Том 1 (1113042), страница 56
Текст из файла (страница 56)
2)Р е ш е н и е. В уравнении (З5. 2 ) коэффициент а н = 2 при х 2 отличен отнуля. Выделим полный квадрат в группе слагаемых левой части , содержащих переменную х:2 - 4ху + 4х=2(х22- 2ху + 2х) = 2(х2 - 2х(у - 1) + (у - 1 ) 2 ) - 2( у - 1) 2 =2х== 2(х2- у + 1) - 2у + 4у - 2 .Тем самым, уравнение (З5. 2 ) перепишется в виде2(х - у + 1) 2 - у 2 + Зу - 2 = О. 2В результате этого преобразования слагаемые - у + З у - 2 в левой части получившегося соотношения уже не содержат переменной х и, так каккоэффициент при у2 , равный -1, отличен от нуля, к ним также можно применить процедУРУ выделения полного квадрата:- у 2 + Зу - 2 - (у2 - 2 .
23 У + 49 ) + 49 - 2 = - (у - 2З ) 2 + 41 ·Таким образом, уравнение (З5. 2 ) примет вид2(х - у + 1) 2 - (у - 23 ) 2 + 41 = О <===> 4 (у - 2' ) 2 - В (х - у + 1) 2 = 1 <===>2� (2 у - 3) 2 - ( 2v'2x - 2./2у + 2v'2) = 1.Переходя к новым переменным х', у ' по формулам2у - З,{ ух'' = 2v'2x 2./2у + 2./2,Примерне ни ему==з==получим уравнение§35 . Линии, заданные общими уравнениями309(х ' ) 2 - (у ' ) 2 = 1 .В силу теоремы 35. 1 приходим к выводу, что исходное уравнение (35.2) зад ает гиперболу.
•П р и м е р 35.2. Определить вид линии второго порядка, заданной уравнением2ху + х - 2у - 1 = О.(35.3)Р е ш е н и е. В отличие от предыдущего примера левая часть уравнения(3 5.3) не содержит слагаемых с х 2 и у 2 . В этом случае следует сделать промежуточную замену переменныхх = х1 + у 1 , у = х 1 - у 1 .В результате уравнение (35.3) примет вид:2(х у - y f ) + х 1 + У 1 - 2(х 1 - У 1 ) - 1 = О <====> 2xi - 2y f - х 1 + 3у 1 - 1 = О.Здесь уже присутствуют слагаемые, содержащие х у и y f , и поэтому вэтом уравнении можно выделить полные квадраты относительно х 1 и у 1 посхеме, описанной в приl\·tере 35. 1 .
Имеем{{Вводя новые переменные х ' и у' по формулам1х' = ! х + ! у - ! 'Х = Х1 - 4 '224<====>1133у = У1 У' = 2 х - 2 у - 4 '4получим уравнение(х ' ) 2 - (у ' ) 2 = О,относящееся к пятому виду классификации теоремы 35. 1 , и следовательно,исходное уравнение (35.3) задает пару пересекающихся прямых. •Если общее уравнение (35. 1) линии второго порядка задано в прямоугольной декартовой системе координат, то метод Лагранжа, вообще говоря, не позволяет выяснить форму или расположение линии данного видана плоскости, так как матрица перехода в получающемся преобразованииможет быть неортогональной.Если для линии второго порядка необходимо выяснить какие-либо ееметрические характеристики, применяют так называемыйв комбинации с последующимП р и м е р 35.3.
Определить форму и расположение на плоскости линиивторого порядка, заданной в прямоугольной декартовой системе координатОху уравнением2х 2 - 4ху + 2у 2 + 3х - 5у + 1 = О.(35.4)/1переносом на'Чала координат.метод вращенийР е ш е н и е. Выполним поворот системы координат так, чтобы в новойсистеме координат Ох 1 у 1 уравнение (35.4) линии не содержало слагаемого с х 1 у 1 . Для общего уравнения (35 .
1 ) такой поворот осуществляется поГлава IX. Линии и поверхности второго порядка310формулам:C?S ер . Х 1 - sin ер . У1 '{ ху = sшер . х 1 + cos ер . У1 'где сtg 2 ер ===вида н - а 222a i 2.(35 . 5)В случае уравнения (35.4) имеем ер == 1Г/ 4, и формулы (35.5) приним аютПодставляя эти соотношения в ( 35 .4) , получимт.е.(35.6)Отмети м , что новая ось абсцисс Ох 1 задается в исходной системе координат уравнением у = х, а новая ось ординат Оу 1 - уравнениеl\,I у == - х.Покажем теперь, что уравнение (35.6) переносом начала координат может быть приведено к каноническому уравнению параболы.Для этого выделим полный квадрат относительно переменной у 1 :и введем новые переменные по формулам11х ' = х 1 + J2 ' у ' == у 1 - J2 'описыв ающим паралл ельный перенос системы координат в точку с коорди11натами х 1 - J2 , у 1 = J2 или, что то же самое, с координатами х = - 1 ,у = О в исходной системе коорди нат.Таким образом , в построенной систе�·1 е координат линия (35.4) задаетсяуравнениемJ22х( у' ) 4 'описыв ающим параболу с фокаль ным параметром р = J2/8.уравнеУчиты вая преобр азовани я систем ы координат, получи м, 1что фокусомзадает параболу с вершино й ( - 1 , 0) , осью у = х + иние1F(- ' ).
•16 16В случае общего уравнения ( 5 . 1 ) линии второго порядка на плоскостисправедливо следующее утверждение.Т е о р е м а 35.2. Дл.я любой линии второг о порядка сущест вуе т=/4(35.15 )3прямоу голъна.я декартова систе.м,а координат Оху, в которой у'JЮ внениеэтой линии имеет один из следующих видов:311§35 . Линии, заданные общими уравнениямиКанони'ЧескоеНазвание линииу'[Ювнение123456789х2у2+ах22 уь22 == 1, а � Ь > О-1,а 2 + ь2=+х2 у2 =о,а 2 ь2х2 у21,а 2 ь2 =х 2 у2а 2 - ь2 оу 2 2рх , р > Оу 2 = а2 , а > Оу 2 == -а 2 , а > Оу2 = оМним'Ый эл.л,ипсПара мним'ых пересекающихся прямЪtхГиперболаПa]Ja пересекающихся прямъ�х== ,==Эл.л,ипсПараболаПара парал.л,елън'Ых прям'ЫХПара мнимъ�х пшрал.л,елънЪtх прямЪtхПара совпадающих прямъ�хОтметим, что вид, форму и расположение на плоскости линии второгопорядка, заданной общим уравнением (35 .
1 ) , можно определить и непосредственно с помощью коэффициентов ai j , используя так называемые инварианты линий второго порядка.Введем матрицыА=[tr А, /2A I , Кз = I B I называются инвариантами линииее по.луинварианвторого порядка, число К2 =том. УравнениеЧисла 1 1==== I1 ��� � �:det(A - ЛI) == О<==:::>1 + 1 �����:1-Л 2 - l1 Л + /2 = О(35 . 7)называется характерисrпи'Ческим.Т е о р е м а 35.3. 1) При повороте прямоуголъной декартовой системъ� координат tтвариантЪt 11 , /2 , Кз и полуинвариант К2 линии второго порядка не изменяются.При переносе на'Чала координат инвариантъt 11 , /2 , Кз не изменяются, а полуинвариант К2 остается прежним, если 12 Кз = О.В силу (35.7) корни Л 1 , )..
2 характеристического многочлена линии вто2)==рого порядка также не меняются при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой прямоугольной декартовой системе.Связь инвариантов с каноническиыи уравнениями линий второго порядка показана в нижеследующей таблице.Признаки линий, приведенные в этой таблице, справедливы и в случаеаффинной системы координат.
Что же касается канонических уравнений, тоГлава IX. Линии и поверхности второr312для их представления через инварианты необходимо использоваские коэффициенты базиса исходной системы координат 1 .ПриведенноеуравнениеКЛ 1 х 2 + Л 2 у 2 + 1 з = О,2Л 1 Л 2 -:/= О1234l1 y 2 ± 2н- -у;- х = О,56К2 0,-у;- ==11 i= ох2 у2-=1а 2 - ь2х2а2--у2=у2ь2 = О-НазваниелинииЭллипсМнимыйЭЛЛИПСПара мнимыхпересекающихсяпрямыхГиперболаПара пересекающихся прямыхПарабола2рх,р>Оу2 = а2 ,Пара параллель-а>Оных прямых8у 2 = - а2 ,9у 2 == оПара мнимыхпараллельныхпрямыхПара совпадающих прямыхl1 Кз -:/= Оl1 y 2 +Каноническоеуравнениелиниих2 у2+ =1,а 2 ь2а>Ь>Ох2 у 2-2 + ь2 = - 1ах 2 у2+ =0а 2 ь27а>ОЦентром линии второго порядка называется ее центр симмТ е о р е м а 35.4.
То'Чка Мо (хо , уо) .являете.я 'Центромрого пор.яд'Ка, заданной в аффинной систе.м,е координат уравнетогда и толъко тогда, когда ее координат'Ьt х о , Уо .являются ptстемъt{ aiа 121 хx ++ аa22i 2 УY ++ аа2�зз == О,О.1 Подробнее сведения о связи различных параметров линийрядка с коэффициентами aij их общих уравнений можно полу'(.мер, из ( 1 , с.
128-139] .§35 . Линии, заданные общими уравнениями313Отметим, что первые пять линий второго порядка, характеризуемыеусловием 12 -:/= О, имеют единственный центр и называются 'Цен.m'[ХJ,Л'ЬН'Ыми. Последние три линии ( /2 = Кз = О) имеют прямую целиком состоящуюиз их центров, и, наконец, единственная линия - парабола - вообще не имеетцентра (/2 = О, Кз -:/= О) .ЗАДАЧ ИВ задачах этого параграфа считается, что система координат прямоугольная декартова. Случай произвольной аффиннойсистемы координат оговаривается особо.35. 1 .
Эллипс с полуосями а и Ь перемещен так, что его центрсовпал с точкой С( хо , Уа) , а оси остались параллельными осямкоординат. Какое уравнение имеет эллипс в своем новом положении?35 . 2 . Написать уравнение эллипса, пересекающего ось Ох вточках ( 1 , О) , (9 , О) и касающегося оси Оу в точке ( О, 3), зная, чтоего оси параллельны осям координат.35 .
3 . Написать уравнение эллипса, оси которого параллельны осям координат, если он касается осей Ох и Оу соответственно в точках ( 5 , О) и ( О , 3 ) .35.4. Эллипс касается оси ординат в начале координат, ацентр его находится в точке ( 5, О) . Составить уравнение эллипса,зная, что его эксцентриситет с равен 4/5.35. 5 . Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеюткоординаты F1 (О, 1 ) , F2 ( 1 , О) , а большая полуось равна 1 .35 .6 .Написать уравнение эллипса с полуосями а = 2, Ь = 1 , длякоторого прямые х + у 1 = О и х у + 1 = О суть соответственнобольшая и малая оси.35 . 7.
Эллипс при движении по плоскости касается двух взаимно перпендикулярных прямых. Какую линию описывает центрэллипса?35.8. Написать уравнение гиперболы , проходящей через точку ( 1 , О) , если известно, что ее асимптотами являются прямыех = о и у = 1.35 . 9 . Составить уравнение гиперболы, фокусы которой имеют координаты ( 1 , О) , (О, 1 ) , а асимптоты параллельны осям координат.--35 .9 . 1 .
Доказать, что уравнение уах + Ьd , где с =!= О исх +314Глава IX. Линии и поверхности второго порядкаad =!= Ьс , задает на координатной плоскости равностороннюю гиперболу. Найти ее фокусы.35 . 10 . Написать уравнение равносторонней гиперболы, знаяее фокус (1 , 1) и асимптоту х + у = О.35 . 1 1 . Написать уравнение равносторонней гиперболы, знаяее фокус (2, О) и асимптоту х = 1 .35 . 12 . Составить .у равнение гиперболы, зная один из ее фокусов ( -2 , 2) и асимптоты 2х - у + 1 = О, х + 2у - 7 = О . .35 .
1 3. Составить уравнение параболы, зная , что фокус имееткоординаты: а) (5 , О) , б) ( - 3 , 1) , а ось ординат служит директрисой.35 . 14. Определить фокус параболы у = х 2 - 4х + 5.35 . 1 5 . Составить уравнение параболы, зная , что ее вершинаимеет координаты ( а , Ь) , фокальный параметр равен р и направление оси симметрии совпадает: 1) с положительным направлением оси Ох; 2) с отрицательным направлением оси Ох; 3) сположительным направлением оси Оу; 4) с отрицательным направлением оси Оу.35 . 16 . Написать уравнение параболы, вершина которой находится в точке ( 2, 6) , а ось параллельна оси Оу, зная , что наоси Ох эта парабола высекает хорду длины 6.35 . 1 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
