Том 1 (1113042), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Для этого примем за начало координат О середину отрезкакориентацию на оси Оориентированную отОх - прямуювыберем произвольно ( рис. 1 ) .FF11F1фокусн'ымфокуса2а ., F2 расстояниемF1 ) r2F2 )r1FF2 .ми2 эллипса,фокал'ЬН'Ы,Ми радиусамиF1 F2,аrr2а,12канони'Ческую систему ·координат F F1 2,F1 F2;у-tРис. 1F1 F2динат Тимеет видФокусыв канонической системе координат, очевидно, имеютикоординаты ( - с, О) и ( с, О) соответственно.е о р е м а 34. 1 .где а ь>>о,Ь2 а 2 - с2 .=Утювнение элл1шса в канони'Ческоu системе коорх22 + у22 == 1 ,(34.
1 )а ь292Глава IX. Линии и поверхности второго порядка(34 .1)?И'НО'Ни'Ческим урав'Не'Нием эллипса.Коорди'Нат'Нъ�еосика'Но'Ни'Ческойсистемъ�коорди'Нат.явл.яютс.яос.я1°.ми симметрии эллипса, а 'На'Чало коорди'Нат - его 'Це'Нmром симметрш.t.Начало координат канонической системы координат называется 'Це'Нтромэллипса, числа 2а и 2 Ь - болъшой и малой осями эллипса, а числа а и Ь его болъшой и малой полуосями.Всето'Чкиэл.л1шсалежатвпр.ямоуголъ'Нике,огра'Ни'Че'Н'НОМпрям'Ьt2°.ми х = ± а и у = ± Ь.
Точки (-а, О), (а, О), (О, -Ь), (О, Ь) пересечения эллипсас осями координат называются верши'Нами эллипса.Число е = с / а называется экс'Це'Нтриситетом эллипса. Из определенияследует, что О < е < 1, при этомУравнениеназываетсяЭллипс обладает следующиыи простейшими свойствами.c = Jl �:.Для эллипса, не являющегося окружностью, две прямые di и d 2 , заданные в канонической системе координат уравнениямиd i : х == - - и d2 : х,называются(рис.Директриса di называетсяаа==еесодиректрисами1).i == 1, 2.ответствующейфокусу Fi,эллипсаТ е о р е м а 34.2. Эллипс, 'Не явл.яющийс.я окруж'Ностъю, естъ геометри'Ческоеместоmо'ЧекМ'JЮССтоя'Ниюплоскости,до дл.якотор'ЬtрасстоХ от'Ноше'Ние.я'Ни.яотда'Н'НОйто'ЧкиFкда'Н'Нойпр.ямойd, 'Не проходящей'Черезэтут.то'Чку,еди'Ни'Ц'ЬL,е . рав'Но посто.я'Н'Ному положителъ'Ному 'Числу, ме'Нъшемуp(M, F) = е, О < е < 1.(34.2)-p(M, d)(34 .
2 ),FДля эллипса, определенного условиема) точка является фокусом,б) прямая d - соответствующей фокусу директрисой,эксцентриситето:l\1,в) числоd) .г), где m ==Т е о р е м а 34.3.(х о ,х х о УУоFетер( F,а = 1 - е2 , с = ае, Ь2 == а2 ( 1 - е 2 )каВка'Но'Ни'Ческойсистемекоорди'Натурав'Не'Ниесателъ'Ной к эллипсу в его то'Чке у0) имеет вида2 + ь2 - 1 ._Гипербола.называется геометрическое место точек А1плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний от двухиплоскости есть постоянное положительноефиксированных точекОбозначим это число черезчисло, :меньшее, чем расстояние 1\1ежду иназываютсягиперболы, расстояние между нимиТочкиМ,называетсяи обозначается Числаназываютсяточки М.иТаким образом , точка плоскости является точкой гиперболы тогда итолько тогда, когдаЛ.tnерболойF1 F2фокусами F1 F2 .
2с.2а. Fфокалъ'Нъш1 , F2 рассто.я'Ниемr2 == р(М, F2 )Мфокалъ'Нъtми радиусамиr 1 == р( F1 )293§34 . Эллипс, гипербола и параболак,анони'Ческую снстему координ.ат2).Уравнение гипербол'Ьt в канони'Ческой системе кох22 - у 2 = 1 ,(34.3)а ь2данной гиперВведем на плоскостиболы так же, как это было сделано выше для эллипса (рис.Т е о р е м а 34.4.ордин.ат имеет видгде ь > о ' Ь2 = с2 - а 2 .У равнение (3 4 .3) называется кано'Ни'Ческим уравнен.ием гиперболъt.Если в каноническом уравнении ( 3 4 .
3 ) а = Ь, то такая гипербола называется равносторонней.Гипербола обладает след.Ующими простейшими свойствами.1 ° . Координатн'Ьtе оси канони-ческой системъt коорд'l.тат являются осясимметрии гипербол'Ьl, а на'Чало координат - ее 'Центром симметрии.миОсь Ох, называемая вещественной ( действителъной) осъю гиперболЪt , пересекает гиперболу в точках (-а, О) , (а, О) - вершннах гиперболъ�. Ось Оуне пересекает гиперболу и называется ее мнимой осъю. Начало координатн азывается 'Центром гиперболъt, числа а > О, Ь > О - вещественной ( действ�tтелъной) и мнимой полуосями гипербол'Ьt.Рис.
2° . Все то'Чки гипербол'Ьt лежат вне полос'Ьt, определяе.м,ой nрямъ�ми2хветвями±а. . Две кривые, на которые распадается гипербола, называются ее3° . Все то'Чки гиперболъt лежат в тех вертикалън.'Ьtх углах, образованнъ�х прямъ�ми у = -аЬ х , котор'Ьtе содержат вещественную осъ.4 ° . Прямъ�е у = ± �а х являются аснмптотами гиперболъ� при хПря мые у = ± � х являются асимптотаl\1и и к гиперболе, заданной ураванениемх22 - у22 = - 1 .(34.
4)а ь=±�оо .Глава IX. Линии и поверхности второго порядка294Гиперболы, определяемые уравнениями (34.3) и (34.4), называютсяженн'ыми.Числое = с/ а называетсяния следует, что с > 1 , при этомсопряэкс'Центриситетом гиперболъt. Из определе€ =у�1 + �·Прямые di и d2 , заданные в канонической системе координат уравнениаа,di : х =d2 : х = - ,ссназываются(рис.
2) . Директриса di называетсяфокусу Fi , i = 1 , 2.Т е о р е м а 34. 5.!vlF 'JЮСd,'JI06HOс > 1,p(M, F)€ > 1.== с ,(34.5)p( NJ, d)я:ми·- -директрисами гиперболъtсоответствующейГипербола естъгеометри'Ческоеместото'Чекплоскости,длякоторЪtхотношениерасстоянияотданнойто'Чкик постояниюдоданнойпрямойнепроходящей'Черезэтутotttкy,стоянному 'Числут. е.Для гиперболы, определенной условием (34.5) ,а) точка F является фокусом,6) прямая d - соответствующей фокусу F директрисой,в) число с - эксцентриситетом,сг) а = €;п , с = ас Ь2 = а 2 (с 2 - 1 ) , где m = p(F, d) .- 1Т е о р е м а 34.6.в( хо , о )ххо УУо - 1 .-;;2 - Ь2,координат уравнение касателъной к гиперболе ееВ канони'Ческойтotttкe у системеимеет вид_Рис .
3Па'[ЮболойПарабола.называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние от некоторой фиксированной точки F плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой d, не проходящей через точку F. Точка F называетсяпрямая d -фокусом парабол'Ьl,295§34 . Эллипс, гипербола и параболадиректрисой.фокал'ЬН'ЫМ параметромр.фокалънЪtмJЮ,диусомЭкс'ЦентриситетпараболъtОхканони'Ческую систему координатООхОуО),х рУравнение паJЮ,болъt в канони'Ческой снстеме координат имеет виду = 2рх, р > О.(34.6)Уравнение (34.6) называется канони'Ческим уравнением параболъ� .Парабола обладает следующими простейшими свойствами.1° . Осъ Ох канони'Ческой системъ� координат .являете.я осъю симметриипараболъ�.Она называется осъю параболъ�.
Начало координат называетсявершинойпа'[ЮболЪt.° . Все то'Чки nа'[Юболъ� JЮ,Споло�енЪt в правой полуплоскости от оси2Оу.Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы назыееЧислопараболы и обозначается черезваетсяточки М.r р ( F, М) называетсяпо определению считается равным единице.Введем на плоскостидля данной папрямую, проходящую через точку F перпендираболы. Примем за оськулярно прямой d, ориентированную от пряыой d к точке F, за начало с прямой d; ориенсередину отрезка F D, где D - точка пересечения осивыбираем произвольно (рис.
3) .тацию на осиВ канонической системе координат параболы ее фокус F имеет координ аты ( 2Р , а директриса d - уравнение == - '2 .Т е о р е м а 34. 7.==2Следует отметить, что определение параболы, по существу, означает еедиректориальное свойствор ( А1, F) = .с---p(lv!, d)Т е о р е м а 34.8.(УУо =+ о .канони'Ческойсистемевидкоординат уравнение касателъной к параболе в ееВто-чкех0, у0) имеетр(х х )П р и м е р 34.
1 . Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности и данной прямой l , ее не пересекающей.Р е ш е н и е. Пусть А - центр данной окружности, а r - ее радиус.Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат следую щим образом ( рис. 4) .Проведеl\·I осьперпендикулярнопрямойтак,чтобыонапроходила чеурез центр А данной окружности. Обозначим через L - точку пересеченияосии прямой а через К - точкуLпересечения осис данной окружностью, ближайшую к прямой l . Выберемна осинаправление от точкиL к точке К .
Осьпроведеl\1 черезсерединуотрезкаLKперпендикулярнно оси К Будем считать также, чтоточка имеет координаты ( 1 ,При таком выборе системы коордиРис. 4нат прямая задается уравнениемх- 1 и, кроме того, L(- 1 , и A( r + 1 ,lхоОхОх.==ОхlО)О).l,ОхОх ОуlО).Глава IX. Линии и поверхности второго порядка296Рассмотрим произвольную точку М(х, у) , принадлежащую искомомугеометрическому месту.Пустьоснование перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую аточка пересечения отрезка МА и данной окружности.
Тогда� р(М,р(М, l) = р (М,= р(М, А) - r.l, В Н-Н)В)-Очевидно, точка М расположена правее прямой l, и потому это соотношение в координатной форме имеет вид:х + 1 = J(x - r - 1 ) 2 + у 2 - r.Отсюдах + 1 + r = J(x - r 1 ) 2 + у 2 �х 2 + 2(r + 1 ) х + (r + 1) 2 = х 2 - 2(r + 1)х + (r + 1 ) 2 + у 2 ���у 2 = 4(r + 1 )х.-парабол'ЫПоследнее соотношение является каноническим уравнениемсфокальным параметром р = 2(r + 1 ) . •г22уп р и м е р 34.2. Даны ЭЛ.
1 1 п с + ь2 = 1 и точка Мо (хо , Уо) . Выяснить,при каком расположении точкн Л,fо из нее можно провести касательные кэллипсу, и, если эти касательные существуют, найти их угловые коэффициенты.Р е ш е н и е. Отметим сначала, что эллипс имеет лишь две вертикальные касательные: х = а и х =Тем самым, из точки Мо (х о , уо) можнопровести вертикальную касательную тогда и только тогда, когда хо = ±а.Рассмотрим теперь произвольную прямую, проходящую через точку Мои заданную уравнением с угловым коэффициентом(34.7)У - Уо = k (x - хо) .а2-а.Прямая (34.7) является касательной к эллипсу, заданному каноническимуравнением (34.
1 ) , тогда и только тогда, когда система{У = Уо + k(x - х о ) ,(34.8)х2 у2+=1а 2 ь2имеет единственное решение. Выясним, при каких k имеет место это свойство.Для этого подставим первое уравнение (34.8) во второе:1х2( Уо + kx - kx o ) 2 = 1 �+2ь2аЬ2 + a 2 k 2 2 2k(yo - kxo )( Уо - kxo ) 2 - 1 - ох +х+ь2ь2а 2 Ь2Последнее квадратное уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:.§34 . Эллипс, гипербола и парабола297Перепишем последнее соотношение как уравнение относительно углового коэффициента k:Если х о = ± а , то(34.9)(34.9) имеет решение только, если Уа -:/= О, и при этому5 - ь 2k=.2х оуоТаким образом, из точек М0 (± а , у0 ) можно провести:- единственную вертикальную касательную � Уа = О;- две касательные � Уа -:/= О.Пусть х о -:/= ± а . Тогда уравнениеквадратное и число его решенийопределяется его дискриминантом(34.9) -2 2 - 4(х 2 а2 ) (у 2 ь2 =D = 4 Х оУооа-) 4а2 ь2( Х о + Уо 1 ) .2а22ь2 -Уравнениеимеет единственное решение, т.е.
из точки М0 можнопровести единственную касательную к эллипсу, если(34.9)хD = О <====>- а 26 + уЬа2 = 1 ,т.е. точка Мо - точка эллипса.Уравнениеимеет два корня, т.е. из точки М0 можно провести дверазличных касательных к эллипсу, если(34.9)хD > О <====>- а 62 + У5Ь2 > 1 ,т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
