Том 1 (1113042), страница 79
Текст из файла (страница 79)
х = - -х222"'222"0' ( 1 , 1 , - 1 ) , е� = { - 1/2, - 1 , 5/2} , е� = { - 1 /2, О, 3/2} , е� = { - 1 /2, О, - 1 / 2 } ;0( 1 , - 1/2 , 3/2) , e i = {О, - 1/2, -3/2} , е 2 = { - 1 , 3 / 2, - 1 / 2 }, ез = {О, 1 /2, - 1/2 }1121 '21z + 2, у- 3 х + -v1223.69. х = - 3 х - VIВ Y +-у + 1, z3v12112- -х - -- у - - z + 2.3VI8v121 ,11 ,1 ,1 ' 1 z , + 3, z = 1y -2x +23. 70. х = 2 х y - 2 z - 1 , y = "2 x +v12'12,v121z + 5.'12,2 , 1 , 2 , 22 ,1 , 2 , 2 , 223.
71 . х = 3 х - З у - 3 z + З ' у = - 3 х + 3 У - 3 z + 3 ' z = - 3 х2 ' 1 ' 23У + 3z + з ·23. 72 . стС = l. 23.73. x = -2x' - 2y' - z' + 2, y = y' + z' , z = z' .'' 1 ,1 ,23. 74. х = 2х + у + 3 z - 1 , у = у + 3 z , z = -х - у ' + 1 .11/111/////1Ответы и указания к §2442623. 75. х11= 32 х, - З1 у, - 31 z, + З1 ' у = - 31 х, + З2 у, - 31 z, + 31 ' z = - 31 х,3У - 3z + з ·'''''23. 76. х = 2х '' + 2у ' + z , у = х + 2у ' + z , z' = -х - у ' - z +23. 77. х = - z + 1 , у == у ' + 2 z ' - 1, z -х - у ' - 3z' + 2 .1//=1.§ 2424.
1 . Нет. 24.2. а , б) Нет. в ,г) Да.124.3. Нет в обоих случаях. 24.4. а) 20; б) - у'2 ; в )24.6. - 3/ 2 . 24. 7. - 13. 24.9. 7Г /3.24. 10. У к аз а н и е. Предположить противное, затемО; г) 18; д). -3.каждое из десяти получающихся неравенств возвести почленно в квадрат и сложить всенеравенства.24. 1 1 .
-19. 24. 12. а = arccos( -4/5) .24. 13.arccos(4/5) . 24. 14. VfO, 5v'2.24. 15. arccos ( l/3) . 24. 16. arccos( l/3) , arccos(2/3) .24. 17. 7Г - arccos( J2/3) . 24. 18. 7Г /2. 24.19. arccos( l /6) .24.20. У к аз ан и е. Выразить векторы, коллинеарные биссектрисам,а=через три вектора, выходящих из вершины трехгранного угла и параллельных его ребрам.24. 2 1 . У к аз ан и е. Выразить векторы, коллинеарные указанным отрезкам, через три вектора, выходящих из одной вершины и параллельныхребрам.24.22. У к аз а н и е.
См. указание к задаче 24.21 .24.23. У к аз ан ие. См. указание к задаче 24.21 .24.24. У к аз а н и е. См. указание к задаче 24.21.24. 25.2а .j3(- v'2) .24. 26.а1 2 ь + 1 ь 1 2 ал1+Ла2+11+ЛЬ2 - ( l +л Л ) 2 с ·2. У к аз а н и е. Использовать задачу 13.22.l a l 2 + l bl 2b24.28. l c l 2 - ( b ,2 c ) b + I Ъl 2 - ( 2, c ) c . У к а з ан и е. См.
указание1 Ь - cl1 Ь - clпредыдущей задаче. 2( b a - l al b24. 29. а, )24. 27. 1Ла1 а 1 2ьЛЛеа + Л Ь + Л с , где д I а - c l 2 1 Ь - c j 2 - ( а ( Ь, Ь - с ) ( с , Ь - с )Л ь __ ( с , Ь с ) ( а, Ь - с )Ла='( с , с - а) ( а, с - а) '( Ь , с - а) ( с , с - а )( а, Ь - с ) ( Ь , Ь - с )Ле( а, с - а ( Ь , с - а)24. 30.д=с,кЬ - с)2 ,-=У к аз) ан и е. Пусть О точка пересечения диагоналей. Выразитьвсе квадраты искомой величине через радиус-векторы точек А , В, С, D,х.24. 33. У к аз ан и е. Показать, например, что (АН, ВС) = О.·24.32.в----+�Ответы и указания к §24427У к аз а н и е. Пусть О - точка пересечения медиан треугольникаА БС.
Выразить все квадраты расстояний через радиус-векторы точек А , В,с, х .24.34. 1. У к аз ан и е. См. задачи 13.37 и 13.45.24. 34.2. У к аз ан и е. Использовать задачу 13.46.24.35. те / 2. У к аз ан и е. Пусть О точка пересечения диагоналей. Выразить квадраты всех сторон через радиус- векторы точек вершин четырехугольника.24.36. У к аз а н и е. Выразить векторы АВ, ВС, CD и DA через векторы А С, BD и MN.24.37. У к аз ан и е.
Использовать радиус-векторы точек А , В, С, D, Мотносительно произвольнойточки О.24.38. а ) 2nR2 ; 6) п 2 R2 .24.39. У к аз ан и е. Выразить квадраты в левой части доказываемогосоотношения через радиус-векторы точек A i , . . . , Ап , Х.24.40. У к а з ан е. См. указание к предыдущей задаче.24.42. а) 3 1 ; 6 ) 6; в) О ; г ) -2.24.43. а ) arccos( l/3) ; 6) arccos( l /3) ; в ) те / 2 ; г ) те /3.24.44.
а ) О; 6 ) 27; в ) 12; г ) -30.24.45 . а) {3, 2, 4} ; 6) {73, 32, 8} ; в ) {84, 34, 64 } . 24.46. {2/3, -2/3, - 1 /3 } .24.47. тr/4 или 3тr/4. 24.48. arcsin(6/ 1 1 ) , arcsin(2/ 1 1 ) , arcsin(9/ l l ) .24. 34.---+--+-----+--+---+---+--7и24.49. тr/3. 24. 50. arccos( J3/4) . 24. 5 1 . arccos( -4/9) .24. 52.
А = arccos fij5, В = тr / 2, С = arccos fi/5.d24. 53. = Ja 2 + Ь 2 + с2 + 2bc cOS Q + 2ca cos {3 + 2ab cOS /,а + b cos 1 + с соs {Зcos 1 + Ь + c cos acos DOAddDOB a, cos --а cos {3 + Ь cos а +с.dcos DOC =---_--_----= arccos(25/27) . 24. 55.24. 54.
= 15,24. 56. { -24, 32, 30} . 24. 57. {3, -3, -3} .24. 58. {-5/V2, l l/V2, -4 / V2} .а, Ъ а, у = Ъ ( а, Ъ а .24. 59. х =\ al 2I а\ 22 а - а, Ъ ЪЪ\.24.60. х = 2 2( а, Ъ 21 al I ь 1а а, Ь) а, сЬ ( Ь, Ъ24.61 . х IG( а, Ъ,Ъ, сс с, ь ) ( с, сdср 1 = ср2 = срз = те /2.----ВА С1)( )j ( )) (с)Г 1 ( ) ((рица Грама векторов а, Ъ, с.( 2 n . 24.63. { - 6, 6, -3} .24.62. а - а, n)'--==))), где G ( а, Ъ, с ) - мат24.64. 6.24.65. JЗ. 24.66.
{6, 6, 0 } . 24.67. {3, - 1 , 1 } . 24.68. 3 а/2.24.69. Нет, так как из этого следует лишь, что а+ Ь+ с+ d J.. е .24. 70. У к аз ан и е. Показать, что вектор, равный сумме этих десятиI nlвекторов, определяет требуемую ось.24. 71 . {5/3, 2/3, 1/3 } . У к аз ан и е . Показать, что а - Ь + с - меньшаявнутренняя диагональ.Ответы и указания к §2442824. 72. а) 1 e l 1 = V911 , 1 е2 1 = y/gi2 ; 6) cos w = 91 2 / )911 922 ; в ) J91 19 22 - 9 f2 ·24.
73. а) ( а , Ъ) =6 ) 1 al = J91 1 a r + 2 91 2 а 1 а 2 + 922 а � ,cos a: = ( 9 1 1 а 1 + 91 2 a 2 ) /( V91l l al ) , соs {З = ( 9 1 2 а1 + 922 a 2 )/ { v1§22 I al ) ;в ) cos ( а, Ь) = 1( alа , 1 Ь)Ь 1 .24. 74. { 4/5, - 1 /5}. 24. 75. 2v'61.24.76. АВ = 6, АС == 4, А = 7Г/3.24. 77. \ e1 I = 2, l e 2 I = 1 , ( � ) = 27Г/З.24. 78. l e1 I = v'I0/2, l e2 I = ЗJ2/2, ( е;,е-2 ) = arccos( - 2/ v'S ) .24.
79. А 1 В 1 = 1 , А 1 С1 = 5 , Ai = arccos(4 / 5) .24.80. а) G ( f1 , f2 ) = [G( e l , е 2 )] - 1 ;6 ) f1 = 9 - 1 { 922 , - 91 2 } , f2 9 - 1 { - 91 2 , 9 1 1 } , где 9 = I G( e1 , е 2 ) 1 ;в ) 1 f1 I = J922 /9 , \ f2 I = J91 1 /9 ; г) arccos(- 91 2 /( 91 1 922 ) ) .sinsin ер ,24 . 82 . 1 ) е 1 - cos ер 9 1 2v19 ер , 91 1v19I:;,J = l 9iJ aibJ;=={}sinsin, _ { - 922у'§ ер , cos + 91 2 ере2 ер,__vf9}.11221{ - 91 2 , 91 1 } , е� = 9 1 { - 922 , 91 2 } .92) е�24 . 83 . а = a l е 1 + а 2 е 2 ,/==24. 85.1где координаты1е1и1е2такие же, как и в{ sin(wSШ. -W ер) , sinSШ.
Wep } , е,2 = { - SШsin. UJep , sin(wSШ. +W ер ) } ·,предыду щей задаче .24.84. 1 ) е ,1 =1,2) е� (sin w) - 1 { - cos w, 1 } , е� (s in w) - 1 { - 1 , cos w } .а) 1 e l 1 = V911 , 1 е 2 1 = y/gi2 , 1 ез 1 = у'§Зз;==99з-з ,6 ) cos w1 2 = 9 1 2 / )91 1 92 2 , cos w 2 з = 92 з / у1,...2.. 2COS W l З = 91з / V91 1 9ЗЗ24.87. а) 1 al J91 1 a i + 922 а � + 9зз а � + 291 2 а 1 а 2 + 29 2 з а 2 а з + 291з а 1 а з ;( а , Ь)згде,6 ) cos { а , Ъ ) =( а , Ъ ) = L:i ,j = lal I Ъ Iа + а + аа+ 91 2 а 2 + 9 1з а з11124.88. а ) cos 0: 1 - 9, cos 0: 2 - 9 2 1 1 9 22 2 92 з з '91 1 а Iу�922 I а Ivrn:-:-Iааа+з1+зззз192 2 9cos а: з = 9, где 1 al определяется равенством и з предыду аI\у'§Зз·=9ijaibj .I__щей задачи ;a + а 2 cos w1 2 + а з cos w1зal cos w 2 1 + а 2 + а з cos w 2 з' cos а: 2 _6 ) cos а: 1 - l'1 al1 alаСОS О:з = a l cos wз1 + 2 cos wз 2 + а з_где 1 al = Ja� + а � + а� + 2а 1 а 2 cos w 1 2 + 2а 2 а з cos w2з + 2а з а 1 cos w 1з .24.89.
а - 1 . 24.92. {2::: � =1 9 1 1 а 1 , 2= �= 1 921 а1 , 2= � = 1 9з 1 аj } .24.93. l f1 I = l f2 I = l fз l = vfб/2, ( f1 , f2 ) = ( f2 , fз ) = ( f1 , fз )arccos( - 1 /3) .---------429Ответы и указания §25к24.94. cos 0 1 = . vlfi , cos 82 = vlfi , cos Оз == vlfi ,SШ W 2 3S Ш W3 1SШ W 1 21COS W 1 2 COS W 1 31COS W 2 3 .где f"2 = COS W 1 2COS W 1 3 COS W 2 31..§ 2525. 1. Да. 25.2. а) Нет ; б) да; в) нет; г) да.
25.3. Нет.25.4. { - 12, 7, 4} , {4, -2 , - 1 } , {5, -3, -2} . Образуют.25.5. 1 ) [ а, Ъ] ; 2) -2[ а, Ъ] ; 3) 6[ а, Ъ] . 25.7. Ct == - 15.25. 13. arcsin( l/3)25.14. arccos( 1/3) .25. 17. Либо векторы нулевые, либо имеют единичную длину и попарно.ортогональны.---+---+----+�У к аз ан и е . Показать, что [АВ, ВМ ] == [BC, CN].�25.22.
78. У к аз ан и е. Вычислить [А 1 В 1 , В 1 С1 ] .25.23. 1 / 7 У к аз а н и е. Выразить [PQ , QR] через [АВ, ВС] .25.24. а) 1 2 ; б ) 8; в ) 3 /1972 ; г ) 7vf3/2. У к аз ан и е. Вычислить�\ [АС, B D ] l /2 .25.25. 93/2.25.28. У к аз ан и е. Воспользоваться предыдущей задачей.25.29. У к аз а н и е. Воспользоваться задачей 25.26. 25.33. 58.25.34.
У к аз ан и е. Показать , что [АВ, С Е] == О25. 18. 9.25.21.---+.---+----+----+---+---+---+.25.35 . {6vl5/25, -v-5/5, -8V5/25 } .25.36. { 1/2, ( - 1 - vl5)/4, ( - 1 + vl5)/4} .25.37. {5 v12 , - 1 1/J2, 4/J2} . 25.38. { 2, -28, 3} .,8 с, а] + 1 [ а, Ъ] уа25.39. х - [ Ъ, с] + [. к аз а н и е. Разложить х по( а, Ь , с )векторам [ Ъ , с] , [ с, а] , [ а, Ъ]25.40.
{О, - 1/J2, 1 /J2} . 25 .41. { -7 /у'74, 3/у'74, 4/v'74} .25.42. { -v12/6, J2/6, 4 v12/ 6}.25.43. COS Ct = -2/VW, соs {З (1 + J2)/ V10 , COS )' == ( 1 - J2) / V10 .25.44. {5/ {26 , - 1 / v'26, 0 } ; луч лежит вне трехгранного угла.25.45. tроики одинаково ориентированы.25.46. d sg n( a , Ь, c) (l al ( Ъ , с] + I Ъ l [ c, а] + l c l [ a , Ъ] ) У к аз а н и е.Перейти к взаимной тройке ( см. пример 25 . 5) .�а , cos ,8 = д� , COSд25.47.
COS Ct = -д==, где)'..sш ерsш ерsш ерcos Ct 1 cos ,8 1cos /1 cos Ct 1cos !31 cos 1' 1да cos ,82 cos 1'2 ' д� - cos /2 cos Ct 2 ' д� - cos Ct 2 cos ,82 'ер - угол между данными лучами и sin <р =л� + л� + л� .25.48. sin ер == 4J2/45.et --2�2_2_,8_-�co_s_co_s_et_c_o_s_,8_c_os-,�_-c-o-sco_s_2_1' ·25.49.
48. 25.5 0. abc /_1_+__25. 52. 1 /3 . 25.53. 7.---+25. 54. 1 /27. У к аз а н и е. Выбрать базисными векторы АВ, АС,_.=.==-1.11-1-11J---+---+AD .430Ответы и указания к §261s паь�азЬзI nlnз---+ ---+ �25. 58. У к аз а н и е . Выбрать базисными векторы АВ , А С, A D .25. 59. У к аз ан и е. Показать, что смешанное произведение направляющих векторов этих биссектрис равно нулю .25.60. Ь = а cos ер + [ а] sin ер .Ь25.61. ОН = I , .: [�. �] �( [ Ь с + с, а + а, Ь[ Ь с)[ а, b] j 2 , ] [ ] [ )).25 .62.
У к аз а н и е. Ввести ортонормированный базис пространства(см. пример 25.6) .25.63. У к аз а н и е. См. указание к предыдущей задаче .25.64. Либо вектор Ь перпендикулярен векторам а и с , либо векторыа и с коллинеарны.25.64. 1 . Векторы [ Ь, с ] и [ а, d ] ортогональны.25.65. а) ( а, Ъ) = О ; б ) = [ а, Ъ]+ Л а, Л Е IR произвольно.I al 2а а2 - [ ai , Ъ] ; в) при условии [ ai , Ъ] = а а2 общее реше25.66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
