Том 1 (1113042), страница 83
Текст из файла (страница 83)
34. 1 ) а 2 А2 + Ь2 В 2 > С 2 ; 2) а2 А 2 + Ь2 В 2 С2 ; 3) а 2 А 2 + Ь2 В 2 < С2 .х2 у234. 35.= 1 . 34. 36 . Окружность х 2 + у 2 = а 2 + ь 2 .+17 8х5634. 36. 1 . 2 + У2 < 1 .34. 37. Зх + у = 8.аЬ34. 38. х 1 и 5х - 2у + 3 = О .34. 39. 1 ) 3х - у ± 3у'5 = О; 2) 5х - 2у ± 9 = О.х2х82 у 2234.40. 4 - у = 1 .34.41 .- 4 = 1.34.42 . 1 ) а2 А 2 - Ь 2 В 2 = С2 ; 2 ) а 2 А 2 - Ь2 В 2 < О ; 3 ) О < а 2 А 2 - Ь2 В 2 < С2 ;4) а 2 А 2 - Ь2 В 2 = О , С # О.34.43 . 1 ,2) Нет.34.
44. Можно только, если l k l > Ь/а.х634.45 . 2 - У26 Е ( - 1 , О) U (О , 1 ) ;аЬ22 у2х6 У5оУУl1 = О.ь2а 2 ь2а2 ь2а234.46. Ь 2 .34. 47. аЬ.34. 50 . Окружность х 2 + у 2 = а 2 - Ь2 , если а > Ь.2234. 50. 1 . Х 2о - Уь2о > 1 .34. 5 1 . у 2 4х.а34. 52. 1 ) В 2 р = 2АС; 2) А = О ; 3) В 2 р > 2АС, А # О ; 4) В 2 р < 2АС34. 54. Парабола у 2 = - � х без своей вершины.-·===(_)( x__i ) - ( xo x_==34.
54. 1 . Прямая х = О .34. 55. Директриса параболы34. 55 . 1 . у5 < 2рхо .- прямая х = -р/2._).Л2 у21х34. 56 . Эллипс 2 + 21 , где Ь =Л а.1+Ьах2 у234. 57. Эллипс 2 + 21.Ьах2 у2х2 у234. 58. Эллипс 2 + 2 = 1 .34. 59. Эллипс 2 + 2 = 1 .ааЬЬ34. 60. Эллипс. У к а з а н и е . Ввести пря м оугольную систему координатОху так, чтобы ось Ох проходила через центры 01 , 0 2 окружностей, а точкаО делила отрезок 01 02 пополам. Показать, что если 2h = 01 0 2 и 2а = R- r ,====443Ответы и указания к §35где R, r - радиусы внешней и внутренней окружностей соответственно, тох2у2 = 1 .геометрическое место задается уравнением 2аа 2 - h234.
6 1 . Эллипс. У к а з а н и е. Ввести прямоугольную систему координатОху так, чтобы ось Ох проходила через центр 0 1 окружности и данную точку А, а точка О делила отрезок О 1 А пополам. Показать, что если 2 h = О1 Аи а = R/2, где R - радиус окружности, то геометрическое место задаетсях2у2уравнением 21аа2 - h2 = .х 2 у234. 62 .
Гипербола 2 =а34. 63 . Ветвь гиперболы. У к а з а н и е . Ввести прямоугольную системукоординат Оху так, чтобы ось Ох проходила через центры 01 , 02 окружностей, а точка О была равноудалена от этих окружностей. Показать, что если. 00 2 и а - полуразность радиусов окружностей, то геометрическое= 001.(х а ) 2 у 2место задается условиями= 1 , х/а > О.а234. 64. Если прямоугольник - квадрат, то окружность, описанная околоквадрата, и прямые, содержащие его диагонали.34.65 . Гипербола. У к а з а н и е.
Ввести прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через центр 01 окружности и даннуюточку А, а точка О была равноудалена от окружности и точки. Показать,что если а == R/2 и = (О1 А - R) ( 01 A R)/4, где R - радиус окружности,(х + а) 2 у 2то геометрическое место задается уравнением= 1.а234. 66 . Две сопряженные гиперболы. У к а з а н и е. Ввести прямоугольную систему координат Оху так, чтобы оси Ох и Оу были биссектрисамиуглов, образованных данными прямыми.34.
67. Парабола.++Ь2 1.Ь2+Ь2Ь2+Ь2§ 35(х - хо) 2 (у - уо) 2 _35. 1 .- 1 . 35 . 2 . (х - 5) 2 + (у - 3) 2 = 25 .ь2а2(х - 5) 2 (у - 3) 235.3.+- 1.259у2(х - 5) 2(х - 5) 2 у 2l35 · 4 ·9 =1 и(25/3) 2 == .25253 5 . 5 . 3х 2 2ху 3у 2 - 4х - 4у = О .35.6. 5х 2 + 6ху 5у 2 - 6х - 10у - 3 = О .2с центром в точке35. 7. Дуга окружности радиуса у,-а�пересечения прямых, сим м етричных биссектрисе, угловой величиныarctg ( - а / ( 2аЬ) )3 5 . 8. ху - х 1 = О.35 . 9. 8ху - 4х - 4у 3 = О.3 5 . 9 . 1 .
Пусть D = b-ad/c. Если D > О, то фокусы (- (d/c) ±V2f5, (а/с) ±V2f5) , если D < О, то фокусы (- (d/c) =F VW, (а/с) ± V2f5) .35. 10. (х 1 ) 2 - (у - 1) 2 = 2 и (у + 1 ) 2 - (х - 1 ) 2 = 2.35. 1 1 . (х - l ) (y + 1 ) = 1/2 и (х - 1 ) (у - 1) = - 1/2.+++ ++1 Ь2 2 1 + .++_+_Ь_2+444Ответы и указания к §354х 2 6ху - 4у 2 - 26х + 18у - З9 = О.а) у 2 = 10х - 25; б) у 2 - 2у + 6х + 10 = О.(2, 5/4) .1) (у-Ь) 2 = 2р(х- а ) ; 2) (у-Ь) 2 = -2р(х- а ) ; З) (х- а) 2 = 2р(у - Ь) ;4) (х - а) 2 = -2р(у - Ь) .35. 16. 2х 2 - Вх + Зу - 10 = О.35. 18.
4х 2 - 12ху + 9у 2 - 24х - 36у + 36 = О. У к а з а н и е. Используязадачу З4.55, показать, что прямая, проходящая через точку О параллельнооси параболы, равноудалена от точек касания и, следовательно, имеет уравнение 2х - Зу + с 1 = О. Искать уравнение параболы в виде (2х - Зу + с1 ) 2 =р(Зх + 2у + с 2 ) .35. 19. х 2 + 2ху + у 2 + 5х - у = О.3 5 . 20. х 2 + 2ху + у 2 - 12х + 24у - 54 = О.3 5 . 2 1 . х 2 - 2ху + у 2 - 8х - Ву = О.3 5 . 2 1 . 1 . 4ху + Зу 2 - 2у - 1 = О.3 5 . 2 1 . 2 .
х 2 - 6ху + у 2 - 2х - 2у + 5 = О.35 . 2 1 . 3. 9х 2 - 8ху + Зу 2 - 6х + 10у - 10 = О.35 .22. 1) Эллипс; 2) парабола; З) гипербола; 4) гипербола ; 5) эллипс;6 ) парабола.35. 23. 1 ) 2х + Зу - 5 = О , х - 4у + 2 = О; 2) х + у - 2 = О , Зх - 2у + 1 = О;З) 2х + 5у + 1 = О, 2х + Зу - 5 = О; 4) 2х - у + 1 = О, 2х - у - 4 = О.35. 24. 1) Окружность с центром ( 1 , -З) и радиусом v'l5;2) эллипс с центром ( -2, 1 ) , большая ось параллельна оси Ох, полуосиа = 4, Ь = 2;З) эллипс с центром (-4, О) , большая ось параллельна оси Ох, полуосиа = 2 VS , ь = VIO;4) гипербола с центром ( 1 , - 10 ) , действительная ось параллельна осиОх, действительная полуось а = 5, :мнимая полуось Ь = 15;5) гипербола с центром ( - 1 , - 1 ) , действительная ось параллельнаоси Оу, действительная полуось а = Jб, мнимая полуось Ь = J5;6) гипербола с центром ( -З, О) , действительная ось параллельна осиОх, действительная полуось а = 2, мнимая полуось Ь = 1 ;7) парабола с вершиной ( -2, 1 ) , р = 5 , направление оси совпадает сположительным направлениеl\·1 оси Ох;8) парабола с вершиной (О, -7) , р = 3, направление оси совпадает сположительным направлением оси Ох;9) парабола с вершиной (2, О) , р = 4, направление оси совпадает сотрицательным направлением оси Ох;10) парабола с вершиной (З, 5) , р = 2, направление оси совпадает сположительным направлением оси Оу;1 1) эллипс с центром ( 1 , -2) , большая ось параллельна оси Оу, полуоси а = Jб, Ь = JЗ ;12) мнимый эллипс;lЗ) пара мнимых пересекающихся прямых;14) пара пересекающихся в точке ( - 1 , 1 ) прямых v'з(х + 1 ) ± ../2(у 1 ) = О;1 5) пара параллельных прямых х = -З и х = 2;16) пара мнимых параллельных прямых;17) пара совпадающих прямых 5х - З = О.35 .
1 2 .35. 13.35. 14.35 . 1 5.+445Ответы и указ ания к §363+1Л1 2"235. 25. При Л < - 1 - гипербола (х - Л) + Л ( у - ) =, деиЛЛствительная ось которой параллельна оси Ох. При Л = - 1 - две пересекающиеся прямые х - у = О, х + у + 2 = О. При - 1 < Л < О - ги1Л3 + 1пербола (х - Л) 2 + Л ( у - ) 2 =, действительная ось которой паЛЛраллельна оси Оу. При Л = О - парабола х 2 = 2у. При Л > О - эллипсЛ3 122(х Л) + Л (у) =с2 D 235 . 26. Пусть К =- Е . Тогда уравнение задает: 1 ) эллипс+ВА<===:>- А, В, К не равны нулю и одного знака; 2) гиперболу <===:>- А, В, К неравны нулю и АВ < О.3 5 . 27. 1 ) Парабола с вершиной (2, 1) и фокусом (З, 2) , р = 2J2, ось:у = х - 1;2) гипербола с центром ( - 1 , - 1 ) , асимптоты параллельны осям координат, фокусы: ( - 1 ± J2, - 1 ± J2°) ;З) эллипс с центром ( 1 , 1 ) , б6льшая ось: х + у - 2 = О , полуоси а = З ,ь = 1 ·'4) эллипс с центром ( 1 , 1) , большая ось: х + у - 2 = О, полуоси а = 4,Ь = 2;5) парабола с вершиной ( 1 , 1 ) и фокусом (З/2, 1 /2) , р == J2, ось:х + у - 2 = О;6) эллипс с центром (2, З) , б6льшая ось: х + 2у - 8 = О , полуоси а = З,ь = 2;7) гипербола с центром (1, 1), действительная ось: 2х - Зу + 1 = О,действительная полуось а = 2, мнимая полуось Ь == З;8) пара параллельных прямых 2х - Зу + 1 О, 2х - Зу - 2 = О;9) гипербола с центром (З, -4) , действительная ось: 2х - у - 10 = О,действительная полуось а = З, мнимая полуось Ь = 6;10) эллипс с центром (7/6, 1 /З) , б6льшая ось: 6х+ 12у- 1 1 = О, полуосиу'з576 Ь == J35/6;1 1 ) гипербола с центром ( - 1 , - 2) , действительная ось: Зх + у + 5 = О,действительная полуось а = 1, мнимая полуось Ь = З;12) парабола с вершиной ( - 1 /5 , З/5) и фокусом ( 1/10, 6/5) , р = З/'15,ось: 2х - у + 1 = О;lЗ) парабола с вершиной (З, 2) и фокусом (29/ 10, З9/20) , р = J5/10,ось: х - 2у + 1 = О;14) пара параллельных прямых 2х - у + 1 == О , 2х - у - 4 = О.3 5 .
28. При Л < - 1 - гипербола ( 1 + Л) (х ' ) 2 + ( 1 - Л) (у ') 2 == 1 , действительная ось которой х + у = О. При Л == - 1 - пара параллельных прямыхx - y ± l = О. При - 1 < Л < 1 - эллипс ( 1 + Л) (х ' ) 2 + ( 1 - Л) (у ' ) 2 = 1 , большаяось которого х + у = О. При Л = 1 - пара параллельных прямых х + у ± 1 = О.При Л > 1 - гипербола (1 + Л) (х' ) 2 + (1 - Л) (у ' ) 2 == 1, действительная оськоторой х - у = О. Здесь система координат Ох ' у' получена из системы Охуповоротом на угол 1Г / 4.__�:_==а ==,§ 36х2 у2 z236 " 1 "=+ +25 9 16l.у2 z236 " 2 "=+ +916 З6х2l.Ответы и указания к §364462 у22 у 2 (z 2) 2z2хх+l . 36 " 4 "36 3+ += l.+• • 12 9 36 / 5 ==12 1216(х - 1 ) 2 (у - 1 ) 2 +36.4.
1 .(z + 1 ) 2 = 1 .+422 у2 + z2х 2 + z 2 'L236 . 5 . 1 ) �+= 1 · 2)+ ь2 1 .'а2ь2а236. 6. Пересекает при I D I < 2 VЗ.36 . 7. х 2 + 2у 2 - 4х =· о, z = О.36. 8 . 1 ) (2, 1 , 1 ) ; 2) не пересекает эллипсоид.36.9. х = 6t, у = Зt, z = 2t, l t l < J2733 .36. 10. Зх + 4у + 4z = 2 1 . У к а з а н и е. Учесть, что если точка лежитна эллипсоиде, то и точка, сим:метричная ей относительно точки (3, 2, 1 ) ,лежит на этом эллипсоиде.-AD-BD-CD36. 1 1 .А2 + в 2 + с 2 ' А 2 + в 2 + с 2 ' А 2 + в 2 + с 2 '(А 2 + в2 + c2 ) R2 > D 2 .36. 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
