств множестваМ, дополнение которых содержит заданное подмножество Ао ,образует подгруппу. Является ли эта подгруппа нормальным де­лителем?2 ) Построить разложение группы g по подгруппе Н .39 .

5 1 . Доказать, что в любой группе перестановок, содержащей хотя бы одну нечетную перестановку:а ) число четных перестановок равно числу нечетных;б) четные перестановки образуют нормальный делитель.39 . 5 2 . Указать все нетривиальные подгруппы симметрической группы Sз . Находя правые и левые смежные классы поэтим подгруппам , выяснить, какие из этих подгрупп являютсянормальными делителями.-П о р я д о к э л е м е н т а.

Ц и к л и ч е с к и е г р у п п ы[[]39 . 53. Найти порядок элемента:cos аs1n аа)мультипликативной группы невырож- siп аc os аденных матриц второго порядка ;si n ( 2 1Г / n )co s(21Г/n )мультипликативной группыб)sin(21Г / п ) со s(21Г / п )невырожденных матриц второго порядка;о 1 о оо о 1 ов)о о о 1 мультипликативной группы невырожден1 о о оных м атриц четвертого порядка ;---]§39. Группа(�д) (�г); � i � ) группы 85 ;; � : � � ) груп пы 86 .35939 .

54. Найти порядки всех элементов:а) аддитивной группы вычетов Z в ;б) мультипликативной группы Z 5 \ { О} .39 . 55 . Выяснить, элементы каких конечных порядков содер­жатся:а) в мультипликативной группе положительных рациональ­ных чисел;б) в мультипликативной группе ненулевых рациональных чи­сел ;в) в мультипликативной группе невырожденных диагональ­ных матриц порядка п > 2 ;г) в мультипликативной группе невырожденных матриц по­рядка п > 2.39 .

56 . Показать, что в мультипликативной группе невырож­денных матриц существует бесконечно много элементов второгопорядка.39 . 57. Привести пример бесконечной группы, в которой каж­дый элемент имеет конечный порядок.39 . 58. Доказать, что если элемент а группы имеет конечныйпорядок п , то элементы 1 , а, а 2 , . . . , а n - 1 различны.39 . 59 . Доказать, что элемент а группы имеет порядок п , тоak = 1 тогда и только тогда, когда k делится на п нацело.39 . 60. Доказать, что циклическая группа простого порядкапорождается любым своим неединичным элементом .39 . 6 1 .

Доказать, что если элемент а группы имеет порядок1 ап- 1 .п , то а 39 . 62 . Доказать, что во всякой группеа) элементы аЬ и Ьа имеют один и тот же порядок;б) элементы а и Ьа ь - 1 имеют один и тот же порядок;в) элементы аЬс, Ьса и саЬ имеют одинаковый порядок;г ) элементы аЬс и сЬа могут иметь разные порядки .39 . 63. Пусть элементы а и Ь группы G имеют конечный по­рядок и аЬ Ьа. Доказать, что:а) если порядки элементов а и Ь взаимно просты, то порядокпроизведения аЬ равен произведению их порядков;==Глава Х. Элементы общей алгебры360б) существуют показатели k и l такие, что порядок произве­дения a k ьz равен наименьшему общему кратному порядков эле­ментов а и Ь .Верны ли эти утверждения для некоммутирующих элементова и Ь?39 .64.

Найти порядок элемента ak , если порядок элемента аравен п.39 . 65 . Найти все образующие элементы аддитивной группыцелых чисел.39 . 66. В циклической группе { а } порядка п найти все элемен­ты g , удовлетворяющие условию gk = 1, и все элементы порядкаk приа) п = 24, k = 6; б) п = 24, k = 4 ; в) п = 100, k = 20 ;г) п = 100, k = 5 ; д) п = 360, k = 30;е) п = 360, k = 12; ж) п = 360, k = 7.39 .67 . Пусть G группа из п элементов . Доказать, что G ={ а } тогда и только тогда, когда п - порядок элемента а.39 .68. Доказать, что порядок любого элемента конечнойгруппы является делителем порядка группы .39 .69 . Доказать, что конечная группа простого порядка яв­ляется циклической и порождается любым своим неединичнымэлементом .39 .

70. Доказать, что в аддитивной группе п-го порядка длялюбого элемента а имеет место равенствоп а = О.39 . 71 . Доказать, что любая подгруппа циклической группы- тоже циклическая.39 . 72 . Пусть G = { а } конечная циклическая группа поряд­ка п. Доказать утверждения:а ) порядок любой подгруппы группы G делит порядок п этойгруппы ;б) для любого делителя d числа п существует единственнаяподгруппа Н группы G, имеющая порядок d ;в) подгруппа Н порядка d содержит в качестве образующихвсе элементы порядка d группы G. В частности, Н = {a n / d } .39 .

73 . Доказать, что если циклическая подгруппа являетсянормальным делителем , то либо групповая операция коммута­тивна, либо подгруппа конечна.--§39 . Группа36139. 7 4. Найти число элементов порядка рт в циклическойгруппе порядка pn , где р - простое число, О < m < п .39 . 75. Найти все подгруппы:а) циклической группы порядка 6;б ) циклической группы порядка 24 ;в) циклической группы порядка 100;г ) циклической группы порядка рп (р -простое число) .39 . 76. Пусть G = { а } циклическая группа порядка п иЬ = ak . Доказать , что:а) элемент Ь тогда и только тогда будет образующим группыG, когда числа п и k взаимно просты;б ) порядок элемента Ь равен n/ d, где d - наибольший общийделитель п и k;в) всякая подгруппа Н С G порождается элементом вида a d ,где d - делитель п;г ) для всякого делителя d числа п существует единственнаяподгруппа Н С G порядка d.39 . 77.

Характеристики

Список файлов книги