Том 1 (1113042), страница 63
Текст из файла (страница 63)
10. Подгруппа Н групп'Ьt G являете.я нормалън'Ьtмделителе.м тогда и толъко тогда, когда она вместе с каждъtм элементомсодержит все сопр.яженн'Ьtе с ним элементъt .Т е о р е м а 39. 1 1 . СмеЖ'Н'Ьtе классъt по нормалъному делителю образуют группу относителъно умножен.и.я подмножеств группъt.Группа смежных классов группы G по нормальному делителю Н называется фактор-группой группъt С по подгруппе Н. О б о з н а ч е н и е G / Н.:П р и м ер 39. 1 . Доказать, что множество G всех ненулевых матриц вида21, � ) с рациональньши а, Ь образует абелеву группу относительно обычной операции умножения матриц.Р е ш е н и е. Прежде всего следует проверить, что операция умножения1\Iатриц является алгебраической операцией на множестве G.
В самоl\1 деле, для любых А = 21, � )G , В = 2 d � ) Е G имеем АВ((Е(=§3 9 . Группа( 2(adас++3472bd ad + ЬсЬс) ас + 2bd) . Следовательно, АВЕ G.Проверим справедливость всех аксиоы абелевой группы.1 . Операция коммутативна. Это проверяется непосредственным вычислением БА.2. Операция ассоциативна. Это можно не проверять, так как операцияумножения матриц ассоциативна на множестве всех квадратных матрицвторого порядка.3. Единичная матрица IЕ G является нейтраль=.ным элементом в С .4. Если А = Ь Е G, А i: О, то det А = а 2 Ь # О, так как а , Ь Е Q.С ледовательно, матрица А обраТИl\,I а. Осталось проверить, что л- 1 Е G.Действительно,(2 �)А- 1 == (6 �) (2 6 �)-2 2-- -1 2ь2 ( - 2аЬ -Ьа ) Е G.1А= 2аdet А•П р и м е р 39.2. На множестве G = { (а, Ь) 1 а, Ь Е IR, a -:/= } определенопроизведение(а, Ь) (а' , Ь' ) = (аа' , аЬ' + Ь) .(39.
1)Доказать, что G неабелева группа.Р е ш е н и е. Очевидно, равенство (39. 1) определяет на множестве G алгебраическую операцию. Эта операция ассоциативна, так как(( а, Ь) ( а1 , Ь1 )) (а " , Ь11 ) = (аа 'а " , аа ' Ь" + а Ь' + Ь) ,(а, Ь) (( а' , Ь' ) ( а " , Ь")) = (а, Ь) ( а' а" , а ' Ь" + Ь) = (аа ' а" , аа 'Ь" + аЬ' + Ь) .О-Она некоммутативна, так как, например,0)(1 , 1) ==( 1 , 1 ) ( , О) = 1 ) .Элеl\1ент ( 1 , 0), как легко видеть, нейтральный.
Симметричным к (а, Ь) является элемент(2,(2, 2),2 (2,ь == - ьО О)так как (а, Ь) ( -1 , - - ) ( а -1 , а ( - ) + Ь) ( 1 , О) .аа ааП р и м е р 39.3. Рассматривается группа ( cl\1 . пример 39 . 2 ) G ={ (а, Ь) 1 а, Ь Е IR, а -:/= } относительно произведения (а, Ь) (а' , Ь' ) (а а' , аЬ' + Ь) .Доказать, что пары (а, Е С образуют подгруппу Н группы С , изоморфную мультипликативной группе ненулевых действительных чисел.Р е ш е н и е.
1\'I ножество Н является подгруппой группы G, так кака) если (а, О) , ( а', О) Е Н , то (а, О) ( а ', О) = ( аа' , О) Е Н ;б ) если (а, О) Е Н , то (а, О) 1 ( -!_ О ) Е Н .аЭта подгруппа изоморфна мультипликативной группе ненулевых действительных чисел , так как отображение ер ( а ) (а, О) есть биекция множества IR \ {О } на Н , для которойср( аа' ) = (а а' , О) = ( а, О) (а ' , О) = ср( а )ср(а ' ) , \:/а , а ' Е IR. •- ===•==,=·Глава Х. Элементы общей алгебры348{ 1, .
Sn.. . , п}П р и м е р 39.4. С и м м е т р и ч е с к а я г р у п п аДоказать, что множество Sn всех перестановок множества М ==образует группу2,относительно умножения ( суперпозиции) отображений.Р е ш е н и е. Очевидно, умножение перестановок множества являетсяалгебраической операцией в Sn , так как произведение биективных отображений биективно.
Эта операция ассоциативна (в силу ассоциативности в общем случае произвольных отображений) , обладает нейтральным элементом2 ... п Ее = 1 22 . пп ; при э�ом для каждого элемента =а2 . .существует обратный элемент - lЕf 1 �2 :(1. )". .s=Sns ( G1 ln()Gn Sп': : � ) Sn..Таким образом, Sn - группа. Отметим, что эта группа не абелева. Например,2 32 32 342 12 334 33 4Группа Sn называется симметри'Ческой группой степени п. Очевидно,это конечная группа и card Sn = п! .П р и м е р 39.5. З н а к о п е р е м е н н а я г р у п п а А n . Доказать, что мно4 32 31 412•жество An всех четных перестановок множества М = { 1 , 2 ,образуетгруппу относительно умножения отображений.Р е ш е н и е. Для решения задачи достаточно показать, что множествовсех четных перестановок множества является подгруппой симметрической группы(пример 39.4).
Проверим справедливость всех условий подгруппы (теорема 39.4).1 2· , а ([3) = l .1 . Пусть = :�, а(а ) = k и t ={3{322Переставим столбцы так, чтобы на месте 1 , 2, . . . , п оказалась перестановка {3 1 , . . , !Зн (для этого в силу четности перестановки f3 и теоремы 4.3 достаточно выполнить четное число транспозиций) . Пусть при этом нижняяв перестановке s перейдет в перестановку 112 , . . . , /'n .строка а ,{3В.
n1 21 2. n1 {32т=огдасилу{3 {32 · · · {3/'1 /'2 · · · /'п/' 1 /'2 · · · /'nтеоремы 4.2 при переходе от а 1 , а 2 ,к 11 1 , 112 , . . . , /'п четность числаа ( а ) = k изменитсяраз, и так как k и - четные числа , то - четнаяперестановка.2. п2 . Еели = \,Л \,Л "четная перестановка, то, очевидно, четноиl 2= f 1 �2 :(теорема 4.4).будет и перестановка. . .
, п}МSн)(1s ( L.f. 1 :s.l1.1 а2 , . . (, Gп . . fЗп ) (st1 . . . , йп п ) (l1l1)s (1s- 1 (: : �n )\Л"·•••\Л Н.=Л1Л1""·Л1\Л п-{Зnп )"•••"111, ).st"Группа A n четных перестановок :множества, состоящего из п элементов, называется знакопеременной группой n-й степени. Очевидно, порядокгруппы равен п!/2, п > •П р и м е р 39.6.
Доказать, что любая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок на множестве своих элементов ( теорема Кэли) .= е,Р е ш е н и е. Пусть G =- группа п-го порядка.Построим отображение ер группы G на некоторое множество перестановок=для любого Е G. Такмножестваположив,как группа G замкнута относительно групповой операции, то1.G,{ 90 91 , . . . , 9п - 1 }cp(g ) (909 , 919 , .
. . , 9п - 19 )S 9909 , g19 , . . .349§39. ГруппаG.9п- 1 9 ЕБолее того, эти произведения различны, так как из равенства9i 9 = 91 9 в силу закона сокращения в группе следует, что 9i = 9j , т.е. i = j .Следовательно, 90 9 , 9 1 9 , . . . , 9п - 1 9 - перестановка элементов 90 , 9 1 , . . . , 91i - 1группы ер ( 9 ) - перестановка множестваG,cp(g)=G:( lo�9п - 19п - 1 99191 9)и S - множество всех таких перестановок ер ( 9 ) - является подмножествомсимметрической группы всех перестановок множества G.Покажем, что ер - изоморфизм:1 ) ер - инъективно, так как если 9 -:/= 9 1 ( 9 1 Е G ) , то ер ( 9 ) -:/= ер ( 9 1 ) (хотябы потому, что go 9 -:/= 90 9 1 , так как 90 = е ) , т.е.
различным элементам из Gсоответствуют различные перестановки из S ;2) ер сохраняет групповую операцию, так как()90· · · 9i" · 9n - 1''())(90 99 · · · 9i 99 · · · 9п- 1 ( 99 ' ) ,9i9п - 1990 · · · 9 i'ер ( 9 ) ср ( 9 ) = 90 9 11190 9 · · · 9 i 90 • · · 9i 9 · · · 9n - 1 990 99i 99п- 1 990 " · 9i( 9п- 1 g ) 9'( 90 9 ) 9 '( 9i 9 ) 9 '9о 9 · · · 9i 9 ·9п - 19о''( 9п- 1 9 ) 9 1 = ер ( 99 ) .( 90 9 ) gер ( 99 , ) =(••••••)((········"·9п - 19n - 1 99n - 19n - 1 9))Осталось отметить, что S - группа, т.е. подгруппа группы всех перестановок :множества G.
Это автоматически вытекает из того, что S - изоморфный образ группы G. •П р и м е р 39. 7. Пусть а - элемент группы, имеющий конечный порядокп и ak = 1 , k Е Z. Доказ ать, что п является делителем k.Р е ш е н и е. Деля k на п , получаемk = nq + r , О < r < п.тk)Поэтому a = ( a n q + па = a r = 1. Так как п - наименьшее положительноечисло, для которого а = 1 , то r = О.
•П р и м е р 39.8. Доказать, что если а - элемент группы, им еющий конечный порядок, то его порядок совпадает с порядком циклической группы{а} .Р е ш е н и е. Пусть а - элемент порядка п. Тогда все элементы1 , а , а2 , . . . , а n - 1(39.2)=различны, так как если ak = al , k < п - 1 , l < п - 1 , то (пусть k > l) a k -l 1 ,где k - l < п , что противоречит тому, что п - порядок элемента а .Всякая другая степень а равна одному из элементов (39.2), ибо ak = а т ,k > п, О < r < п - 1 (см. пример 39.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
