Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Òîãäà ñóùåñòâóåò ãèïåðïëîñ-(u, h) ≤ c ≤ (v, h) ∀ u ∈ L, ∀ v ∈ M.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L0 ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ òî÷åê äëÿ L. Ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òî ìíîæåñòâî K = L0 − M = {z ∈ Rn : z = u − v, u ∈ L, v ∈ M } âûïóêëî è ïðèýòîì 0 ∈/ K . Îòñþäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî òî÷êà 0 íå ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé äëÿçàìûêàíèÿ ìíîæåñòâà K . Åñëè 0 ÿâëÿåòñÿ ãðàíè÷íîé òî÷êîé äëÿ K , èñêîìîé ÿâëÿåòñÿïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç 0 îïîðíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü äëÿ K .
Åñëè 0 ÿâëÿåòñÿ âíåøíåé òî÷êîéäëÿ çàìûêàíèÿ K , òî íóæíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ ëåììû î íàèëó÷øåìïðèáëèæåíèè íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå. 2Çàìå÷àíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî âûïóêëûå ìíîæåñòâà L è M ðàçäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ëè-íåéíîãî ôóíêöèîíàëà f (x), åñëè f (x) ≤ f (y) äëÿ ëþáûõ x ∈ L è y ∈ M . Òåîðåìà2 óòâåðæäàåò, ÷òî ôóíêöèîíàë ñ òàêèì ñâîéñòâîì ñóùåñòâóåò.  òàêîé ôîðìóëèðîâêå îíà íå èñïîëüçóåò ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ è îñòàåòñÿ âåðíîé áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î2 Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî, ñïðàâåäëèâîå äëÿ çàìêíóòûõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ â ïðîèçâîëüíûõ (â òîì÷èñëå, áåñêîíå÷íîìåðíûõ)ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ(òî åñòü, ïîëíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñî ñêàëÿð-íûì ïðîèçâåäåíèåì) ôàêòè÷åñêè ñîäåðæèòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå îáîáùåíèÿ òåîðåìû î ïåðïåíäèêóëÿðåâ äîïîëíåíèè ê ëåêöèè 25 (ðàçäåë 55.2).3 Âûïóêëîå ìíîæåñòâî, èìåþùåå õîòÿ áû îäíó âíóòðåííþþ òî÷êó, íàçûâàåòñÿâûïóêëûì òåëîì.176Ëåêöèÿ 26êîíå÷íîìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà.Çàäà÷à.M ⊂ Rn è x0 ∈/ M.(x, h) < (x0 , h) ∀ x ∈ M .Äàíî çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâîãèïåðïëîñêîñòüÇàäà÷à.y4(x, h) = (x0 , h)òàêàÿ, ÷òîÄîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåòâûïóêëûì êîíóñîì, åñëè âìåñòå ñ ëþáûìèαx + βy ïðè ïðîèçâîëüíûõ α, β ≥ 0.
Äîêàæèòå,êîíóñà ïðîõîäèò ÷åðåç 0.Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿîíî ñîäåðæèò âñå òî÷êè âèäàãèïåðïëîñêîñòü äëÿ âûïóêëîãîÇàäà÷à. ïðîñòðàíñòâåïàêòíîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî÷òî(x, y) ≥ 0äëÿ âñåõRnMx ∈ Rn .Çàäà÷à.ÂRnhxè(x, y) = y > x äàíî êîìnâåêòîðîâ y ∈ Ròàêèõ,ñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìè äëÿ íåãî ïîñòðîåíî ìíîæåñòâîÄîêàæèòå, ÷òîKKñîäåðæèò òî÷êó èçâñåõ çàìêíóòûé âûïóêëûé êîíóñ. Äîêàæèòå òàêæå,÷òî äëÿ ëþáîé åãî îïîðíîé ãèïåðïëîñêîñòè ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîìíàïðàâëÿþùèì âåêòîðîìäâóìÿ òî÷êàìè÷òî ëþáàÿ îïîðíàÿhïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç0ïðÿìàÿ ñM.ñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì êîìïàêòíûå âûïóêëûå ìíîæåñòâàLèMx ∈ M ñ êàêèì-òî y = y(x) ∈ L âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (x, y) ≥ 0.
Äîêàæèòå,y0 ∈ L, äëÿ êîòîðîãî (x, y0 ) ≥ 0 äëÿ âñåõ x ∈ M .òàêîâû, ÷òî äëÿ âñÿêîãî÷òî ìîæíî âûáðàòüÇàäà÷à.Äàíû êîìïàêòíûå âûïóêëûå ìíîæåñòâàL ⊂ Rm , M ⊂ Rn è ìàòðèöà A ∈ Rm×n . Äîêàçàòü,÷òîmax min y > Ax = minm maxn y > Ax.x∈Rn y∈RmÇàäà÷à.Ïóñòüa1 , . . . , am ∈ Rn .y∈Rx∈RÄîêàæèòå, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ïîëóïðîñòðàíñòâ>a>1 x ≤ c1 , . . . , am x ≤ cmïóñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ íåêîòîðûõα1 a1 + . . . + αm am = 0,α1 , . . . , αm ≥ 0âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâàα1 c1 + . . . + αm cm = −1.4  ýòîì ñëó÷àå äîêàçàòåëüñòâî òðåáóåò îñîáîé òåõíèêè, ñâÿçàííîé ñ âîïðîñàìè ïðîäîëæåíèÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ è òåîðåìàìè ÕàíàÁàíàõà.Ëåêöèÿ 2727.1Ëèíåéíûå îïåðàòîðûËþáóþ ìàòðèöó A ∈ Cm×n ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàññìàòðèâàòü êàê îïåðàòîð,îòîáðàæàþùèé âåêòîð x ∈ Cn â âåêòîð Ax ∈ Cm .
Ýòîò îïåðàòîð î÷åâèäíî îáëàäàåòñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè 1A(αx + βy) = αAx + βAy∀ α, β ∈ C,∀ x, y ∈ Cn .Òî æå ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ìíîãèõ î÷åíü âàæíûõ îòîáðàæåíèéâ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè, îáúåäèíåííûåêàêèì-ëèáî îáùèì ïðèçíàêîì (íåïðåðûâíîñòü, äèôôåðåíöèðóåìîñòü è ò.ï.). Ïðåæäåâñåãî, íóæíî ñêàçàòü îá îòîáðàæåíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ äèôôåðåíöèðîâàíèåì è èíòåãðèðîâàíèåì ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, ïîâîäîâ ê òîìó, ÷òîáû èçó÷èòü ñâîéñòâî ëèíåéíîñòèñ áîëåå îáùèõ ïîçèöèé áîëåå ÷åì äîñòàòî÷íî.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü V è W ïðîèçâîëüíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà íàä îäíèì èòåì æå ïîëåì P . Îòîáðàæåíèå A : V → W ñî ñâîéñòâîìA(αx + βy) = αA(x) + βA(y) ∀ α, β ∈ P,∀ x, y ∈ V,íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì èç V â W .  ñëó÷àå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ àðãóìåíòïðèíÿòî ïèñàòü áåç ñêîáîê: A(x) = Ax.27.2Íåïðåðûâíîñòü è îãðàíè÷åííîñòüÏóñòü V è W íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà. Îòîáðàæåíèå A : V → W íàçûâàåòñÿíåïðåðûâíûì â òî÷êå x ∈ V , åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xk ∈ V òàêîé, ÷òîxk → x ïðè k → ∞, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáðàçîâ A(xk ) ñõîäèòñÿ ê A(x):||xk − x||V → 0 ⇒ ||A(xk ) − A(x)||W → 0.Îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì íà V , åñëè îíî íåïðåðûâíî äëÿ âñåõ x ∈ V .Ëèíåéíûé îïåðàòîð A : V → W íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè äëÿ íåêîòîðîéêîíñòàíòû c > 0||Ax||W ≤ c||x||V ∀ x ∈ V.1 Ýòî ñâîéñòâî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òàêæå êàê ñâîéñòâîñîõðàíåíèÿ îïåðàöèé ïðè îòîáðàæåíèè îä-íîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà â äðóãîå ïðîñòðàíñòâî íàä òåì æå ïîëåì.
Òàêèå îòîáðàæåíèÿ íàçûâàþòñÿãîìîìîðôèçìàìè.177178Ëåêöèÿ 27Òåîðåìà. Äëÿ íåïðåðûâíîñòè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íåîáõîäèìà è äîñòàòî÷íà åãî îãðàíè÷åííîñòü.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü î÷åâèäíà èç íåðàâåíñòâà||Axk − Ax||W = ||A(xk − x)||W ≤ c||xk − x||V .×òîáû äîêàçàòü íåîáõîäèìîñòü, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íîðìû ||Ax||W íà åäèíè÷íîé ñôåðå S = {x : ||x||V = 1}. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî íå îãðàíè÷åíî. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xk ∈ S òàêàÿ, ÷òî ||Axk ||W → ∞. Ïîëîæèìyk = xk /||Axk ||W è çàìåòèì, ÷òî||yk ||V = 1/||Axk ||W → 0 ⇒ ||Ayk ||W → 0.Ïîñëåäíåå íåâîçìîæíî, òàê êàê ||Ayk ||W = 1 äëÿ âñåõ k .
Çíà÷èò, äëÿ êàêîãî-òî c > 0||Ax||W ≤ c ∀ x ∈ S27.3⇒2||Ax||W ≤ c||x||V ∀ x ∈ V.Îïåðàòîðíàÿ íîðìàÓòâåðæäåíèå 1. Ìíîæåñòâî L(V, W ) âñåõ îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ èç Vâ W ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì (íàä îáùèì äëÿ V è W ïîëåì).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ||Ax||W ≤ c1 ||x||V , ||Bx||W ≤ c2 ||x||V . Òîãäà äëÿ ëþáûõ ÷èñåëαèβ||(αA + βB)x||W ≤ c||x||V ,2c = |α|c1 + |β|c2 .Óòâåðæäåíèå 2. Âåëè÷èíà||A|| ≡sup ||Ax||W ,A ∈ L(V, W ),(∗)||x||V =1ÿâëÿåòñÿ íîðìîé íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L(V, W ).Äîêàçàòåëüñòâî.
Î÷åâèäíî, âåëè÷èíà ||A|| èìååò êîíå÷íîå çíà÷åíèå è, êîíå÷íî, íåîò-ðèöàòåëüíà. Åñëè ||A|| = 0, òî ||Ax||W = 0 íà åäèíè÷íîé ñôåðå ||x||V = 1⇒||Ax||W = 0 ∀ x ∈ V⇒ Ax = 0 ∀ x ∈ V⇒ A = 0. Ïîëîæèòåëüíàÿîäíîðîäíîñòü ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà||αAx||W = |α| ||Ax||W ,à íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà èç íåðàâåíñòâà||(αA + βB)x||W ≤ |α| ||Ax||W + |β| ||Bx||W .2Îïðåäåëåíèå. Íîðìà (∗) äëÿ îïåðàòîðîâ A ∈ L(V, W ) íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðíîé íîðìîé èëè íîðìîé, ïîä÷èíåííîé âåêòîðíûì íîðìàì || · ||V , || · ||W .Óòâåðæäåíèå 3. Åñëè V êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, òî ëþáîé ëèíåéíûé îïåðà-òîð A : V → W ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì è ||A|| = ||Ax0 ||W äëÿ íåêîòîðîãî (çàâèñÿùåãî îò A) âåêòîðà x0 ∈ V ñ íîðìîé ||x0 ||V = 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü e1 , .
. . , en áàçèñ â V è x =nPi=1αi ei . Òîãäà ||x||(e) ≡nPi=1|αi | åñòüíîðìà íà V , ýêâèâàëåíòíàÿ ëþáîé äðóãîé íîðìå, â òîì ÷èñëå è íîðìå ||x||V . ÏîýòîìóÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ179äëÿ êàêîãî-òî c > 0||x||(e) ≤ c||x||V∀ x ∈ V.Ñëåäîâàòåëüíî,||Ax||W ≤X|αi | max ||Aei ||W = ||x||(e) max ||Aei ||W1≤i≤ni=11≤i≤n≤ (c max ||Aei ||W ) ||x||V∀ x ∈ V.1≤i≤n×òîáû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå x0 , äîñòàòî÷íî ó÷åñòü êîìïàêòíîñòü åäèíè÷íîé ñôåðûâ êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, íåïðåðûâíîñòü íà íåé ôóíêöèè ||Ax||W è òåîðåìó Âåéåðøòðàññà.
2Åñëè ôèêñèðîâàíî 1 ≤ p ≤ ∞ è â êà÷åñòâå íîðìû â ïðîñòðàíñòâå Cn âûáðàíàp-íîðìà Ãåëüäåðà, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ îïåðàòîðíóþ íîðìó ìàòðèöû A ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ||A||p .Çàäà÷à.ÏóñòüA = [aij ] ìàòðèöà ðàçìåðîâ||A||∞ =Çàäà÷à.27.4Ïóñòüu, v ∈ Cn .max1≤i≤mnX|aij |,m × n.Äîêàæèòå, ÷òî||A||1 = maxj=1Äîêàæèòå, ÷òî1≤j≤nmX|aij |.i=1||uv > ||2 = ||u||2 ||v||2 .Ìàòðè÷íàÿ íîðìàÏóñòü êàæäîé êîìïëåêñíîé ìàòðèöå A ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî f (A) òàêèì îáðàçîì, ÷òî:(1) f (A) ÿâëÿåòñÿ íîðìîé íà Cm×n äëÿ âñåõ m, n;(2) f (AB) ≤ f (A)f (B) äëÿ ëþáûõ ìàòðèö A è B , äîïóñêàþùèõ óìíîæåíèå. òàêèõ ñëó÷àÿõ f (A) íàçûâàåòñÿ ìàòðè÷íîé íîðìîé.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü äëÿ êàæäîãî n çàäàíà âåêòîðíàÿ íîðìà íà Cn , è ïóñòü äëÿêàæäûõ m, n è êàæäîé ìàòðèöû A ∈ Cm×n íîðìà ||A|| îïðåäåëåíà êàê îïåðàòîðíàÿíîðìà, ïîðîæäåííàÿ äàííûìè âåêòîðíûìè íîðìàìè. Òîãäà ||A|| ÿâëÿåòñÿ ìàòðè÷íîéíîðìîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ||x||∗ îáîçíà÷àåò âåêòîðíóþ íîðìó äëÿ x ∈ Cn ïðè ëþáîì n.Äëÿ ëþáûõ ìàòðèö A è B , äîïóñêàþùèõ óìíîæåíèå, ñóùåñòâóåò âåêòîð x0 åäèíè÷íîéíîðìû òàêîé,||AB|| = ||ABx0 ||∗ ≤ ||A|| ||Bx0 ||∗ ≤ ||A|| ||B|| ||x0 ||∗ = ||A|| ||B||.Çàäà÷à.Ìîæåò ëè íîðìà ïîäìàòðèöû áûòü áîëüøå íîðìû ìàòðèöû?Çàäà÷à.Äàíà îáðàòèìàÿ ìàòðèöà2A ∈ Cn×n , âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà X0 ∈ Cn×n èñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Xk+1 = 2Xk − Xk AXk ,k = 0, 1, .
. . . Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëÿ−1íåêîòîðîé ìàòðè÷íîé íîðìû ||I − AX0 || < 1, òî Xk → Aïðè k → ∞.18027.5Ëåêöèÿ 27Íîðìà ÔðîáåíèóñàÏóñòü A = [aij ] ìàòðèöà ðàçìåðîâ m × n. Âåëè÷èíàvuXnu m X|aij |2||A||F = ti=1 j=1íàçûâàåòñÿ íîðìîé Ôðîáåíèóñà èëè åâêëèäîâîé íîðìîé ìàòðèöû A.Óòâåðæäåíèå. Íîðìà Ôðîáåíèóñà ÿâëÿåòñÿ ìàòðè÷íîé íîðìîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäûõ m, n íîðìà Ôðîáåíèóñà ÿâëÿåòñÿ íîðìîé íà ëèíåé-íîì ïðîñòðàíñòâå Cm×n (êàê 2-íîðìà íà ïðîñòðàíñòâå Cmn , èçîìîðôíîì Cm×n ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
