Том 1 (1113042), страница 68
Текст из файла (страница 68)
54. Решить систему уравненийх + 2z· = 1 , у + 2z = 2, 2х + z = 2а) в поле Zз ; б) в поле Z 5 .40 . 55 . Решить систему уравненийЗх + у + 2z = 1 , х + 2у + Зz = 1, 4х + Зу + 2z = 1а ) в поле Z5 ; б) в поле Z 7 .40 .56. Какие из уравнений:а) х 2 = 5;. б) х 7 = 7 ; в) х 3 = аимеют решения в поле Z1 1 ? Если имеют, то сколько их?40. 57. Пусть Gp - кольцо матриц вида[ -� � ] с элементами а , из кольца вычетов Zp .
Доказать, что:а ) Gp - коммутативное кольцо с единицей;б ) если р - составное число, то в кольце Gp есть ненулевыенеобратимые элементы;в ) G 2 и G 5 имеют делители нуля, и следовательно, не являются полями;г ) кольца G з и G1 являются полями;д ) если р - простое число, то кольцо Gp является полем тогдаи только тогда, когда уравнение х 2 + у 2 = О не имеет решений вкольце Zp .Ь40 . 58. Доказать, что кольцо матриц вида[ 2� � ] , где а , Ь ЕZ 5 , образует поле.40 .
59 . Доказать, что число элементов конечного поля равнотр , где р - простое число, а m - натуральное.Глава XI . Поле ком п лексных чис ел§4 1 .А л гебраическая форма ко м плексного числаназываются упорядоченные пары (а, Ь) вещественных чисел, для которых понятия равенства, суммы, произведения иотождествления с вещественными числами вводятся согласно следующимправилам ( аксиомам ) :1 ) ( а , Ь) = (с, d) <====> а = с , Ь = d;(а, Ь) + (с, d) = (а + с , Ь + d) ;3) ( а , Ь) · (с, d) ( а с - bd , ad + Ьс) ;4 ) пара (а, О) отождествляется с действительным числом а.О б о з н а ч е н и я : z == ( а , Ь) ; i = (0, 1 ) ; С - множество всех комплексныхчисел.Очевидно, i 2 == - 1 .Т е о р е м а 41 .
1 . Множество С всех комплексн'Ьlх 'Чисел являетсяКомплексн'ыми 'Числами2)=полем, ха]ХJ,ктеристики нулъ.Сл е д с т в и е 1 . Дл.я любой парЪL комплекснъtх 'Чисел z 1 == ( а , Ь) , z2 ==( с , существует, и притом единственна.я, ]ХJ,ЗНостъ z 1 - z2 == ( а - с,ле дс твиеДл.я любой пар'Ьl комплекснъtх 'Чисел z 1 == (а , Ь) ,z 2 (с, i= О существует, и притом единственное, 'Частноеd)С==b-d) .2.d)z1z2==( асс2 ++ dЬd2 , bcс2 -+ add2 ) .Т е о р е м а 41.2. Любое ком плексное 'Число z = ( а , Ь) может бЪtтъзаписано в видеz = а + Ьi.(4 1 .
1 )Форма ( 4 1 . 1 ) записи комплексного числа z = ( а , Ь) называется алгебраи'Ческой формой 'Числа z, при этом число а называется действителъной'Частъю комплексного числа z = а + Ьi и обозначается символом Re z, аЬ - мнимой 'Частъю и обозначается Im z. Подчеркнем, что Re z, Im z Е IR.Для вещественных чисел мнимая часть равна нулю. Комплексные числа,у которых действительная часть равна нулю, называются 'Чисто мнимъtми. Очевидно, два комплексных числа равны тогда и только тогда, когдаотдельно равны их действительные и мнимые части.Комплексное число z == а - Ьi называется сопр.яженнъ�м к числу z ==а + Ьi .Т е о р е м а 41.3. Опе]ХJ,'ЦU.Я сопр.яжени.я 'К омплексного 'Числа обладает следующими свойствами:J) z == z ;2) z = z <====> z Е IR ;3) z + z == а , \/z == а + Ьi ;4) zz == а 2 + Ь2 ' \/z == а + Ьi ;5) z 1 ± z 2 = z 1 ± z2 ; z 1 z2 = Z1 z2 ;2(z 1 / z 2 ) == Zi / z2 , z2 i= О .Глава XI.
Поле комплексных чисел374З а м е 'Ч а н и е. Для комплексных чисел , заданных в алгебраической форме, операции сложения, вычитания, умножения и деления производятся пообычным правилам выполнения этих операций над двучленами а + Ьi сучетом того, что i 2 = - 1 , и последующим приведением подобных членов(т.е.
отдельно группируются вещественные числа и чисто мнимые) . Особенно это удобно для умножения чисел: если z1 = а + Ьi , z 2 == с + di , тоz1 z2 == (а + Ьi) (с + di) = ас + a di + bci - bd == (ас - bd) + ( a d + bc)i . При делении чисел числитель и знаменатель дроби z 1 / z2 следует предварительноумножить на z2 :.(а + Ьi ) (с - di)z1(Ьс - a d) .{2 -1- о } _ (ас + bd)2+- Z2 Z2 - С + d /i_z2__z2 z 2_с 2 + d2с2 + d2.Пусть на плоскости V2 выбрана прямоугольная декартова система координат. Отображение, которое каждому комплексному числу z == а + Ьi ставитв соответствие точку М этой плоскости с координатами (а, Ь) , является биекцией.Плоскость, точками которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостъю, ее ось абсцисс - вещественной осъю, осьординат - мнимой осъю (в соответствии с наименованием чисел , изображения которых лежат на этих осях) .Сложение и вычитание комплексных чисел выполняются по правилусложения и вычитания радиус-векторов точек комплексной плоскости, изображающих эти числа.Пусть А == ( aij ) Е cm х n - матрица размера m х п над полем комплексных чисел.
Матрица А н == (at ) размера п х m называется сопряженной кматрице А, еслиi = 1 , n, j = 1 , m.at == aji ,Очевидно, что Ан = (А) т == (А Т ) , где А = (ai1 ) .Сопряженная матрица обладает следующими свойствами:1 ) (А + В) н = Ан + в н ,2 ) (аА)н = аАн , \/а Е(АВ) н = Вн Ан ,4) (Ан ) н == А,5) det Aн = -de-t-A,6) rg Aн = rg A ,выполненными для всех матриц, для которых определены левые части равенств.Комплексная матрица А Е с п х п называется эрмитовой, если Ан = А,и унитарной, если Ан А == АА н = 1.С,3)ЗАД АЧИ4 1 . 1 .
Вычислить в ыр аже ния :а ) (2 + i) (3 - i ) + (2 + 3i) (3 + 4i) ; 6) (2 + i) (3 + 7i) - ( 1 + 2i) (5 + 3i) ;в ) (4 + i) (5 + 3i) - (3 + i) (3 - i) ; г ) ( 2 + i) 3 + (2 - i) 3 ;) (5 + i)�: + 5i)(5 + ) - 6i)ж��д) (3 + i) з (3 i) з ; е );;i__§4 1 . Алгебраи ческая форма комплексного числа375( 1 + 3i) ( 8 - i) .(1 + Зi) 2 + (2i) 2з)' и ) (2 + i)З + ( 1 + 2i)З .(2 + i) 241 . 2 .
Вычислить i 77 , i 9 8 , i - 5 7 , i n , где п Е Z41 . 3 . Доказать равенства:а) ( 1 + i)8п = 24n , п Е Z; 6) (1 + i)4n = ( - l )n2 2n , п Е Z.41 .4. Доказать формулы сокращенного умножения :а) ( z 1 ± z2 ) 2 = zr ± 2z1 z2 + z � ;6) zr - z� = (z1 - z2 ) (z1 + z 2 ) ;12 z 2 + . . . + сп - 1 z 1 z п - 1 + z п ,.в ) ( z1 + z2 ) п = z 1n + c l z 1п - z2 + с2 z n1п222n 1n22г) z r - z 2 = (z 1 - z2 ) ( z r - + z � - z 2 +z ? -3 z� + .
. . +z 1 z� - + z� - l ).{{ iz12iz1++(1(3++i)z2i)2 z= =2 +5 2i+ ,Зi ;б)2{ 2z1( 1 --i )(Зz1 +- Зi)3z2z ==-i,3 - i ;в)2{ 2z( 4 1--2i)(2z1+-i)z5z2 ==-i,-1 - 2i ;г)4 1 . 5 . Решить системы уравнений :( 1 + i ) z1 + ( 1 - i)z 2 = 1 + i,а)( 1 - i ) z1 + ( 1 + i) z 2 = 1 + Зi ;{2z 1 + iz2 - 2zз = 10,z 1 - z 2 + 2iz з = 20,д)iz1 + Зiz2 - (1 + i)z з = 30.4 1 . 6 . Найти вещественные числа х и у , удовлетворяющиеуравнению:а) (2 + i) x + ( 1 + 2i)y = 1 - 4 i ; 6) (3 + 2i)x + ( 1 + 3i)y = 4 - 9i .4 1 . 7. Доказать, что:а) комплексное число z является вещественным тогда и только тогда, когда z = z ;6 ) комплексное число z является чисто мнимым тогда и только тогда, когда z = - z .4 1 . 8 .
Доказать, что:а ) произведение двух комплексных чисел является вещественным числом тогда и только тогда, когда одно из них отличаетсяот сопряженного к другому вещественным множителем ;6) сумма и произведение двух комплексных чисел являются вещественными числами тогда и только тогда, когда данныеГлава XI.
Поле комплексных чисел376числа или сопряжены, или оба вещественны;в) произведение двух комплексных чисел чисто мнимо тогдаи только тогда, когда произведение их вещественных частей равно произведению их мнимых частей.41 .9 . Найти все комплексные числа, сопряженныеа) к своему квадрату ; б) к своему кубу.4 1 .
10. Найти все .комплексные числа, квадраты которых равны:а) -4; б) 2i ; в) - 8i ; г ) 3 - 4 i ; д) - 15 + 8i ; е) - 1 1 + 60i ;ж ) - 8 - б i ; з) 8 - 6 i ; и) 2 - З i .4 1 . 1 1 . Решить уравнения:а ) z 2 - ( 2 + i) z - 1 + 7i = О; б) z 2 - (3 2 i) z + 5 - 5 i = О;в ) ( 2 + i) z 2 - (5 - i) z + 2 - 2 i = О ; г) z 2 - 5 z + 4 + l O i = О4 1 . 1 2 . Доказать, что определительz1 z 1 а-.z2z2ЬZ3Z3Сгде z 1 , z2 , zз комплексные числа и а , с вещественные числа,является чисто мнимым числом .41 . 1 3 .
Показать, что множество матрицЬ,--± [ � � ] ' ± [ � -� ] '[ -� � ] ' ± [ � � ] }{образует мультипликативную группу. Абелева ли она?±41 . 14. Выяснить, какие из следующих множеств являютсякольцами ( но не полями) и какие полями относительно операцийсложения и умножения комплексных чисел:а) комплексные числа вида а + i , а , Е Z;б ) комплексные числа вида а + Ьi , а , ЕЬЬЬ Q.( -� �), а , Ь Е IR, образуют поле, изоморфное полю С комплексных чисел .w4 1 . 16. Доказать, что матрицы вида ( - _!_ ) , z , w Е С , обраw z4 1 .
1 5 . Показать, что матрицы видазуют некоммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля .Показать , что оно изоморфно кольцу из задачи 40 . 10 .41 . 1 7 . Доказать, что определитель эрмитовой м атрицы естьчисло действительное.41 . 18 . При каких значениях п все определители порядка п ,элементы которых удовлетворяют условиям aj k Е JR при всех§42. Комплексные числа в тригонометрической форме377и akj = iaj k при всех j < k, бу,цут: а) действительными?6) чисто мнимыми?41 . 19 .
Показать, что при нечетном п все определители порядка п , элементы матрицы которых удовлетворяют условиямпредыдущей задачи, имеют вид a(l ± i) , где Е JR .41 . 20. Матрица А = (aiJ ) Е с п х п называется косоэр.митовоil,если aij = -aj i , i = 1 , п, j = 1 , п . Доказать, что определителькосоэрмитовой матрицы нечетного порядка - число, чисто мнимое.4 1 . 2 1 . При какихс, d Е JR матрицаj>kа[а, Ь ,Ь�А = �i ас ++ di]а) обратима ; 6) имеет ранг 1 ; в) эрмитова; г ) отличается от унитарной матрицы вещественным числовым множителем?4 1 . 2 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
