Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì.Ïóñòü A ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A â ïàðå áàçèñîâ {ej } è {fi }, à B ìàòðèöàëèíåéíîãî îïåðàòîðà â ïàðå áàçèñîâ {fi } è {gl }. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö BA åñòüìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ BA â ïàðå áàçèñîâ {ej } è {gl }.Äîêàçàòåëüñòâî ñâîäèòñÿ ê ïðÿìîé ïðîâåðêå. Çàìåòèì, ÷òî íàø êóðñ, ñîáñòâåííî,íà÷àëñÿ ñ îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö è ôàêòè÷åñêè ñ îáñóæäåíèÿ êîìïîçèöèèëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé!28.3Ïåðåõîä ê äðóãèì áàçèñàìÏóñòü Aef ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A â ïàðå áàçèñîâ e = {ej } è f = {fi }. Êàêíàéòè ìàòðèöó Agh òîãî æå îïåðàòîðà â äðóãîé ïàðå áàçèñîâ g = {gj } è h = {hi }?Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâàA(x1 e1 + .
. . + xn en ) = y1 f1 + . . . + ym fm ,A(z1 g1 + . . . + zn gn ) = u1 h1 + . . . + um hm .Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ìàòðèö Aef è Agh , íàõîäèìAef x = y,Agh z = u, x1y1z1u1x = . . . , y = . . . , z = . . . , u = . . . ,xnymznumÄàëåå, çàïèøåìgj = s1j e1 + . . . + snj en , 1 ≤ j ≤ n,è ââåäåì ìàòðèöû ïåðåõîäàs11 . . . s1nS = . .
. . . . . . . ,sn1 . . . snnhi = t1i f1 + . . . + tmi fm , 1 ≤ i ≤ m,t11 . . . t1mT = . . . . . . . . . .tm1 . . . smmÒîãäà x = Sz è y = T u. Ñëåäîâàòåëüíî, Aef (Sz) = T uAgh = T −1 Aef S.⇒ (T −1 Aef S)z = u ⇒(∗)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ187Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíûõ ìàòðèö: A è B íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè B = P AQ äëÿ êàêèõ-òî íåâûðîæäåííûõ P è Q.Óòâåðæäåíèå 1. Ìàòðèöû ýêâèâàëåíòíû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöàìè îäíîãî è òîãî æå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êàêèõ-òî ïàðàõ áàçèñîâ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Î÷åâèäíî, (∗) îçíà÷àåò ýêâèâàëåíòíîñòü ìàòðèö Agh è Aef . ÅñëèB = P AQ, òî P è Q ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòðèöû ïåðåõîäà äëÿ ðàçíûõ ïàðáàçèñîâ. 2Ñëåäñòâèå. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàòðèöû îäèíàêîâûõ ðàçìåðîâ áûëè ìàòðèöàìè îäíîãîè òîãî æå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êàêèõ-òî ïàðàõ áàçèñîâ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû îíè èìåëè îäèíàêîâûé ðàíã.Ïóñòü A ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A â êàêîé-òî ïàðå áàçèñîâ. Åñëè r = rankA,òî A ýêâèâàëåíòíà ìàòðèöå B = [bij ], â êîòîðîé b11 = . . . = brr = 1, à âñå îñòàëüíûåýëåìåíòû ðàâíû 0. Ñëåäîâàòåëüíî, èìååòñÿ ïàðà êàíîíè÷åñêèõ áàçèñîâ, â êîòîðîé Aîïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé B .Òàêèì îáðàçîì, çà ñ÷åò âûáîðà ïàðû áàçèñîâ ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ìîæåòïðèîáðåñòè âèä íàñòîëüêî ïðîñòîé, ÷òîáû îêàçàòüñÿ ïî÷òè áåñïîëåçíîé äëÿ èçó÷åíèÿèíäèâèäóàëüíûõ ñâîéñòâ äàííîãî îïåðàòîðà. Ïîýòîìó èçó÷åíèå îïåðàòîðà, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿ ñâåñòè ê èçó÷åíèþ åãî ìàòðèöû.Åñëè Vn = Vm , òî ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü âçÿòü e = f .
Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî îáðàçûè ïðîîáðàçû ðàññìàòðèâàþòñÿ â îäíîì è òîì æå áàçèñå, òåïåðü â ìàòðèöå îïåðàòîðàåñòü âñå, ÷òî íóæíî äëÿ ëþáîãî ïîäðîáíîãî åãî èçó÷åíèÿ. Òî æå âåðíî äëÿ ëþáîé äðóãîéïàðû áàçèñîâ f è g , åñëè òîëüêî f = g .  ýòîì ñëó÷àå, êîíå÷íî, T = S ⇒Agg = S −1 Aee S.(∗∗)Ìàòðèöû A è B íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè B = S −1 AS äëÿ êàêîé-òî íåâûðîæäåííîéìàòðèöû S . Î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 2. Ìàòðèöû ïîäîáíû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿìàòðèöàìè îäíîãî è òîãî æå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà â êàêèõ-òî áàçèñàõ ïðè óñëîâèèâûáîðà îäèíàêîâûõ áàçèñîâ â îáùåì ïðîñòðàíñòâå îáðàçîâ è ïðîîáðàçîâ.Çàäà÷à.ìàòðèöàAÄàíû ïðîèçâîëüíûå ÷èñëàβ1 , . . . , βn−1 .α1A=ïîäîáíà íåêîòîðîéÇàäà÷à.|i − j| = 128.4Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ äâóõäèàãîíàëüíàÿn × n-âèäàn × n-ìàòðèöå B = [bij ],1α21......αn−1â êîòîðîé1αnb11 = β1 , .
. . , bn−1 n−1 = βn−1 .Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ âåùåñòâåííàÿ òðåõäèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìèaij 6= 0ïðèïîäîáíà âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöå.Ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿÏóñòü A : Vn → Vn ëèíåéíûé îïåðàòîð â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Vn , è A åãîìàòðèöà ïðè âûáîðå îäíîãî è òîãî æå áàçèñà â ïðîñòðàíñòâå îáðàçîâ è ïðîîáðàçîâ. Âýòîì ñëó÷àå èçó÷åíèå îïåðàòîðà A ïîëíîñòüþ ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ åãî ìàòðèöû A.188Ëåêöèÿ 28Åñòåñòâåííî ïîïûòàòüñÿ âûáðàòü áàçèñ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìàòðèöà A ïîëó÷èëàíàèáîëåå ïðîñòîé âèä.
Åñëè îïåðàòîð A çàäàí ñâîåé ìàòðèöåé A â êàêîì-òî áàçèñå,òî âûáîð íîâîãî áàçèñà äàåò äëÿ òîãî æå îïåðàòîðà äðóãóþ ìàòðèöó B , êîòîðàÿ áóäåòïîäîáíà çàäàííîé ìàòðèöå. Ïåðåõîä îò A ê ïîäîáíîé åé ìàòðèöå B = S −1 AS íàçûâàåòñÿïðåîáðàçîâàíèåì ïîäîáèÿ.Âîçíèêàåò òàêîé âîïðîñ: ê êàêîìó íàèáîëåå ïðîñòîìó âèäó ìîæíî ïðèâåñòè çàäàííóþ ìàòðèöó ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ? Ôàêòè÷åñêè ìû ñåé÷àñ íà÷èíàåì íåî÷åíü ïðîñòîé ïóòü ê ïîëíîìó îòâåòó íà äàííûé âîïðîñ.28.5Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâàÏðîáëåì íåò, åñëè n = 1. Êàæåòñÿ òàêæå, ÷òî ïðîùå èçó÷àòü îïåðàòîð â ïðîñòðàíñòâåìàëîé ðàçìåðíîñòè.
Ïîýòîìó äàâàéòå äëÿ íà÷àëà ïîèçó÷àåì äåéñòâèå îïåðàòîðà A íàïîäïðîñòðàíñòâàõ ìàëîé ðàçìåðíîñòè.Ïóñòü L ïîäïðîñòðàíñòâî â Vn . ×òîáû èçó÷àòü A, èñïîëüçóÿ òîëüêî âåêòîðû èçL, íóæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû Ax ∈ L äëÿ âñåõ x ∈ L. Ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî ñ òàêèìñâîéñòâîì íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî A.Ïóñòü v1 , .
. . , vk áàçèñ â ïîäïðîñòðàíñòâå L. Òîãäà åãî ìîæíî äîïîëíèòü êàêèìè-òîâåêòîðàìè vk+1 , . . . , vn äî áàçèñà â Vn .Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü v1 , . . . , vn áàçèñ â Vn è L = L(v1 , . . . , vk ). Òîãäà L èíâàðè-àíòíî îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A : Vn → Vn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàìàòðèöà îïåðàòîðà A â áàçèñå v1 , . . . , vn èìååò áëî÷íî òðåóãîëüíûé âèäA11 A12A =,(∗)0 A22ãäå A11 ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà k .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè èçîìîðôèçìå x = [x1 , . . . , xn ]> ↔ x1 v1 + . . . + xn vn âåêòîðàìèç L ñîîòâåòñòâóþò òå è òîëüêî òå ñòîëáöû x, äëÿ êîòîðûõ xk+1 = . .
. = xn = 0. Åñëè Aèìååò âèä (∗), òî, î÷åâèäíî, äëÿ y = [y1 , . . . , yn ]> = Ax ïîëó÷àåì yk+1 = . . . = yk = 0.Çíà÷èò, L èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íà ìàòðèöó A ⇒ L èíâàðèàíòíîîòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A.Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî L èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íà ìàòðèöó A = [aij ],è ïóñòü y = Ax, ãäå xk+1 = . . . = xn = 0. Òîãäà yk+1 = . .
. = yn = 0 ⇒ aij = 0 ïðè1 ≤ j ≤ k , i ≥ k + 1. 2Çàäà÷à.Íàéòè âñå èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâåâåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ.28.6ßäðî è îáðàç ëèíåéíîãî îïåðàòîðàÌíîæåñòâî kerA ≡ {x ∈ Vn : Ax = 0} íàçûâàåòñÿ ÿäðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A, àìíîæåñòâî imA ≡ {y ∈ Vn : y = Ax, x ∈ Vn } åãî îáðàçîì. Ðàçìåðíîñòü îáðàçàíàçûâàåòñÿ ðàíãîì îïåðàòîðà A, à ðàçìåðíîñòü ÿäðà åãî äåôåêòîì. Îáîçíà÷åíèå:defA = dim kerA.Óòâåðæäåíèå 1.
ßäðî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A : V → W ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîìâ V , à åãî îáðàç ïîäïðîñòðàíñòâîì â W .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, y ∈ kerA. Òîãäà A(αx + βy) = αAx + βAy = α · 0 + β · 0 = 0Å. Å. Òûðòûøíèêîâ189⇒ αx + βy ∈ ker. Ïóñòü x, y ∈ imA. Òîãäà x = Au è y = Av äëÿ êàêèõ-òî u, v ∈ Vαx + βy = A(αu + βv) ⇒ αx + βy ∈ imA. 2⇒Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ÿäðà è îáðàçà.
Ïóñòü V êîíå÷íîìåðíî. Òîãäàdim kerA + dim imA = dim V.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü dim kerA = k è v1 , . . . , vk áàçèñ â kerA. Äîñòðîèì åãîêàêèìè-òî âåêòîðàìè vk+1 . . . , vn äî áàçèñà â V . Î÷åâèäíî,imA = L(Avk+1 , . . . , Avn ).Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî âåêòîðû Avk+1 , . . . , Avn ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ïóñòü αk+1 Avk+1 + .
. . + αn Avn = 0 ⇒ A(αk+1 vk+1 + . . . + αn vn ) = 0 ⇒αk+1 vk+1 + . . . + αn vn ∈ kerA ⇒ αk+1 vk+1 + . . . + αn vn = β1 v1 + . . . + βk vk äëÿ êàêèõ-òî÷èñåë β1 , . . . , βk ⇒ αk+1 = . . . = αn = 0. 2Çàìå÷àíèå. Äàííóþ òåîðåìó ìîæíî áûëî áû è íå äîêàçûâàòü, ïîñêîëüêó îíà åñòü ñëåäñòâèå óæåA ñóììà åå ðàíãà è ðàçìåðíîñòè åå ÿäðà (ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû Ax = 0) ðàâíà ÷èñëó åå ñòîëáöîâ. Ìû çíàåì, ÷òî ðàíã ñîâïàäàåòèçâåñòíîãî íàì ôàêòà: äëÿ ëþáîé ìàòðèöûñ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîé îáîëî÷êè ñòîëáöîâ ìàòðèöû, à ïîñëåäíÿÿ, î÷åâèäíî, åñòü åå îáðàç (êàê îïåðàòîðà óìíîæåíèÿ íà äàííóþ ìàòðèöó).Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð A äåéñòâóåò èç V â V .
Òîãäà åãî ÿäðî èîáðàç èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî A.Äîêàçàòåëüñòâî. Èíâàðèàíòíîñòü ÿäðà î÷åâèäíà, ïîñêîëüêó ëþáîé åãî âåêòîð îòîáðàæàåòñÿ â 0.Ïóñòü x ∈ imA. Òîãäà x = AuÇàäà÷à.⇒ Ax = A(Au) ⇒ Ax ∈ imA. 2Äëÿ äâóõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èçVâW,ñóììà ÿäåð ñîâïàäàåò ñV.Äîêàæèòå, ÷òî îáðàç ñóììû ýòèõ îïåðàòîðîâ ðàâåí ñóììå îáðàçîâ. Âåðíî ëè ýòî â ñëó÷àå òðåõ îïåðàòîðîâ?28.7Îáðàòíûé îïåðàòîðÎïåðàòîð A : V → W íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò îïåðàòîð B : W → Vòàêîé, ÷òî A(B(y)) = y ∀ y ∈ W è B(A(x)) = x ∀ x ∈ V .
Ïðè ýòîì B íàçûâàåòñÿîáðàòíûì îïåðàòîðîì äëÿ A.Óòâåðæäåíèå. Åñëè ëèíåéíûé îïåðàòîð îáðàòèì, òî îáðàòíûé îïåðàòîð òàêæåÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáûå âåêòîðû y1 , y2 ∈ W ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå y1 = Ax1 ,y2 = Ax2 . ÏîýòîìóB(αy1 + βy2 ) = B(αAy1 + βBy2 ) = B(A(αx1 + βx2 )) = αx1 + βx2 .Îñòàåòñÿ ó÷åñòü, ÷òîx1 = By1 ,x2 = By2 .2Òåîðåìà. Ïóñòü A : V → W ëèíåéíûé îïåðàòîð, à V è W êîíå÷íîìåðíûåïðîñòðàíñòâà îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè. Òîãäà A ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì îïåðàòîðîìòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà kerA = {0}.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü dim V = dim W = n. Ñîãëàñíî òåîðåìå î ðàçìåðíîñòè ÿäðàè îáðàçà, åñëè dim kerA = 0, òî dim imA = n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî âåêòîðà190Ëåêöèÿ 28y ∈ W ñóùåñòâóåò x ∈ V òàêîé, ÷òî Ax = y .
Áîëåå òîãî, òàêîé âåêòîð x åäèíñòâåí (èíà÷åÿäðî ñîäåðæàëî áû íåíóëåâîé âåêòîð). Îïðåäåëèì îïåðàòîð B : W → V ïðàâèëîìB(y) = x. Òîãäà A(B(y)) = y è B(A(x)) = x ⇒ B ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì îïåðàòîðîì äëÿA.Åñëè æå èçâåñòíî, ÷òî A îáðàòèìûé îïåðàòîð, òî åãî ÿäðî ìîæåò áûòü òîëüêîíóëåâûì (åñëè äëÿ êàêèõ-òî x1 6= x2 âûïîëíÿëîñü áû ðàâåíñòâî Ax1 = Ax2 , òî ýòîïðîòèâîðå÷èëî áû îáðàòèìîñòè îïåðàòîðà A). 2Çàìå÷àíèå. Åñëè ëèíåéíûé îïåðàòîð A : V → W îáðàòèì, òî íåïðåìåííî W = imA. òî æå âðåìÿ, óñëîâèå W = imA íåäîñòàòî÷íî äëÿ îáðàòèìîñòè A.Çàäà÷à.îïåðàòîðû−1P = (A + B)Çàäà÷à.A è B òàêîâû, ÷òî îïåðàòîð A + BQ = (A + B)−1 B êîììóòèðóþò.Ëèíåéíûå îïåðàòîðûAèËèíåéíûé îïåðàòîðA : Rn×n → Rn×nîáðàòèìûé.
Äîêàæèòå, ÷òîñîõðàíÿåò îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû. Äîêàæèòå, ÷òîëþáîé òàêîé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì.28.8Îðòîãîíàëüíûå äîïîëíåíèÿ ÿäðà è îáðàçàÄàäèì åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î ðàçìåðíîñòè ÿäðà è îáðàçà. Ïóñòü A ∈ Cm×n .Åñëè x ∈ kerA, òî äëÿ ëþáîãî y ∈ Cm íàõîäèì0 = y ∗ Ax = (A∗ y)∗ x = (x, A∗ y) ⇒ x ⊥ imA∗ ⇒ kerA ⊂ (imA∗ )⊥ .Ïóñòü òåïåðü x ∈ (imA∗ )⊥ . Òîãäà (x, A∗ y) = y ∗ Ax = 0 ∀ y ∈ Cm .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
