Том 1 (1113042), страница 70
Текст из файла (страница 70)
1 . Записать в тригонометрической форме элементы множеств :а ) Vi; 6 )5 12 ( 1 - i VЗ) ; в) 8 ./2 ( 1 - i) ; г ) ZCI;V1\fд) V-1 - i.43. 2 . Записать в алгебраической форме элементы множеств:1 ) И; 2) Vl; 3) И; 4) Vi; 5) N; 6) -V64;7) Иб;8 ) �;9){/8 VЗi - 8;1 1 ) �1 + i ·, 12 ) �2 - 2i ·, 1 3)\j10){/- 12 ( 1 - i VЗ ) ;8 + 24i .14)3-i '327 - 54i .2+i '32.9 ( 1 - i VЗ)143. 3 . Для каких z Е С и п Е N множество корней п-й степенииз z содержит хотя бы одно вещественное число?43.4.
Пусть z и w - комплексные числа. Доказать следующиеравенства множеств:а ) vznw = z УГw; б) \1-znw = -z УГw (п нечетно) ;в ) VZW = и y;w, где и - одно из значений \IZ.43 . 5 . Доказать, что объединение множеств \IZ и \j=z естьмножество43 .6. Верно ли равенство шy;zm = \IZ (m Е N , m > 2 ) ?43 . 7 . Доказать , что множество корней степени п из единицыявляется циклической мультипликативной группой порядка п.1 5)4-18 .+ i VЗ '2V?.16) 4-§43 . Корни из комплексного числа38543 .
8 . Доказать, что множество всех корней всевозможныхстепеней п 2 , 3 , . . . из единицы образует бесконечную мультипликативную группу, в которой каждый элемент имеет конечныйпорядок.43 . 9 . Доказать, что множество корней п-й степени из комплексного числа z образует мультипликативную группу тогда итолько тогда, когда z 1 .43. 10. Найти смежные классы:а) мультипликативной группы ненулевых комплексных чиселпо подгруппе всех корней п-й степени из единицы;б) мультипликативной группы комплексных чисел , по модулю равных 1 , по подгруппе всех корней п-й степени из единицы .43 . 1 1 .
Доказать , что для любого п Е N существует корень пй степени из единицы, который не является корнем из единицыменьшей степени, чем п. Такой корень называется первообразным корнем п-й степени из единицы.43 . 1 2 . Доказать, что корень с n-й степени из единицы является первообразным корнем тогда и только тогда, когда все егостепени c k , k О, п - 1 , различны.43 .
1 3 . Доказать, что если с - первообразный корень п-й степени из единицы, то c k тогда и только тогда будет первообразным корнем п-й степени из единицы, когда k и п взаимно просты.43. 14. Найти число первообразных корней из единицы степени: а) 2; б) З; в) 1 2 ; г) 16; д) 24 ; е) p k , где р - простое число .43. 1 5 . Вычислить:а) сумму всех корней степени п из единицы;б) сумму s- x степеней всех корней степени п из единицы ( s Е Z) ;в) произведение всех корней степени п из единицы.43.
16. Вычислить :а) 1 + 2с + Зс 2 + . . . + ncn- l ,б) 1 + 4с + 9с 2 + . . . + n2 c n- l ,где с - корень n-й степени из единицы.43 . 17 . Пусть с - первообразный корень степени 2n из единицы. Вычислить сумму 1 + с + с 2 + . . . + сп - l .43 . 18. Найти суммы :2 (n - 1)1Г27Г47Га) cos - + 2 cos - + . .
. + ( п - 1 ) cos;ппп. 27Г. 2 (n - 1 )1Г. 47Г.б) s1n - + 2 s1n - + . . . + ( n - l ) s1nппп===1 3-427 1Глава XI. Поле комплексных чисел38643 . 1 9 . Числа zo , z 1 , z 2 , . . . , Zn - 1 (п > 3) на комплексной плоскости являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в некоторую окружность единичного радиуса. Найти:а ) z o + z 1 + z 2 + . .
. + Zп - 1 ;б ) 2 + Z 2 + 2 + . . . + Z 2 .,Zon-11 Z2в) l zo l 2 + l z 1 1 2 + l z� l 2 ++ l zn - 1 1 2 ····Вычислить следующие определители трехдиагональных матри ц .5243. 20 .о2 51 21о....1 -1 о-5 2 -1о -5 2. 43 . 2 1 .. .. . . . .о оо оо о.
. .....о о оо2 5о о о ... 1 2ооа43 . 22 .о.оааоа......о оо оо о. . . .оо о оо о о ..2i-143 . 24.оа.43. 23.ооооо оо оо2i 1- 1 2iо оо о оо.... 43. 2 5 .2i 1- 1 2iооооо......2ооi2-iооо оо оо ооi2о оо о оо.1 оо о1 1 .. о о1 1о о. . . . . . . . .1 1о о1 1о о-iоi+l i1 i+l i1 i+lоо11о.а1о43 . 26.ооо.оооо. .2 -1. . . -5 2.оооо.2 i. . -i 2оооi+l i1 i+ l43 . 27. Доказать, что значение'Циркул.янтаопределяется ра-387§43. Корни из комплексного числавенствомalа2 азa l а2апап - 1 an a lа2. . . .апan - 1а п -2= f ( e1 ) f (е 2 ) . .
. f (Еп ) ,aiаз а 4где f( x ) = a i + а 2 х + азх 2 + . . . + a n x n - l и Е 1 , е 2 , . . . , Е п - всезначения корня п-й степени из единицы.43 . 28. Доказать , что в обозначениях преды,цущей задачиa l а2 аза 2 аз а4аз а4 as= (-1)(n - l )(n- 2 ) f (e 1 ) f (e2 ) . . . f ( En ) ·243 .
2 9 . Вычислить определитель1аа2Q1Qп - 1Qп - 2Зап -Q2аз1Qп- 1 1а п -2 an - 1а43 . 30. Вычислить косой циркулянт ( или косоциклическийопределитель )aiа2азап- апaiап - 1а2- а п - 1 - an а 1an -2. .. . . . .43 . 3 1. Вычислить определительalа2z апaiz а п - 1 zап. . . .za 2zазаза2ai. . . .z a4anan - 1an-2alгде число zЕС произвольно .Глава XI. Поле комплексных чисел38843. 32 . Пусть с = cos21Г-п. . 27Г+ i s1n-пи матрица111с2сз1 с€4€61 с2€6cg1 сз. .
. . . . . . ...... .1 сп - 1 c 2 ( n - 1) сЗ ( п- 1 ) .1А=... .. .1сn - 1c 2 ( n-1 )сЗ ( n- 1 ). . . .c( n - 1) 2представляет собой матрицу определителя Вандермонда чисел1 , с , е 2 , . . . , еn - 1 .1) Вычисляя матрицу А 2 , показать , что l det A I n n/ 2 .2 ) Вычисляя det А как определитель Вандермонда, показать,что2 . (k j )1ГSlll.det А = i ( n - l ) ( Зn - 2 ) /2пп=-3)Вывести формулуdet А = i( n- l) ( Зn -2 ) /2 nn /2 .43 . 32 .
1 . Вычислить матрицу А - 1 , обратную к матрице изпреды,цущей задачи.43 . 33 . Пусть с первообразный корень п-й степени из единицы и элементы матрицы А = (aij ) Е JRn x n заданы соотношениями a ij = cij Найти обратную матрицу А- 1 .-.О тветы и у каз ания§11 . 1 . а) АВ =1.2. а)[ � � � } [ =� =� ] .8]; [ �] ; [ i Г[ � � ] , ВА =[ i� ]-;[ 1 3 986)-6)4 -21в)г)д) 04 х 4 ·1 . 3. 04 х 2 · У к а з а н и е.
Найти ВС.1 .4.У к а з а н и е. Найти ВС.1 . 5 . О2 х З · У к а з а н и е. Найти ВС.1 .6. 04х 4 · У к а з а н и е. Найти ВА.[ О О О ]т .1 . 7.1 .8.[ -� - �� =� -Ч ] .[ J�104 -48��i ] .[ � l� ] .24 -2У к аз а н и е. Найти ВС.6У к а з а н и е. Найти ВС.1.9. Оз х з · У к а з а н и е. Найти ВС, а затем AD.1 . 10.1 . 11 . А =1 . 13. a;j ·1 . 14. а) Матрица, у которой все столбцы нулевые, кроме j-го, на местекоторого стоит i-й столбец матрицы А; б) матрица, у которой все строкинулевые, кроме i-й, на месте которой стоит j-я строка матрицы А.1 . 15 .
а)1 . 18. а)[� �][ J =� -! ] [ g g ] .[ �� -�� ] ; [ g g 1 ] .6);.6)[ 6 � ] при п четном, [ � =� ] при п нечетном;nЛЛпг) [ 6 n � ;6) [ 6 1 ] в)���][]д) [ X �: Xx n - l ] где Xk числа Фибоначчи (см. задачу 1 . 1 1 ) ;n- 2n[cos no. - sin п о. ]е) sin no.cos no. ·1 . 19. а);;,1 4-427 1-Ответы и указания к § 1390л�в)[л�о1.20. а)л1 л�ооооолт. л m2оо. .оооо; б)лkn- 1п. . . . .оолm лm1полm1m+л2 n - 1. .
. . . . .. .+ 1 л1л:г) искомая степень[. . . . .]1при k = 2m илm1 + 1 лmоn( ( n2+l )n -2l ) n1 3 6о 1 3о о опоопри k = 2m + 1 ;bi, i +k(bij)]= 1,- при k < п имеет вид:- матрица В =равны нулю; при k > п матрица В нулевая;i = 1, п - k , прочие элементы1 с� - 1 с� - 1c�=I�с;:: ; ;1со1д). . . .
. . . .biJ·о1е) искомая степень - :матрица В == (bij) - при k < п Иl\,1еет вид: bi, i + k 1 ,i = 1 , п k, bi, H k - n = 1 , i = п - k + 1 , п, прочие элементы bij равны нулю;при k = п матрица В единичная; если же k > п, то матрица В такая же,как m-я степень исходной матрицы, где k = mp + п, р Е N.оо=-:::: : : ;3::; 6� [ -�3 �5к]�н е . П им нить ин кцию по k.�оAn = А; б) An 5 n [ - � - � ] ; в) An = (2а - l) n - l А;) Аn = [ 6 ? ] + ( 2 n - 1) [ � - � ]д) А n = [ 6 ? ] + ( 5 n 1) [ �� ];е ) Аn - [ О1 О1 ] + 2 0 - -1 1 [1 - 1 ],ж) An [ 6 ? ] + ((-4) n - 1) [ - � - � ] .1 .25. а)=Г;--( 2 а)н_=аQQ-·QУ к а з а н и е. В пунктах г )-е) представить каждую из матриц в виде1 + В, а в пункте ж) - в виде / - В, затем воспользоваться задачей 1 .24б.1 .
26. а)[ -�� -�� ] ; 6) [ 6 ? ] ; в)[g � �] +а Ь d][]Оа Ь ;а ЬУ к а з а н и е. Найти п-ю степень матрицы А.1.27. а)[ За +2аЬ( bij ),bii bjj,г) 1;ь2)А.ссо а( 229 -;г)О О а аЬО О Оса остальные элементы j-й=у которыхд) матрицы В =нулевые;столбцастроки и i-гое) матрицы, у которых суммы элементов каждой строки и каждого столбца одинаковы.391Ответы и указания к §21.29. а)[ 6 � ] ; 6)[ 8 � g ].1 . 30.
У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1 .28.1.31. У к а з а н и е. Применить результат предыдущей задачи.1 .32. У к а з а н и е. Воспользоваться задачами 1 .27д и 1.31.1.33. Нет.1.36. 1. l\1ожно, только если m = п = 1.1 . 36.2. Вообще говоря, нет.1.37. У к а з а н и е. Воспользоваться свойстваl\1I И следа из задачи 1.35.1 .38. У к а з а н и е. Воспользоваться предыдущей задачей.1.40. У к а з а н и е.
Рассмотреть единичные вектор-столбцы � ·1.41 . У к а з а н и е. Рассмотреть единичные вектор-столбцы �, 1J.1 .42. Если j = k , i # l , то [Eij , Ek l ] = Ei l ; если j # k, i = l , то [ Eij , Ekt ] =- Еk j ; сли j = k # i . _l , то f� j , E ] = Eii --:- Ejj · У к а з а н и е. Показать,что Ei1. �Ek l - Ei l при J - k и Ei1�Ekt ':.:- О при J # k .1.43. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1 .42.1 .46. У к а з а н и е. В силу задачи 1 . 37 tr[A, B] = О; найти квадрат матрицы с нулевым следом.1.47. У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 1 .43 и свойствами коммутатора из задачи 1 .44.1 .48. У к а з а н и е. Рассмотреть произвольную диагональную матрипуD с различными диагональными элементами и, положив Х = ( Xij ) , найти[X, D] .§22.2. п ( п + 1 ) ( п 2)/6. 2.3. L,:� 1 a:i .2.4. У к а з а н и е. Пусть, например, матрица А верхняя треугольная порядка п.
Используя правило умножения треугольной матрицы В = ( bij ) насебя , найти последовательно все элементы главной диагонали, затем все элементы Ьi ,i + k , i = 1, п - k, для каждого k = 1, 2, . . . .2.6. 2( m 1 + m 2 ) + 1 .2 -1 1 112.8. а)г) 1 -2 2 1; 6);в+[� �l�J�1� � ]· [ gо gо 6 ] [.-d---ф[{tН);2 -4 4 2]2.9. а) Нет, не является. 2 . 13 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
