Том 1 (1113042), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Доказать, что параболы, имеющие общий фокус и совпадающие, но противоположно направленные оси, пересекаютсяпод прямым углом (т.е. касательные, проведенные к ним в каждой точке их пересечения , взаимно перпендикулярны ) .35. 18. Написать уравнение параболы, касающейся оси Ох вточке (3, О) , а оси Оу в точке (О, 2) .35 . 19 .Написать уравнение параболы, проходящей через точки ( О, О) , ( О, 1 ) , осью которой служит прямая х + у + 1 = О.35 .
20 . Написать уравнение параболы , зная ее директрису х у + 8 = О и фокус F( - 1 , -2) .35 . 2 1 . Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а фокус - в точке F(l , 1) .35 . 2 1 . 1 . Составить уравнение линии второго порядка, знаяее фокус F ( l, 1 ) , директрису х + 2у - 1 = О и эксцентриситетс = VБ.35 . 2 1 . 2 . Составить уравнение линии второго порядка, зная еефокусы F1 (1 , 1 ) , F2 (-2, -2 ) и одну из ее директрис х + у - 1 = О.35 . 2 1 . 3 .
Составить уравнение линии второго порядка, зная ее§35. Линии, з аданные общими уравнениями315фокус F(-3, -7) , центр (- 1 , - 3) и одну из директрис х + 2у - 4 =о.35 . 2 2 . Пользуясь методом Лагранжа, определить вид сле,цующих линий второго порядка ( система координат аффинная ) :1)2)3)4)5)6)2х 2 + Зху + 4у 2 - 5х + 2у - 1 = О;4х 2 - 4ху + у 2 - 8х + 6у - 2 = О;2ху - 4у 2 + 6х + 6у + 1 = О;х 2 - 4ху + у 2 - 4х + 2у - 2 = О;х 2 - 2ху + 4у 2 + 2х - 2у - 4 = О;х 2 + 4ху + 4у 2 - 6х - 8у = О.1)2)3)4)2х 2 - 5ху - 12у 2 - х + 26у - 10 О ;Зх 2 + ху - 2у 2 - 5х + 5у - 2 О ;4х 2 + 16ху + 15у 2 - 8х - 22у - 5 = О;4х 2 - 4ху + у2 - 6х + Зу - 4 = О.35 .
23 . Пользуясь методом Лагранжа, показать, что каждоеиз нижесле,цующих уравнений определяет пару прямых, и найтиуравнения этих прямых ( система координат аффинная) :==35 . 24. Используя параллельный перенос , выяснить вид и расположение на координатной плоскости следующих линий второго порядка:1) х 2 + у 2 - 2х + 6у - 5 = О;2) х 2 + 4у 2 + 4х - 8у - 8 = О;3) х 2 + 2у2 + 8х - 4 = О;4 ) 9х 2 - у 2 - 18х - 20у - 316 = О ;5) 6х 2 - 5у 2 + 12х - 10у + 31 = О;6) х 2 - 4у 2 + 6х + 5 = О;7) у 2 - 10х - 2у - 19 = О ;8) у2 - 6х + 14у + 49 = О ;9) у2 + 8х - 16 = О;10) х 2 - 6х - 4у + 29 = О;1 1 ) 2х 2 + у 2 - 4х + 4у = О;12) 6х 2 + 8у 2 + 3х - 4у + 1 О;13) 2х 2 + 9у 2 - 12х - 6у + 19 = О;14) 3х 2 - 2у 2 + 6х + 4у + 1 О ;1 5) х 2 + х - 6 = О;16) у 2 - 5у + 11 = О;17) 25х 2 - 30х + 9 = О.==35 . 2 5 .
Линия второго порядка определяется уравнениемх 2 - 2у + Л ( у 2 - 2х) = О.Глава IX. Линии и поверхности второго порядкаЗ16Определить тип линии при каждом вещественном значении параметра Л и описать ее расположение относительно данной системы координат.35. 26. При каком необходимом и достаточном условии уравнение Ах 2 + Ву 2 + 2Сх + 2Dy + Е = О задает: 1) эллипс; 2) гиперболу? Система координат аффинная .35 .27. Используя . метод вращений, определить форму и расположение на плоскости следующих линий второго порядка:1) х2 - 2ху + у 2 - l Ox - 6у + 25 = О ;2) ху + х + у = О;З) 5х 2 + 8ху + 5у 2 - 18х - 18у + 9 О ;4) 5х 2 + 6ху + 5у 2 - 16х - 16у - 16 О ;5) х 2 + 2ху + у 2 - 8х + 4 О ;6) 5х 2 + 4ху + 8у 2 - З2х - 56у + 80 О;7) 5х 2 + 12ху - 22х - 12у - 19 О;8) 4х 2 - 12ху + 9у 2 - 2х + Зу - 2 О ;9) 4ху + Зу2 + 16х + 12у - 36 О ;10) 2х 2 + 4ху + 5у 2 - 6х - 8у - 1 О;1 1 ) 6ху - 8у2 + 12х - 26у - 1 1 = О;12 ) 4х 2 - 4ху + у 2 - 2х - 14у + 7 О ;lЗ) х 2 - 4ху + 4у 2 + 4х - Зу - 7 О ;14 ) 4х 2 - 4ху + у2 - 6х + Зу - 4 О===========.35 .28.
Линия второго порядка определяется уравнениемх 2 + 2Лху + у 2=1.Определить вид линии при каждом вещественном значении параметра Л и описать ее расположение относительно данной системы координат.§36 .Эл липсоиды , гиперболоиды , параболоидыЭллипсоиды. Поверхность, определяемая в некоторой прямоугольнойдекартовой системе координат Oxyz уравнениемх22а+ уь22 + z2 = l,2с(36 . 1 )называется эллипсоидом ( рис. 1 ) . Уравнениеназывается канони'Ческим уравнением эллипсоида, а соответствующая система координат Oxyz- канони'Ческой для данного эллипсоида.Числа а , Ь, с в каноническом уравненииназываются полуосямиэллипсоида.
Если а , Ь, с попарно различны, то эллипсоид называется трехоснЪtм. Если две полуоси эллипсоида совпадают, то такой эллипсоид называ-(36. 1 )(36 . 1 )§36. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды317zРис.1а = = с,ется эллипсоидом вращения. Если жеЬто эллипсоидявляетсясферой радиуса с центром в начале координат.Эллипсоид обладает следующими простейшими свойствами.а(36. 1 )1°. Координатнъtе плоскости канони'Ческой систе.м,'Ь(, координат эллипсоида явл.яютс.я плоскосrп.ями симметрии, координатные оси - ос.ями симметрии, а 'Центр координат - 'Центром симметрии эллипсоида. Координатные оси канонической системы координат называются главными осями,а начало координат - 'Центром эллипсоида.Эллипсоид - ограни'Ченна.я поверхностъ, заклю'Ченна.я в паралл ел епипеде \ х \ < а, IY \ < Ь, \ z l < Если эллипсоид трехосный, то точкис) ,-спересечения эллипсоида с егоЬ,( -а , О ,- Ь, О) ,главными осями называются вершинами эллипсоида.Лини.я nересе'Чени.я эллипсоида с любой плоскостъю его се'Чени.я .являете.я эллипсом.2°.О), (О,3°.О), (О,с.(О, О, (О, О,)(а, О, О) ,Отметим, что для любого эллипсоида существует семейство плоскостей,пересекающих этот эллипсоид по окружностЯI\11 .
Например, если эллипсоидтрехосный и > Ь > то таковыми являются плоскостиагдес,cva2 - Ь2 х ± aJb2 - c2 z + ЛасJа2 - с2 = О,\ПЛ Iр<и м1 . е р 36. 1 . Дан эллипсоид(36. 2)и плоскость3х + 4у + 6 z - 12 = О.(36. 3)Установить, пересекает ли эта плоскость эллипсоид, и в случае положительного ответа найти центр линии сечения.Р е ш е н и е. Плоскость (36.
3 ) проходит через три точки М0( 0, О, 2), М1 (6,О, -1), М2 (О, 6, -2). Если за направляющие векторы этой плоскости взятьвекторы= { 6, -3} и е2 == {О, 6, -4}, то ее параметрическое уравнениебудет иметь вид{ хz == 26v,6 -, 3и- 4v.(36. 4)eiО,у ==иГлава IX. Линии и поверхности втор ого порядка318Соотношения (означают, что и идекартовы координаты точкиплоскости (в плоскостной системе координат { Мо ; е 1 , е 2 ·Подставляя (36.4) в уравнение эллипсоида (36.2) , получим уравнениелинии пересечения в плоскостной системе координат {М0 ; e i , е 222 (=или+= О.Это уравнение опре�еляет эллипс, так как (см. §35)-612 =о,< о.>-6Координаты центра эллипса определяются из системы6 = О,== О :::=::} =+36.4)36.3)v-}}4и + 9v + 2 - 3и -4v) 2 113и2 24uv + 25v2 - 12и - 16v + 3131213121225-81 12 25 1-8 35432+12vvи{ 13и12и 25v - 8181 ' 181 .Отсюда и из (36.4) находим координаты центра в исходной системе координат Oxyz:z===192 18172 .
•х 324181' у 181'П р и м е р 36. 2 . Составить уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат, если известно, что он проходит через окружностьхная.2 + у2 + z = 9, z = х, и точку .Л10 ( 3 1, Система координат прямоуголь3 3Р е ш е н и е. Точки М1 (О, 3, О} , 12 ( J2 ' J2 ) лежат на окружности. Таккак оси эллипсоида совпадают с осями координат, то уравнение эллипсоих2 + у2 + z2 = 1. Величины а, находятся из того, чтода имеет видкоординаты точек lvlo , А11 , М2 удовлетворяют этому уравнению:2ь+2 = 12, 9, = 7, 2.-9ь 2 = -+2 = 1,а+ -1{Таким образом, искомое уравнение имеет вид2z2у+ + 7, 2 l .21).,1\29а - 292а-22Ь2а1О,Ь, ссс- 2'92сЬ2:::=::}-х2129=с2•=Гиперболоиды.
Поверхность, определяемая в некоторой прямоуголь-ной декартовой системе координат Oxyz уравнениемz22с)х22 + уь22 - = l,( 3 6. 5рис. 2), а поверхность, опредех2 + уь22 z2(36.6)аназывается оih-юполосmн'Ым гиперболоидом (ляемая уравнением2а- 2с=-l,§36. Эллипсоиды , гиперболоиды, параболоидыz319z:rРис.Рис.23называется двуполостнъш гиперболоидом (рис.Уравненияназываются каною_t'Ческими уравнениями соотиветственно однополостного и двуполостного гиперболоидов, а соответствующие системы координат- канони'Ческими для данного гиперболоида.иназываются поЧисла а, Ь, с в канонических уравненияхлуосями гиперболоидов. Если полуоси а и Ь гиперболоида равны, то такойгиперболоид называется гиперболоидом вращею.t.я .Однополостный и двуполостный гиперболоиды обладают следующиl\Iипростейшими свойствами.3).(36. 5) (36.6)( 36. 5 ) (36 .
6)Oxyz1 °. Координатньtе плоскости канони'Ческой систем'Ьt координат гиперболоида являются плоскостями симметрии, координатные оси - осямиси.мметрии, а v,ентр координат - 'Це'Нтром симметрии гиперболоида. Координатные оси канонической системы координат называются главнъtмиосями, а начало координат - v,ентром гиперболоида.Для однополостного гиперболоидас неравными полуосями а f Ьточки ( а , О;О), ( - а , О , О) , (О, Ь, О), (О, - Ь, О) пересечения гиперболоида с егоглавными осями Ох и Оу называются его вершинами. Вершинами же двуполостного гиперболоиданазываются точки ( О , О , с) , (О, О , - с ) пересе(36.
5)(36.6)чения гиперболоида с его главной осью Oz.2° .Гиперболоидъt - неограни-ченнъ�е поверхности, при'Чем двуполостнЪtйгиперболоид состоит из двух симметр'l.L'ЧН'ЬtХ непересекающихся поверхно> с.стей (полостей) , 'JЮСположеннЪLх в полупространствахСе'Чения гиперболондов плоскосrп.ями zгде h любое - для однополостного гиперболонда u> с - для двуполост'Ного гиперболонда,представляют собой эллипсъ�, 'ЧЪU полуоси неограни'Ченно возрастают при3°.h ---+h =lhl==оо .4О°, .llzh,Эллипс, получающийся в сечении однополостного гиперболоида приназывается его горлов'Ьtм эллипсом.Се'Чения гиперболоидов плоскостями х = h и у = h представляютсобой гиперболъt за исклю'Чение.м, одного слу'Чая: плоскости х = ±а и у =±Ь пересекают однополостн'Ьtй гиперболоид ( .
по паре пересекающихся36 5)Глава IX. Линии и поверхности второго порядка320прям'ыХ.Последнее свойство указывает на важную особенность однополостногогиперболоида - наличие прямых, целиком на нем лежащих. Прямые, всеточки которых лежат на поверхности, называются nрямолин.ей'Н'Ыми об]Jазующими этой поверхности.а 36. 1 . Через кажю то'Чку одн.оnолостн.ого гиперболоТормдуееида (36. 5 ) проходят две пр.ямолин.ейн.ъtе образующие, общие уравн.ен.ия которъtх имеют вида ( : - �) /3 (1 - t) ,,В( х + �) = а (1 + !t)Ь ,Ct2 + ,в2 -:/= о- .:.) = 8 (1 + !t)Ь ,8 ( х + �) = 1 (1 - !t)Ь ,"2 + 82 -:/= о .!' ( �·аПримерперболоидаисасас_36.3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
