Том 1 (1113042), страница 85
Текст из файла (страница 85)
5) ,6) ,7) ,9) , 1 2) , 1 6) ,1 7) Нет.39. 2 . 1 ) Нет; 2) да, абелева группа; 3) да, неабелева группа; 4) нет;5) нет; 6) если d -:/= 1 , то нет, если d = 1 , то это неабелева группа; 7) да, неабелева группа; 8) да, абелева группа; 9) нет; 10) да, абелева группа; 1 1) нет;12) да, абелева группа; 13) нет; 14) да, неабелева группа; 1 5) да, неабелевагруппа; 16)- 18) да, абелевы группы.39.
3 . 1) Да, неабелева группа; 2) нет; 3) нет; 4) нет; 5) да, неабелевагруппа; 6) да, неабелева группа; 7) да, неабелева группа; 8) нет; 9) да, неабелева группа; 10) да, абелева группа; 1 1 ) да, абелева группа; 1 2) нет; 1 3) да,абелева группа.39. 5 . Нет.39.4. 1 ) ,3) ,4) Да. 2) ,5) Нет.39.
7. Не образует в обоих случаях.39. 8. У к а з а н и е. Показать, что рассматриваемые уравнения имеютрешения.39.9. У к а з а н и е. Убедиться в том, что выполнены все условия задачи39.7.39. 10. У к а з а н и е. Рассмотреть равенство ( а Ь) 2 = 1 .39. 1 5 . У к а з а н и е. Учесть, что уравнение х + х = 1 в первой группене имеет решений.39. 16. У к а з а н и е. Рассмотреть множество решений уравнения х 2 = ев каждой группе: в первой группе уравнение имеет два решения, во второй- более двух решений.39. 1 7. У к а з а н и е. Сравнить множества решений уравнения х 2 = е вкаждой группе.451Ответы и указания к §39У к а з а н и е.
Пусть существует изоморфизм ер между этими группами. Тогда, так как ер(О) == О, то ep( l ) = А -:/= О . Доказать, что в этом случаеep (k) kA для Vk Е Z и ер(р) = рА для Vp Е Q. Используя предельный переход показать, что Vx Е IR изоморфизм действует по правилу ер (х) == хА.39. 19.
У к а з а н и е. Сравнить множества решений уравнения х 2 == е вкаждой группе.39. 23. У к а з а н и е. См. пример 39.6.39. 24. У к а з а н и е. Если а2 == 1 для любого элемента группы, то воспользоваться задачей 39 . 10. В противном случае найти неко:ммутирующиеэлементы а и Ь, для которых а 2 = Ь3 = 1.39. 27. У к а з а н и е. б) Если A U В - подгруппа, х Е А \ В, у Е В \ А, торассмотреть ху. в) Рассмотреть х Е (Н \ А) n (Н \ В) .39. 28. У к а з а н и е .
Рассмотреть элементы a k , k Е N, для каждого а Е39. 18.==н.39. 30. У к а з а н и е. Учесть, что если Н С Z - подгруппа, m, n Е Н иHOD(m, п) = р, то ::Jk, l Е Z: mk + nl = р . Поэтому pZ С Н.39. 32 . Нет. У к а з а н и е. Рассмотреть циклическую подгруппу, порожденную неединичным элементом.39. 33. У к а з а н и е. Рассмотреть циклические подгруппы { а } , порожденные элементами а Е G.39. 35 . Все циклические группы порядка, равного квадрату простогочисла.39. 37.
Бесконечная циклическая группа, все циклические группы простых порядков и единичная группа.39. 38. За исключением самой подгруппы Н смежные классы g H неявляются группами, так как не содержат единицу.39. 39. У к а з а н и е. Рассмотреть отображение ер : аН ---+- ЬН, определенное правилом: ep(a h ) == bh , Vh Е Н.39.44. а) Множества Ck == {п Е Z 1 п = k(mod р) } , k = 0, р - 1 ;б) множества Са = { х Е IR 1 х - [х] == а} , О < а < 1 ;в) :множества Ck = { п Е Z 1 п = (3k) (mod 24) } , k = О, 7;г) множества Са == {х Е Q 1 х - [х] = а} , а Е [О, 1) n Q;д) множества IR+ и JR_ ; е) множества Са == { а; -а } , а > О.39.45 .
а) :Множества прямых, параллельных оси абсцисс ;б) множества С ь параллельных переносов на векторы Ь + а а ( Е IR ) ,где Ь - векторы плоскости , перпендикулярные а;в) множества Са , а Е [О, 27r/n) , поворотов на углы а + 27rk/n (k Е Z) ;г) множества Ck , k == 1 , п, всех перестановок (а 1 , . . . , a n ) , у которых==G n k;д) множества Ca,f3 ,Е IR , многочленов ах 5 +,8х 4 + f(x) , где deg f (x) <3;е) множества Са ,Е IR , м ногочленов {f(x) Е /i.;/4 j f(x) == xf1 (x) +d eg f1 (x) < 3} .39.46.
а) Множества Ск матриц { А + К 1 А Е IR n x n , А т = А}, где К все кососи:мметрические матрицы из IR n x n ;б) множества Cs матриц {А + S I A Е IR n x n , AT == -А} , где S - всесимметрические матрицы из IRnв) множества матриц А = ( aiJ ) Е IR n с одинаковыми элементами надглавной диагональю (т.е. при j > i) .аа,а, {3ахп;хп452Ответы и указания к §39) Левостороннее разложение - это объединение множеств матnnxЕриц А R , у которых столбцы с одинаковыми номерами пропорциональны, а правостороннее разложение состоит из множеств матриц с аналогич39.47.аным свойством строк;б) левостороннее разложение - это объединение множеств матриц, вкаждом из которых содержатся все матрицы, получаемые друг из другапроизвольной перестановкой столбцов; правостороннее разложение состоитиз множеств :матриц с аналогичным свойством строк;в) левостороннее разложение - это объединение множеств матриц, вкаждом из которых содержатся все матрицы, получаемые друг из другаэлементарным преобразованием: столбцов, в котором к какому-либо столбпуприбавляется столбец с меньшим номером; умноженный на число; правостороннее разложением строится с помощью аналогичных преобразованийстрок;г) левостороннее разложение совпадает с правосторонним и являетсяобъединением множеств Са матриц { А R n x n 1 det A = а } .39.48.
Левый смежный класс содержит все дробно-линейные функцииао х + Ьу=, у которых ао , со фиксированы , а Ь, d R произвольны и удовлесо х + dтворяют условию ao d - со Ь -:/= О; правый смежный класс содержит все функации у = х + Ь , у которых со , do фиксированы, а а, Ь R произвольны исох + dоудовлетворяют условию ado - Ьсо -:/= О. Подгруппа не является нормальным:делителем.39.49. 3) Левый смежный класс АН составляют все матрицы, получаемые из А прибавлением ко второму столбцу первого, умноженного напроизвольное число; правый же смежный класс НА составляют все матрицы, получаемые из А прибавлением к первой строке второй, умноженной напроизвольное число. Подгруппа Н не является нормальным делителем.39.
50. 1) Да, является. 2) Если А n А00 , то смежный класс А 6 �содержит все подмножества множестване лежащие в М \ А0 . Если А nАо # 0 , то С!\Щжный класс А 6 1t содержит все подмножества множестваМ , содержащиеся в А n А0 .39.
52. Три подгруппы второго порядка: все перестановки, оставляющиена месте число k (k = 1 , 2, 3) , и одна подгруппа третьего порядка, содержащая все четные перестановки. Последняя подгруппа является нормальнымделителем.39. 53. а) 2; б ) п ; в) 4; г) 5; д) 6.39. 55. а) 1; б) 1 и 2; в) 1 и 2; г) любого положительного порядка.39. 56. У к а з а н и е. См. задачу 39.53, пункт "а".39. 57. У к а з а н и е. Рассыотреть множество всех матриц видаcos(2тck/n) - sin(2тrk/n) п Е N k z·sin(2тrk/n) cos(2тck/n)39. 58.
У- к аз а н и е. См. пример 39.8.39. 59. У к а з а н и е. См. пример 39.7.39.62. У к а з а н и е. а) Воспользоваться тем, что если (аЬ) п = 1 , тоb(ab) n a = Ьа и (Ьа) п 1 . б) ,в) Использовать пункт "а". г) Например, в Sз :а = (3, 1 , 2) , Ь = (2, 1 , 3) , с = ( 1 , 3, 2) .p39. 63. У к а з а н и е. а) Рассмотреть (аЬ)т р и (ab)s , где р - порядок аЬ,порядок а, s - порядок Ь. б) Следует из пункта "а". Нет, неверно rрассмотреть перестановки а == (3, 1 , 2) , Ь = (2, 1 , 3 ) .39.64.
n/HOD (n, k) .39. 65. ± 1 .ЕЕЕJv/ ,[]==-''Е=453Ответы и указания к §4 0У к а з а н и е . Если x k = 1 и х == a l , то a k l = 1, откуда kl делитсяна п и делится на HOD (n, k) . Элемент a k имеет порядок n/HOD(n, k) (см.задачу 39.64) и поэтому удовлетворяет условию при HOD(n, l ) = n/k.39.67. У к а з а н и е. См.
пример 39.8.39.68. У к а з а н и е. Воспользоваться теоремой 39. 7, взяв в качествеподгруппы циклическую группу, порожденную рассматриваемым элементом.39. 70. У к а з а н и е. См. задачу 39.59.39. 73. У к аз ан и е. Пусть {а} нормальный делитель в группе G. Еслиоперация некоммутативна, то Vb Е G Эm, k Е N \ { 1 } : аЬ = bam и Ьа = a k b.Показать, чтоm Ьа =m ba m k и, следовательно, а = a m k .39. 66 .l-а) -г) Во всех случаях подгруппами являются {a d } ,где d - делитель порядка п группы.39. 76.
У к а з а н и е. а) Учесть, что для взаимно простых р и q существуют и , v Е Z такие, что ри + qv = б ) Воспользоваться задачей 39.63 . в ) Рассмотреть наименьшее натуральное s , для которого а8 Е Н. г ) Использоватьпункт в ) , откуда если d i и d2 - различные делители п, то соответствующиеподгруппы имеют разные порядки.39. 78. Неверно: в мультипликативной группе невырожденных матрициз IR 2 x 2 элементы второго порядка не образуют подгруппу.39. 82. а) Циклическая группа порядка р; б ) циклическая группа порядка 5 ; в ) циклическая группа порядка 6; г ) циклическая группа порядка39. 74.
p - p - l .39. 75. У к а з а н и е.1.2.§ 4040. 1 . 1 ) Кольцо с единицей; 2) кольцо без единицы; 3) кольцо без единицы; 4) не образуют; 5) поле; 6) не образуют; 7) кольцо с единицей; 8) кольцос единицей; 9) поле; 1 0) не образуют; 1 1 ) поле; 12) поле.У к а з а н и е. 1 1 ) Для нахождения элемента х + y ij2 + z W, обратного кпроизвольному ненулевому элементу вида а + Ъ ?12' + c.q'4, составить системудля нахождения х, у, z и показать, что определитель ее матрицы а 3 + 2Ь3 +4с3 - 6аЬс обращается в нуль при а , Ь, с Е Q только в том случае, когдаа = Ь = с = О.40.
2 . 1) Не образуют; 2) не образуют; 3) некоммутативное кольцо сединицей и с делителями нуля; 4) коммутативное кольцо с единицей и сделителями нуля; 5) некоммутативное кольцо без единицы и с делителяминуля; 6) поле; 7) поле; 8) коммутативное кольцо с единицей и с делителяминуля; 9) поле.40. 3 . 1) Не образует ( см. пример 39.2) ; 2) поле; 3) коммутативное кольцобез единицы и с делителями нуля; 4) коммутативное кольцо с единицей и сделителяыи нуля; 5) не образует; 6) некоммутативное кольцо без единицы ис делителями нуля.40.4. 1 ) Не образует; 2) не образует; 3) коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля; 4) коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля; 5) КО Мl\'Iутативное кольцо с единицей и с делителями нуля;6) коммутативное кольцо без единицы и с делителями нуля; 7) коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля; 8) поле.40.
5. Нет.40.6. Нет.454Ответы и указания к §4 0Ck ,1 ) Все классыk > 1 , где k не является делителем р; всеостальные классы, кроме С0 ;2) все матрицы, у которых aii -:/= О, i = 1 , п ; все матрицы, у которыхaii = О хотя бы при одном i;у которых о. -:/= О; делителей нуля нет;3) все матрицы4) см. ответ пункта 2) .40. 16.
Пары (а, О) и (О, Ь) , где аЬ -:/= О.40. 1 7. Матрицы, у которых элемент в левом верхнем углу отличен отнуля.40. 19. /l4 .40. 20 . У к а з а н и е. Раскрыть скобки в произведении (а +Ь) ( l + 1 ) двумяразными способаl\,I И.40. 22. У к а з а н и е. Пусть а - элемент кольца, отличный от нуля. Показать, что соответствие х 1--+- ах , где х любой элемент, является взаимнооднозначным отображением данного кольца на себя.40. 23. У к а з а н и е . См. задачу 39. 13.40. 24. У к а з а н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
