Том 1 (1113042), страница 86
Текст из файла (страница 86)
а) Показать, что отображение х 1--+- а х ( а Е К,а i= О) - биекция; б ) элемент, обратимый справа, не является делителем нуля,и поэтому х � ах ( а Е К, а -:/= О) - биекция; в ) если аЬ = О и а не являетсяправым делителем нуля, то элементы х 1 а, . . , Х п а попарно различны и одиниз них равен 1 . Утверждения б ) и в ) не верны в кольцах без единицы.40. 2 5 . У к а з а н и е. б ) Учесть, что если аЬ == 1 , то (Ьа - l )b = О; в ) см.задачу 40.24, п."б"; г ) см.
ответ к задаче 40.24.40. 26. У к а з а н и е. Рассмотреть кольцо из задачи 40. 2 (5) .40 . 27. Вообще говоря, не является.40. 3 5 . У к а з а н и е. См. задачу 39.68.40. 36. У к а з а н и е. Учесть равенство па = ( 1 + 1 + . . . + l )a .п40. 40. У к а з а н и е. Рассмотрим О, 1 Е Р и \/а Е Р, отличный от них.Из задачи 40.33 следует, что 1 + 1 + . . . + 1 = О.
Поэтому для х = 1 + 1 + 1 :40. 14.о./,-.х+х = О6( 1 + l )x = О => характеристика поля Р равна 2 или 3. Еслихарактеристика равна 2, то а + а = О и для Ь = а + 1 : Ь + Ь = О => а +Ь = а + а + 1 = 1 и {О, 1 , а, Ь } - подгруппа в Р , что противоречит теоремеЛагранжа. Если характеристика равна 3, то О, 1 , 1 + 1 = а -:/= О и а Е Р. ПустьЬ Е Р отличен от них.
Тогда Ь + Ь + Ь = О и Ь + Ь -:/= О. Если Ь + Ь = 1 , то1 + Ь = О => Ь = а. Если Ь + Ь = а, то а + Ь = О => Ь = 1 . Таким образом,{О, 1 , а, Ь, 2Ь } С Р, и следовательно, в поле Р существует еще один элемент с,отличный от вышеуказанных. Тогда с + с -:/= О - еще один, седьмой, элементполя Р.40.41. У к а з а н и е. Аддитивная группа поля К из четырех элементовне может быть циклической ( см. задачу 40.38) , и поэтому все ее отличныеот нуля элементы имеют порядок 2, К = { О, 1 , а , 1 + а } , при этом уl\1ножениеопределяется однозначно, в частности, а(а + 1 ) = 1 .40.42 . У к а з а н и е.
Мультипликативная группа поля из п элементовимеет порядок п 1 .40.45. Множество дробно-рациональных функций, представимых в виде f(x)/g(x) , g (x) ф О, где f, g Е Z 2 [ x ] .40.46. 2 при р = 3 ; 4 при р = 5; 3 при р = 7; 1 0 при р = 1 1 . Элемент 2является образующим в Zз , Z5 и Z 1 1 .40. 4 7. а) 3 и 5; б ) 2, 3, 8 и 9 .=>-Ответы и указания к §4 140.48.
А ==455оо1 оо 1оооооооооо1ооо, В ==1Ооооооо2 Ооооор- 1 о40.49. Нет, неверно. У к а з а н и е. Воспользоваться определением определителя.40. 50. У к а з а н и е. См. указание к предыдущей задаче.40. 53. а) { - 1 , -3 + 2J2} ; б) 0 ; в) 0 ; г) 0 ; д) 3 ± 2J2. У к а з а н и е.Число 13 не является полным квадратом в этом поле.40. 54. а) ( 1 , 2, О ) , (2, О , 1 ) , (О, 1 , 2) ; б) ( 1 , 2, О) .40. 5 5 . а) 0 ; б) (2, 6, 5) .40. 56. а) Имеет два решения; б) имеет одно решение; в) имеет однорешение для любого а Е Z 1 1 .40. 59. У к а з а н и е. См. (9] , с. 1 55.оооо§ 41а) 1 + 18i ; б) 4i; в) 7 + 17i; г) 4; д) 52i; е) 10 - l li; ж) 14 - 5i; з ) 5 + i;+41 .ti.2 . i77 == i; i98 == - 1 ; i- 57 == -i; in = 1 при п == 4k, in = i прип = 4k + 1 , i n == - 1 при п == 4 k 2, in = -i при п == 4k + 3 (k Z) .4 1 .
5 . а) (i, 1 + i) ; б) (2, 1 - i) ; в) 0 ; г) (-i/2 + ( 1 + i/2)z2 , z2 ) , z2 Е С ;д) (3 - l li, -3 - 9i, 1 - 7i) .41 . 1 .и) 1Е+-� v;а) (2, - 3) ; 6) (3, -5) . 41 . 9. а) О , 1 ,±i; 6) О, ± 1 , ±i.4 1 . 10. а) ± 2i; б) ±(1 + i) ; в) ± (2 - 2i) ; г) ±(2 - i) ; д) ± ( 1 + 4i) ; е) ± (5 + 6i) ;2+2.-iж) ± ( 1 - 3i) ; з) ±(3 - i) ; и) ±2i41 .
1 1 . а) { 3 - i, - 1 + 2i } ; 6) {2 + i, 1 - 3i} ; в) { 1 - i, 4 � } ;г) { 5 - 2i, 2i} .41 . 12 . У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 41 .7, п."б".41 . 13 . Нет, не образует.41. 14. а) Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, ноне поле; б) поле.41. 16. Некоммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.41 . 18. а) п 4k, k Е N ; б) п == 4k - 2, k Е N .41 . 2 1 . а) Ь + 2с -:/= ( а - 2d)i; б) Ь + 2с == (а - 2d)i; в) а = d == О , Ь == - 1 ,с Е IR ; г) а 2 + Ь2 1 , d == - 2а , с = 2Ь.4 1 .
2 2 . l\!Iожно с Л = ../5 . Представление с чисто мниl\IЫI\1 Л невозможно.41.6.( )�j� )====§ 4242 . 1 . Тригонометрическая форма имеет вид т(соs <р i si n <p ) , где:1 ) r = 5, ер == О; 2) r == 1 , ер 7Г /2; 3) r == 2, <р == 7Г; 4) r = 3, ер = 37Г /2 ;5) r == J2, ер = 1Г/4; 6) r == J2, ер = -1Г/4; 7) r = J2, ер == 37Г/4; 8) r = 2,1Г/3; 9 ) r == 2, ер = -1Г/3; 10) r = 2, ер = 27Г/3; 1 1 ) r = 2, ер = 7Г/6;<р12) r = 2, ер = 5 7Г /6; 13) r = 2, <р == 77Г / 6 ; 14) r == J6 + J2, ер == 7Г /12;====+456О тветы и указания к §4215) r = J6 + J2, ер = -57r/1 2 ; 16) r = 1 , ер = - а ; 17) r = 1 , ер = 7r/2 - а ;1 8 ) r = 1, ер = 2 а; 19) r = J2, ер = 7r/4 .42. 3 . 1 ) Окружность радиуса 1 с центром (О, О ) ;2) круг радиуса 1 с центром (О, О) ;3) внутренность круга радиуса 2 с центром (О, О) ;4) круг радиуса 1 с центром (О, 1 ) ;5 ) внутренность круга радиуса 1 с центром ( - 1 , 1 ) ;6) кольцо, ограниченное окружностями радиусов 1 и 3 с общим центром( 1 , О) ;7) прямая у = - 1 ; 8 ) прямая у == 2х - 5;9 ) луч, выходящий в первую четверть из начала координат по прямойу = х/ � ;10) внутренность острого угла между лучами, выходящими из началакоординат и наклоненными к положительному направлению оси Ох под углами ±тr / 3 ;1 1) угол между прямыми у = ±х - 1 , в котором расположена точка(1, -1);12) прямая у == 1 ;1 3) окружность радиуса 1 с центром ( 1 , О) , из которой исключено началокоординат;14) внутренность круга радиуса 1 с центром (О, 1 ) ;1 5) внутренность квадрата с вершинами (± 1 , О) , (О, ± 1 ) ;16) окружность радиуса 2/3 с центром (2/3, О) ;х2 у21 7) эллипс 3 + 4 = 1 ;4х 2 4у 218) верхняя ветвь гиперболы 7 - 9 = - 1 ;1 9) окружность радиуса 1 с центром (О, О) ;20) окружность радиуса 3 с центром ( -3, О) ;2 1 ) объединение внутренностей колец 4п 2 тr 2 < х 2 + у 2 < (2п + 1) 2 тr 2 ,n = 0, 1 , 2, .
. . ;22) нижняя полуплоскость у < О , из которой исключена прямая у = - 1 ;23) окружность радиуса 2 с центром ( 1 , О) .42 . 4. (7 + i)t, где > О.1 или r = О ;42 .6. а) Образует в том и только том случае, когда rб) не образует.2 k2 k, k = 0, 4 } ;+ i sin42 . 7. а) 3 + 4i; б) 5 - 12i; в) {0, ±i} ; г) { O; costд) { о, - 1 ,42 . 8 . а) z2 ===� ± v; i } .��tIR, t > О ; б) z 2 == tz 1 , t Е IR, t < О.tz,1z - zi == О. 42 . 13. cos( ер + 1/J) + i sin( ер + 1/J) .42 . 10. I m 2Z3 - Z 142 .
14.42 . 1 5.42 . 16.Е� (cos(2rp - ;; ) + i sin(2rp - ;2 )) .2а) 2 1 2 ( 1 + i) ; б) 29 ( 1 - i �) ; в) (2 - v13 ) 1 ; г) 2; д) -64.2тr птrп. . 7rn. тrп ) .4 , б) cos З - i sш 3 .'а ) 2 n / ( cos Т + i. sш457Ответы и указания к §42в) cos ( 2a n ) - i sin ( 2a n ) ; г) 2i n - I .42. 1 7. 2 n cosп 2 cos 2 + i sш 2 .42 . 18. У к а з а н и е. Показать, что z = cos ep ± i sin ep.х, Ь - [Ь] = у} , О <42.
19. а) !\1ножества Сх,у = { a + ib Ех, у < 1 ;= r } , r > О;б) множества Ст = {z Ев) множества СЧ' = { z Е С \ {О} 1 arg z = ер } , О < ер < 27r ;г) множества СЧ' = { z Е С \ { О } 1 arg z = ер } , О < ер < 7r;Im z = у} , у Е IR ;д) множества Су = {z ЕIm z = tg epo Re z + Ь} , Ь Е IR, если еро -:/=е) множества Сь = { z Е7r / 2 + 7rk, k Е Z, и Сь = {z Е С 1 Re z = Ь } , Ь Е IR, если еро = 7r / 2 + 7rk ,k Е Z.42 .
22 . а) О ; б) -3; в) 3iJЗ.42 . 23. а) cos 5 х - 1 0 cos3 х sin 2 х + 5 cos х sin4 х;б) cos8 х 28 cos6 х sin 2 х + 70 cos4 х sin4 х 28 cos 2 х sin6 х + sin8 х;в) 6 cos 5 х sin х - 20 cos3 х sin3 х + 6 cos х sin5 х;6г ) 7 cos х sin х35 cos4 х sin3 х + 2 1 cos2 х sin5 х sin7 х.У к а з ан и е. Для выражения ( cos x + i sin x ) n воспользоваться формулойМуавра и формулой бинома Ньютона.2 ( 3 tg ер - 10 tg3 ер + 3 tg5 ер)42 . 24.1 1 5 tg ер + 1 5 tg 4 ер - tg 6 ер .cosn- 2 k х sin 2k х;42. 2 5 .L (-1а ( ап . . ап )C l a - [а] =C I lzlCCI I·----2 k+ 2 k) c�(- l) k +l cп2k+l cos n - 2 k - 1 х sш. 2k + l х.k : l �32sink+ lх�-n sin 3х cos 4х - 4 cos 2х + 3 ..-"""'�' б)4cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos xв);16а)'8cos 6x + 6 cos 4x + 1 5 cos 2x + 10г).32У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что если = cos x +i sin х, то cos kx =4 2.
26 .( а + а- 1 ) k , .2sш kxk)1(аа=2iа.1Г1Га) 2 f cos n ; б) 2 / sin n . У к а з а н и е. Вычислить ( 1 + i) n44двумя способами.42. 28. У к а з а н и е. Использовать формулу бинома Ньютона.42. 27.n2n2. 7rn42 . 29 . 2 n 3 - (n - 1 ) /2 sш6 .42 . 30. У к а з а н и е. См. указание к задаче 42 .28 .cos ( k + l ) ep - а cos ер + 1cos k ep42 . 3 1 . а);а 2а cos ер + 1sin ( <p + ( k + l ) h) a sin ( <psin ( <p + kh )б)2a cos h + 1ak+ 2ak +2- a2k+l- a k+ 1 2- h) + sinаУ к а з а н и е.
Воспользоваться формулой суl\1мы геометрической прогрессии со знаменателем а( cos ер + i sin ер) .42 . 32. У к а з а н и е. См. указание к предыдущей задаче.42. 33.2 ( 2 - cos x ).5 - 4 cos x-<р .458Ответы и указания к §43) 2n cosn Х2 cos n +2 2 х; 6) 2 cosn Х2 sш. n +2 2 х .n . n х ( п + 2)х2 - 1fn . 6) 2n sш. n х sш.
( п + 2)х - 1fn .42 . 37 . а ) 2 sш 2' cos22п42 . 36. а,§ 43( 4 k + 1) 1f + . sш. ( 4k + 1) 1f , k = о , 5 ;1212)7r) о ·(.6k1)7r6k1((..6) 2, k - , 9,+3030) уГn2 (cos (8k- l}7r + . sш. (8 k- 1)7r ) ' k 0 ' 7 '·3232( 4 k - l ) 7r + . sш. ( 4 k - 1 ) 7r ' k 0 ' 6 ·'г ) cos1414k10;n2 (cos (B -0 3)7r + . s1. n ( Bk - 3 ) 7r ) k 0, 4д)220- l i v'343. 2 . 1 ) { 1,� } ; 2) { ± 1 , ±i} ; 3 ) { ± 1, ± 1 +;v'3 ' ± 1 -;v'3 } ;± +i4 ) { v:, i} ; 5) { l ± i, - l ± i}; 6 ) 2 о/1 , см . пункт 3 ;i43 . 1 . а cos)'ZCOSL,в-SШ-'l-i--iv L.-,_-·-7 ) { ±J2, ± J2i, ±J2( 1 + i) , ±J2( 1 - i) } ;8) {±i v'З, ± �(v'З + i), ± �(v'З - i)};{ ± ( у'З + i ), ± (1 - i v'З) }; 10) { ± (3 + iv'З), ±( v'З - i ) } ;11) { � lf'i.( J2 +v'3+iJ2 -v'З)' � ifi (i- 1 ) , � lf'i.( J2 -v'З+ iJ2 + v'З) } ;12) { �J2( J2 + v'3 - i J2 - Vз) ' - � h( J2 - Vз- i J2 + v'З), -1-i };{ ±v'З + i , -2i}; 14) { �( ±J3 - i ), 3i};1 ) {± з +;vз , ± vз ; з } ; 1в) { ± ( � + i ) , ± (1 - i �) } .ЕN= 2k + 1, k Е N.1)Е {О} ; 6 )Еvzn,1.)) 66) )2; ) ) ) 8; ))+ 1)1;# 1,)-21-сп + 1) ,6 ) - 2 ( 1( l- ) )+ 2п-1- 1 , ( + 1)(267r21 - п 6) 1 - п);22l39)13)i543.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
