Том 1 (1113042), страница 84
Текст из файла (страница 84)
1 ) у'8/5, 3; 2) 4J2/5, 2/'15; 3) 1 , J2; 4) 3/5, VЗТS. У к а з а н и е.3) Ввести новые координаты по формулаы х' = (х + у + z)/VЗ, у ' = (х y)/vf2, z' = (х + у - 2z)/ J6 . 4) Ввести новые координаты по формуламх' = (у + z)/J2, у ' = (-2х + у - z)/ J6, z' = (х + у - z - 1)/VЗ.36.
13. 1 . Ьу11 - D 2 /(a 2 c2 ( a2 - с 2 ) ) .36. 14. Линия пересечения состоит из двух эллипсов. У к а з а н и е . Параметризовать второй эллипсоид равенствами х = а cos и cos v, у = Ь sin и cos v,z = c sш v.36. 1 5 . х 2 - у 2 + z 2 - 2z = О и х 2 - у 2 - z 2 + 4z = О.z2х2 у236. 16.= - 1 . 36. 17.
х = ±зvГз/2 и х = ±ЗJ2.+12 108 36zх-1 у-1 z х-1 у-136 " 18 "1 - -1 - 1' 1-1 - - 136. 19. Если х - z = u ( l - у) , и(х + z ) = 1 + у и х - zv( l + у) ,2(uv - 1 )v(x + z ) = 1 - у - две образующие, то cos O = ± 2l(и + l ) (v 2 + ) ·у z36. 20. х - 2у - Зz - 6 = О.36.
2 1 . Ь ± � = О.36. 2 5 . а) Эллипс, гипербола, парабола, пара пересекающихся прямых,пара параллельных прямых; б) эллипс, гипербола, пара мнимых пересекающихся прямых, мнимый эллипс.36. 26. Пара пряl\1ых, пересекающихся в точке (6, -2, 2) .36. 27. Пара параллельных прямых 4х - Зу + 5 = О, Зх + 4у - 5z = О и4х - Зу - 5 == О, Зх + 4у - 5z О.36 .
29. ( 4 , 2, -2) .36. 28. По гиперболе.36. 30. х = Зt, у = 3t, z = -t.36. 3 1 . Две окружности радиуса а. У к а з а н и е. Показать, что линияс а 2 - Ь222 у.пересечения лежит в плоскости z = ± -Ьа +с36. 32 . У к а з а н и е. Ввести систему координат так , чтобы ось вращениябыла осью Oz, а прямая имела уравнение сх - az = О, "J = -а ._=()=447Ответы и указания к §3 7... гиперболоид 4х2 + у2 - z2 = 1 .36 . 33 . однополостныиa J± l + D 2 /( b 2 c2 (b 2 + с2 ) ) .2 ( у - 3) 22 у2 zх(х2)36. 34.36. 35.
2 - ь2 - � == о.+- 2 ( z - 6)1 /33/4а2222х ух у z36. 36. - + - - - == О .36.37.2z или l lx 2 - 33у 2 -8z.22а Ь с4 1236. 38. х 2 - у 2 + z == О.36. 39. Эллипс х 2 + 2у 2 + 2х + 4у - 2 = О.36. 40. По гиперболе.х ух у36.41 . � - Ь + h == О, ( � + Ь ) h = -2z.36.43. р(а 2 + Ь2 ) + 2 с > о.36. 42 . х = у == - 1 , z > 1 .36.44. 1 . Гипербола, пара пересекающихся прямых, парабола, пара совпадающих прямых.36.45. х = t , у = ± 2t ={= 4, z = t - 1 .36.46. х = 8 - 2t, у = t, z = 4 - 2 t и х == 1 6 + 2t, у = t , z = 1 6 + 4t.36.47. х - у == о, z = о и х + у = о, z = о.Ь2 - а2 х 2 У 2, 2 - 2 = Ь2 - а 2 , а -:/= Ь. Пара пересека36.48.
Гипербола z =а2Ьющихся прямых z = О, х = у и z = О, х = -у.36. 5 1 . Параболоид вращения .36. 52. Гиперболический параболоид. У к а з а н и е. Ввести систему координат так, чтобы прямые задавались уравнениями z = - h , х sin а у cos а = О и z = h , х sin а + у cos а = О.х2 у236. 53. Гиперболический параболоид:= z.36 1636. 54. Окружность х 2 + у 2 = 4, z = 2.36. 5 5 . (0, ± 1 2, 9) , R = 15. У к а з а н и е. Показать, что пересечение лежит на плоскостях Зу ± 4z = О.z+a± z - a и х == ± z + a , x 36. 56. Четыре прямые: х = ± .J2 , хJ'2J'2z-a={= v12 .36. 57. х ± у ± -/2 == О, z == О; z ± x-/2+ 1 = О, у == О; z ± y-/2- 1 = О, х = О.Сечение состоит из четырех прямых х = t, у = ±(t + -/2) , z == - 1 - t-/2 их = t , у = ± (t - -/2) , z = - 1 + t-/2.36.
33. 1 ..======§ 3737. 3. ху + yz + xz = О.37. 1 . х 2 + у 2 = 2.37. 2. х 2 + у 2 = 4.222(х - 2)(у - 3)(z - 6)37 . 4 .= О.+936437. 5 . у 2 + z 2 = (kx + Ь) 2 .37. 6 . Конус 40(х - 2) 2 - 9у 2 - 9z 2 = О.У Ь Уа z � zo 2 + z � zo х � х о + х х о у Ь Уа 2 =37. 7.�r 2 (a 2 + Ь2 + с2 ) . У к а з а н и е. Учесть, что точки цилиндра равноудалены отего оси.37. 8. 8х 25у 2 5z 2 - 4ху 8yz + 4xz + 16х + 14у + 22z - 39 = О.У к а з а н и е.
См. указание к задаче 37.7.J( J1 J+ ++1448Ответы и указания к §3837.9. 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2xz - 2xz - 3 = О. У к а з а н и е. См. указаниек задаче 37.7.12137. 1 1 . а(х - у ) = {3, {З(х + у) = а, а 2 + [3 2 f. О.37. 10. arccos125 .37. 12. a(z - у) = {Зх, {З(z + у) = ах, а 2 + {3 2 f. О.37 . 13. У к а з ан и е. Найти на кривой четыре точки, не лежащие в однойплоскости.37. 14.
у 2 + z 2 = 1 . Не является.37. 15. Центр (3/2, О, "7 /4) ; ось симметрии у = О, х + 2z = 5 .37. 16. Центр (8 / 3, О, 2 / 3) ; полуоси а = у'32/9, Ь = у'в73.37. 1 7. Центр (-8/3, О, 1/3) ; полуоси а = у12079, Ь = y'I0/3.111137. 19. Ось х = + t, у = - 2 , z = В - t ; параметр р = 3vf2/4.В18 24 2518 24 2537 · 20 ·и.( 13 ' 13 ' 26 ) 2 ( 13 1 3 ' 26 )37. 2 1 . а) Цилиндр х + у2 + 2z 2 - 2xz - 2yz - 1 = О; 6) цилиндр х 2 +2у 2 + z 2 - 2xz + 2х - 2z - 8 = О; в ) цилиндр у 2 + z 2 - 2рх + 2 y z + 4pz == О.37. 22. а) Конус х 2 + у2 + 2xz - 2х + 2z + 1 = О; б ) конус у 2 - 2z 2 + xz х + 2z = О; в ) конус х 2 - у 2 - 2(z - 2) 2 = О.'§ 3838.
1 . х у + xz ± yz = О, ху - xz ± y z = О. 38.2. z 2 = ±2ху.38.3. (2х + z) 2 - 10(2х + z) + 25у 2 = О.хzzx VI2 уу38.5. ±==38.4. х = у = О и21 _1_ 16 24 9 ·2238.6. 1) Эллипс 3х + 4у + 2х у + 5х - 8 = О, z = О; 2) гипербола23z + 2yz - z - 1 = О, х = О; 3) пара пересекающихся прямых х + z = О, у = Ои х - 1 = о, у = о.38.
7. Парабола с вершиной (О, О, О) , р = 1 / ../2, осью у = О, х - z = О ифокусом ( 1 /4 , о, 1/4) .38. 8. 1 ) 2х + у = О, y + 2z - 2 = О; 2) x - 2y + 3z + 2 = О, x - 2y + 3z - 3 = О;3) x+2y+3z +4 = О, 3x-2y + z - 6 = О ; 4) x+y+ z + 1 = О, 5x +4y+3z + 2 = О.38.9.
1 ) Эллипсоид; 2) однополостный гиперболоид; 3) двуполостныйгиперболоид; 4) конус; 5) эллиптический параболоид; 6) гиперболическийпараболоид; 7) эллиптический цилиндр; 8) параболический цилиндр; 9) гиперболический параболоид; 10) однополостный гиперболоид.38. 10. У всех поверхностей оси канонической системы координат параллельны осям рассматриваемой системы координат.1 ) Эллипсоид с центром (3, - 1 , 2) и полуосями а = 7, Ь = 7 /2, с = 7 /3;(х') 2 (у ' ) 2 (z ' ) 22) однополостный гиперболоид вращения -- = -1 с41616центром (-4, О, -6) и осью вращения, параллельной оси Ох ' ;(у ) 23) конус вращения (х ' ) 2 + (z ' ) 2 = О с вершиной (3, 5 , -2) и осьювращения, параллельнои оси у ;4) параболоид вращения с вершиной ( 10, - 1 /2, -3/2) , р = 5/ 12, вектор{ - 1 , О, О} параллелен оси вращения и направлен в сто�,ону вогнутости;�....
о '449Ответы и указания к §385) гиперболический параболоид z' = 2 ( х' ) 2 2- 4(у' ) 2 2с вершиной (3/2, 1, 1 /2);6) эллиптический параболоид z ' = (х ' ) + 3 (у ' ) с вершиной (О, 1 , -2);7) конус (х ' ) 2 + 2(у' ) 2 - 3(z ' ) 2 = О с вершиной ( - 1, - 1 , - 1) ;2 ( ) 2 ( z' ) 2')х(8) однополостный гиперболоид ----и; +�- iб = 1 с центром (5, 2, 3);9) сфера с центром ( 1 , - 2 / 3 , О) радиуса R = 4/3;16 ;10 ) круговои" цилиндр (х - 1) 2 + ( у + З2 ) 2 = g1 1 ) пара пересекающихся плоскостей (2х - 1 ) ± (у - 2) = О.38. 1 1 .
1 ) Круговой конус -(х ' ) 2 + ( у' )2 + ( z') 2 = О с вершиной (О, О, О) ,направляющий вектор оси { 1, 1 , О} ;2) гиперболический параболоид (х') 2 - (у') 2 2z' с вершиной (О, О, О); ор1 1тонормированный базис канонической системы координат е 1 = J2 , J2 , О ,1={ -�' �,о } • е; = {О, О, 1};' {е� =3)}параболический цилиндр ( z') 2 = 5х' с вершиной (О, О , О); ортонормированный базис канонической системы координат е '1 = 53 , 4 , О , е 2 =S{{-�· �·о } , е; = {О, 0, 1};}/4) гиперболический цилиндр (z') 2 - 2( x ' ) 2 = 1 ; направляющая гиперболаимеет центр в точке (О, О , О) , ее действительная ось параллельна вектору1 1, J2 , О ; направляющая цилиндра параллельна вектору е 2 =е 1 = J2{}{ -�· �·о } .'138.
1 2 .1 ) Круговой цилиндр (х ' ) 2 + (z ' ) 2= 2� , ось параллельна вектору( �);{-2, 1 , О} и проходит через точку О, О , 2) параболический цилиндр (х ' ) 2 - 5у' = О, направляющая параболаимеет вершину в точке (- 1 , - 12/25, - 16/25) и ее ось параллельна вектору { О, -3, -4 } , направленному в сторону вогнутости параболы; образующаяцилиндра параллельна вектору { О , 4, -3};3) параболический цилиндр z ' = 2(х' ) 2 , направляющая парабола имеетвершину в точке (О, О, 1 ) и ее ось параллельна вектору { О , О, 1 } , направленному в сторону вогнутости параболы; образующая цилиндра параллельнавектору {-1, 1 , О} ;4) круговой конус (х' ) 2 - (у' ) 2 + ( z' ) 2 = О с вершиной (О, О, 1 ) и ортонор1 1мированным базисом канонической системы координат е 1 = J2 , J2 , О ,е�= { - �, �,о } , е; = {О, 0, 1 } ;' {5) пара пересекающихся плоскостей х - у ± ( z - 1) = О;}450Ответы и указания к §396) гиперболический параболоид (х ' ) 2 - ( у' ) 2 = -2z ' с центром ( - 1 , - 1 ,3/2) и ортонормированным базисом канонической системы координат е �1 11 10 , е '2 = - '0 , е 3 = {0, О, 1 } ;''J2 J2J2 J2 '7) круговой цилиндр (х') 2 + (z ' ) 2 = 1 , его ось проходит через точку(0, 0, - 1) и имеет направляющий вектор { - 1 , 1 , О} ;8) эллиптический параболоид (х ' ) 2 +2(z ' ) 2 =с вершиной;{}{}=/�(i, - �, � )-направляющий вектор оси параболоида {О, 1 , 1 } , оси эллипса в сечении параллельны векторам { 1 , 0, 0 } , {0, - 1 , 1 } ;9 ) круговой конус - (х ' ) 2 + (у ' ) 2 + (z ' ) 2 = О с вершиной ( - 1 , -2, - 1 ) и ор1 1тонормированным базисом канонической системы координат е 1 =,,J2 J2е� = е� = {О, О, 1 } .38.
13. Гиперболический параболоид у 2 + 2yz - z 2 + 4х - 2 = О. Каноническое уравнение: (у' ) 2 - (z ' ) 2 + 8 J2x ' О в системе координат е � ='11{0, - 1 , l + vГn2 } . Центр{ 1 , 0, 0 } , е 2 = .../{ O, l + vГn2, l } , е3 = .4 + 2J2v'4 + 2 J2( 1 / 2, О, О) .о},' {{ �, �,о},1=§ 3939. 1 . 1 ) ,2) ,3) ,4) ,8) , 10) , 1 1 ) , 13) ,14) , 1 5) Да .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
