Том 1 (1113042), страница 74
Текст из файла (страница 74)
15. а) ���..( � � � i );i � �)б) обоих порядках - ( � � � � ) ;в) Ui � � � ) , в обратном порядке - U � � � � ) ;г) в обоих порядках - ( � � � i � ) ;д) в обоих порядках ( 41 21 36 45 53 62 )1 1 . 16. У к аз а н и е. Воспользоваться теоремами 4.2 и 4.4.в(--·1 1 . 1 7. У к а з а н и е. Использовать определение обратного отображенияи результат задачи 1 1 .8.§1212. 1 . Примеры на множестве Х = IR : а) xRy, если ( х - у) х у = О; б ) xRy,если х < у ; в) xRy, если х у -:/= О .12.2. Не доказано, что для любого х Е Х найдется у Е Х : xRy.12.4. а) f = е х ; б) f- 1 = f; в) f f = f.
12.5. Да.407Ответы и указания к § 1 212. 5 . 1 . Нет. 12. 5 . 2. Нет.12.6. Для правил а) , 6) , г) .12. 7. а) Является отношением эквивалентности ; фактор-множество{IR+ , R - } . б) Является отношением эквивалентности; фактор-множествоо{Хо 11 } , где Ха множество всех чисел х Е IR \ { О} , у которыхдробная часть равна о . в) Отношение не симметрично.12.8.
Отношение: а) не симметрично; б) не симметрично и не транзитивно; в) является отношением эквивалентности; г) не транзитивно; д) рефлексивно и симметрично; е) рефлексивно и симметрично.12.9. Факто I?-множество состоит из двух подмножеств IR 2 :{ (х 1 , х 2 ) 1 х 1 = х2 } и { (х1 , х 2 ) 1 х1 # х 2 } .12. 10. Отношение: а) является отношением эквивалентности; б) нетранзитивно.12. 1 1 . а) Каждый класс эквивалентности содержит ровно одну верхнюю ступенчатую матрицу следующей структуры-О< <--О ak,.
+ 1 , 1 . . .1 a k 1 + 1 , 1 . . . ak2 - 1 , 1 О ak 2 + 1 , 1 . . . a k 3 - 1 , 1О1 ak2 + 1 , 2 . . . a k 3 - 1 , 2 О . . . О a k, . + 1 , 2 . . .О ООооооооооо<...an 1an 2о . . 1 a 1c , . + 1 , r . . . an r.где r < min(m, п ) , 1 < k 1 < k2 .
. < kr < п (причем вторая клеточнаястрока или первый клеточный столбец могут отсутствовать) , и все матрицы, которые могут быть из нее получены элементарными преобразованиямистрок.б) Каждый класс эквивалентности содержит ровно одну нижнюю ступенчатую матрицу структуры, аналогичной описанной в п. "а", и все матрицы, которые могут быть из нее получены элементарными преобразованиямистолбцов.в) Каждый класс эквивалентности содержит ровно одну матрицу вида<[ O( mI-r)r x r.Or x (n-r)O (m-r) ( n -r)х]'min(m, n), и все матрицы, которые могут быть из нее полученыгде rэлементарными преобразованиями строк и столбцов.12.
12. Классами эквивалентности являются множества Ку = { х ЕХ 1 f ( x) = у} , где у Е f( X ) .12. 13. а) Множество прямых, параллельных прямой или совпадающихс ней. б) Две полуплоскости, определяемые прямой l , и сама прямая l .12. 14. Фактор-множество содержит р классов Ко , К1 , . .
. , Кр- 1 , где Кобъединяет все целые числа, дающие остаток r при делении на р .12. 1 5 . Каждый класс эквивалентности Кх содержит все пары (р , m ) ЕZ х N такие, что дробь .Е_ равна рациональному числу х .m12. 16. Кажды й класс эквивалентности является неопределенным интегралом J f ' ( х) dx, т.е. содержит все функции вида f ( х) + С, где С Е IRпроизвольно.12.
17. Отношение: а) не транзитивно; б) не симметрично.lт408Ответы и указания к § 1 312. 18. Каждый класс эквивалентности объединяет все подмножества,содержащие одинаковое число элементов.12. 19.Сложение: К, А, N , S ; вычитание: не обладает ни одним из свойств;умножение: К , А, N ; деление - не алгебраическая операция;сложение - не алгебраическая операция;вычитание - не алгебраическая операция;умножение: К , А, N , S; деление: не обладает ни одним из свойств;сложение - не алгебраическая операция; умножение: А , N , S;4) сложение - не алгебраическая операция; умножение: А , N , S;5) K , A , N , S ; 6) K , A , N , S ; 7 ) А ;8) не является алгебраической операцией; 9) К , А , N , S ;не обладает ни одним из свойств;N , S;А , N ; 14) К, А , N , S .К , N;12.22.
Относительно каждой операции существует нейтральный элемент, однако ·симметричный элемент существует не для каждого подмножества множества Х.12.23. У к а з а н и е. Необходимость: сначала для некоторого а Е Х рассмотреть е � Е Х: а * е �а и показать, что для \/Ь Е Х : Ь * е�Ь, т.е.'правый нейтральный элемент е �е не зависит от выбора а. А налогич''"но - для левого нейтрального элемента е " . Так как е"е * ее , то- неитральныи... элемент относительно рассматриваемои... алгеб раеееической операции.
Затем рассмотреть для \/а Е Х элементы а! 1 , а� 1 Е Х :а -1 1 * а а * а 2- 1 = е и показать, что а 1- 1 а 2- 1 .1)2)3)10)11)12)13)== ==111====...=§1313. 1 . 1) Векторы и перпендикулярны либо один из них нулевой.либоВекторы и противоположно направлены, причем 1 a l1вектор нулевой.Если- 1 , то=О; еслитоО.Если i=то векторы и не равны между собой и коллинеарны.4) Векторы и сонаправлены либо один из них нулевой. Векторы ипротивоположно направлены либо один из них нулевой. 6) Векторы исонаправлены и ненулевые.--+-----+.--+13.3.13.2.(АВ +113.4.
У к а з а н и е. Воспользовавшись равенством задачипоказ ать,С.К О .что М13.5. У к а з а н и е. Показать, что сумма этих векторов равна О.----+�13.6. У к а з а н и е. Показать , что KLМ.а Ь2)Л Ь ±а1, Ь 3)ЬЬ\ а\ = Ь\.А + BN + =-----+.�а ЬаЛ =Ь>Л = 1,5)аАМ =АС)/2.ЪI,Ь=аа13.3,�=N1 3 . 7. АВ = -CD = ( а - Ъ) / 2, ВС = -DA = ( а + Ъ)/2.1 (Л а - Ъ), В �· = 1 ( а+ Ъ), CD = 1 (- а+Л Ъ),13.8. АВ =lllЛ+Л+Л+DА = - л +л 1 ( а + Ь ) .13.9. У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что EF = ЕА + AD + DFEB + BC + CF .13. 10.
См. указание к предыдущей задаче.--+--+---+----+�----+---+--+----+----+----+--+--+----+---+=Ответы и указания к § 1 3409= 2 --+ 4 ----+О=ВО ==с=3 : 3 : 1.= DE ==+ 2+. . .+= 4 --+ 2 ----+----+---+13. 1 1 . ВС 3 A L - 3 АК , CD 3 A L - 3 АК . У к а з а н и е. Выразитьсначала векторы АК и AL через векторы ВС и CD.13. 12. У к а з а н и е. Положив АЛА!v/ иµBN, выразить,например, вектор АО через векторы Ь АВ иАС двумя способами.13.
12. 1.13. 12.2.13. 13. ВС р q , CD q,- р , EFр - q.13. 14. Пусть сумма этих векторов ai аа п равна Ь -:/= О. Тогда врезультате поворота :многоугольника вокруг его центра на уголсуммаостанется неизменной, а вектор Ь изменится.13. 15. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.13. 16. Точка пересечения медиан треугольника.13. 16. 1. Точка пересечения диагоналей.13. 16.2.
Точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон.-----+--+----+---+-----?--+3 / 2.=----+----+----+--+--+----++----+----+----+2?Т /п+ �AB I .13. 18. AD =13. 17.+I ACIс с, ВО = а + с ь +с.13. 19. АО =ь++сЬ+а+Ь++Ьаа+Ь+с+ассУ к а з а н и е. Воспользоваться тем же приемом, что и в задаче 13.12, и по+с .каз ать, что если АО == ЛАL , то Л =а+Ь+сОМ = j-;j + тьrЬ ·---+--+ь--+--+ABl � IIAB Iа--+--+с-ь--+=АА 1 =13.20.
У к а з а н и е. Пусть ( СС1 Р ) Л. Выразить вектор A i B 1 черезвекторы АВ и АС .13.21. У к а з а н и е. Положитьа , АВЪ, A i B1и, поль3зуясь условиями, показать, что х Е IR, что: а) ВС1 = хС В1 ; б ) Ai В1 ==--+--+----+-----?--+=---+=с-----+�<а , f3 > О ; в ) либо а13. 22. а) аа , f3 > О ; б ) аf3 > 1 ,либо а < О , либо < О. У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой13. 23.
а)1 , а , {3,О ; б)О ; в ) либо< а,алибо а < О, либо < О, либо / < О .А' D q13.24. А' В' = р , А' D' q , А'С' р q, А' В == рхА 1 С1 .+{3{3 = 1,=++{3')'а+ {3 + ')' > 1,+ {3 1,13.7.+а + {3 + ')' 1, {3, ')' >----+ ---+ =г, = г,= +А'С = р + q г13.25. ВС = с - Ъ, С D = d - с, DB = Ь - d, DM = - d + ( Ь + с)/2,A Q == ( Ъ + с + d)/3.Ь )/2 , RS = ( + Ъ - с )/2.13.26. M N = ( Ъ+ с- )/2 , P Q ( с +13.27. EF = (20В + 20С - ОА) / 6. 13.28. г 1 + гз - r 2 .13.29. г = ( г 1 + г 2 + гз)/3." 13.30. г = ( г 1 + rз)/2.Л r2 - r 11 + Л гз=r13.31 .
г4 = г 1 + Л( гз - г 2 ), г, = r).. _ 1)..1+13.32. гс = гв+ гv- ГА, r81 = rв- гА+ rА' , rc1 = rв+ rv+ г А 1 -2 ГА,гv - гл + ГА ' · г )/3. 13.33 . 1 . ( г 1 + г2 + гз + Г4)/4 .гv' =13.33.г = ( г 1 + г2 +1 з13.34. ( САВ) = - 1 + Л .---+-----+.{3 ')' >----+��---+-�---+--+----+---+--+----+а-----?--+==--+аа-,1 5-427 1/1·-410Ответы и указания к § 1 5( Р RQ) (1( 1 ++ v)Л) (µ(v _- µ)Л) , если v "# µ.Л + µ + 2Лµ13.35 . 1 . (ABR) ==2 + Л + µ , если Л + µ -:j; -2.13.36. У к а з а н и е. Показать, что: 1) KL NM; 2) АВ DC.13.37. Jv/ - точка, в которой пересекаются семь прямых: три прямые,проходящие через середины противоположных ребер, и четыре пря�'lые, про13.35.==---?==--+��=ходящие через вершины тетраэдра и точки пересечения медиан противоположных граней.13.38.:(J :/13.
39. а)б)в)13.40.Есливсе углытреугольника меньше3, то точка М существу------ет и=Если один из углов треугольникабольше3, то такой точки нет.13.41 . ММ' ==) 3.·sinsin аsin sin2А : sin 2В : sin 2С ; cos(A/2) : cos(B/2) : cos(C/ 2);sin А : sin В : sin С.2?Т /ВМС СА1А АА!В 2?Т /3.АБС2?Т /(АА'2 + ВВ' + СС'2 /а СА + 2 ь 2 СВ . У к а з а н и е. Воспользоваться13.42. СН == 22а+а +ЬЬподобием треугольников АБС, САН и СВН.r r cr у·==��1=���r == a 1 а++Ь Ь 2++с з+ r2 ctg Сr - rз ctgctg + ctg С---?13.43..
к а з а н и е. Применить теорему из задачи3. 1 9.В------13.44.В13.45. У к а з а н и е. Ввести радиус-векторы вершин тетраэдра.точек..13.46. У к а з а н и е. Ввести радиус-векторы) .и рассмотреть точку М с радиус-вектором (·r 1 , rr12+, . r2, +Гn. . . + r А1/п, А2,. . . , Anп§ 1414. 1 . Да, если прямая проходит через точкуДа. 3, , . Нет.14.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
