Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Âåêòîð x ∈ V íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ìíîæåñòâó L, åñëè(x, y) = 0 äëÿ âñåõ y ∈ L. Îáîçíà÷åíèå: x⊥L. Ïî îïðåäåëåíèþ, ìíîæåñòâà L è Mîðòîãîíàëüíû, åñëè (x, y) = 0 äëÿ ëþáûõ x ∈ L è y ∈ M . Îáîçíà÷åíèå: L⊥M .Ìíîæåñòâî M âñåõ âåêòîðîâ èç V , êàæäûé èç êîòîðûõ îðòîãîíàëåí çàäàííîìó ìíîæåñòâó L, íàçûâàåòñÿ åãî îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì â ïðîñòðàíñòâå V . Îáîçíà÷åíèå: M = L⊥ .Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà L åãî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå L⊥ ÿâëÿåòñÿïîäïðîñòðàíñòâîì. Ïðè ýòîì L ⊂ (L⊥ )⊥ .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü x, y ∈ L⊥ . Òîãäà (x, z) = (y, z) = 0 ∀ z ∈ L ⇒ (αx+βy, z) =α(x, z) + β(y, z) = 0 ∀ z ∈ L ⇒ αx + βy ∈ L⊥ .Ïî îïðåäåëåíèþ, ìíîæåñòâî (L⊥ )⊥ ñîäåðæèò âñå âåêòîðû, îðòîãîíàëüíûå L⊥ , à çíà÷èò, è âñå âåêòîðû èç ìíîæåñòâà L. 224.8Îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâÍàïîìíèì, ÷òî ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ L1 , L2 , . . . , Lm íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî L âñåõâåêòîðîâ âèäà x = x1 + x2 + . . . + xm , ãäå xi ∈ Li äëÿ âñåõ i. Ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿåòñÿ,÷òî L ïîäïðîñòðàíñòâî. Îáîçíà÷åíèå: L = L1 + .
. . + Lm .Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî L íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé, åñëè ïîäïðîñòðàíñòâà Li íåíóëåâûå è êàæäûé âåêòîð x ∈ L èìååò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå âèäà x = x1 + . . . + xm ,ãäå xi ∈ Li (åñëè x = x01 + . . . + x0m è x0i ∈ Li ∀ i, òî íåïðåìåííî x0i = xi ∀ i).Ñóììà L = L1 + . . . + Lm íåíóëåâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîéñóììîé, åñëè Li ⊥Lj ïðè i 6= j . Îáîçíà÷åíèå: L = L1 ⊕ . . . ⊕ Lm .Óòâåðæäåíèå. Îðòîãîíàëüíàÿ ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ L = L1 ⊕ . . .
⊕ Lm ÿâëÿåòñÿïðÿìîé ñóììîé. Êðîìå òîãî, åñëè xi ∈ Li , òî|x1 + . . . + xm |2 = |x1 |2 + . . . + |xm |2 .(∗)Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà (∗). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî (xi , xj ) = 0 ïðè i 6= j , íàõîäèì2|x1 + . . . + xm | =m XmXi=1 j=1(xi , xj ) =mXi=1(xi , xi ) =mX|xi |2 .i=1Äàëåå, ïóñòü x1 + . . . + xm = x01 + . . . + x0m , ãäå xi , x0i ∈ Li ∀ i. Òîãäà0 = |(x1 − x01 ) + . . . + (xm − x0m )|2 = |x1 − x01 |2 + . . . + |xm − x0m |2 ⇒ xi = x0i ∀ i.2Ñëåäñòâèå 1. Êîíå÷íàÿ ñèñòåìà íåíóëåâûõ ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü âåêòîðû x1 , . . . , xm ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû è îòëè÷íû îò íóëÿ.Òîãäà ñóììà ëèíåéíûõ îáîëî÷åê L(x1 ), . . . , L(xm ) ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñóììîé, èåñëè α1 x1 + . . . + αm xm = 0, òî, ñîãëàñíî (∗),0 = |α1 x1 + . . . + αm xm |2 = |α1 |2 |x1 |2 + . . . + |αm |2 |xm |2 ⇒ α1 = . . . = αm = 0.2Å. Å. Òûðòûøíèêîâ161Ñëåäñòâèå 2. Åñëè íåíóëåâûå ïîäïðîñòðàíñòâà L1 , .
. . , Lm êîíå÷íîìåðíû è ïîïàðíîîðòîãîíàëüíû, òîdim(L1 ⊕ . . . ⊕ Lm ) = dim L1 + . . . + dim Lm .Äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü, ÷òî äëÿ ïðÿìîé ñóììû êîíå÷íîìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Liáàçèñ ïîëó÷àåòñÿ îáúåäèíåíèåì áàçèñîâ â ïîäïðîñòðàíñòâàõ Li (ñì. Ëåêöèþ 12).162Ëåêöèÿ 24Ëåêöèÿ 2525.1Ìàòðèöà ÃðàìàÏóñòü äàíà ñèñòåìà âåêòîðîâ v1 , . .
. , vn è ïóñòüx = α1 v1 + . . . + αn vn ,y = β1 v1 + . . . + βn vn .Òîãäà ïðÿìîå âû÷èñëåíèå äàåò(x, y) =nXβjnXj=1!(vj , vi )αj= b∗ Ga,(∗)i=1ãäåG = G(v1 , . . . , vn ) =(v1 , v1 )...(v1 , vn ).........(vn , v1 )...(vn , vn ) ,a=α1...αn, b=β1...βn.Ìàòðèöà G èç ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé ñèñòåìû âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ åå ìàòðèöåéÃðàìà. 1Òåîðåìà î ìàòðèöå Ãðàìà. Ñèñòåìà âåêòîðîâ v1 , . . . , vn ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà åå ìàòðèöà Ãðàìà âûðîæäåííàÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x = α1 v1 + . .
. + αn vn . Èñïîëüçóÿ (∗) ïðè x = y , íàõîäèì(x, x) = a∗ Ga,a = [α1 , . . . , αn ]> .(#)Åñëè G âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî ñóùåñòâóåò ñòîëáåö a 6= 0 òàêîé, ÷òî Ga = 0 ⇒x = 0 ⇒ ñèñòåìà âåêòîðîâ v1 , . . . , vn ëèíåéíî çàâèñèìà.Îáðàòíî, åñëè ýòà ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà, òî x = 0 ïðè íåêîòîðîì a 6= 0. Ëåãêîâèäåòü, ÷òî Ga = [(x, v1 ), . . . , (x, vn )]> = 0 åñòü ðàâíàÿ íóëþ íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿêîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû G ⇒ ñòîëáöû G ëèíåéíî çàâèñèìû ⇒ G âûðîæäåííàÿ. 2Çàäà÷à.èv1 , .
. . , vm . ïðîñòðàíñòâå ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äàíû äâå ñèñòåìû âåêòîðîâÏðè ýòîì⊥L ∩ M = {0},ãäåLèMu1 , . . . , u m ëèíåéíûå îáîëî÷êè âåêòîðîâ ïåðâîé è âòîðîéñèñòåìû. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû îäíà èç ýòèõ ñèñòåì ëèíåéíî çàâèñèìà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,êîãäàm × m-ìàòðèöà Añ ýëåìåíòàìèaij = (vj , ui )âûðîæäåííàÿ.1 Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ýëåìåíò â ïîçèöèèíàçûâàþòG>(â âåùåñòâåííîì ñëó÷àå, êîíå÷íî,i, jG> = G).163èìååò âèä(vj , vi ).×àñòî ìàòðèöåé Ãðàìà16425.2Ëåêöèÿ 25Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåÏóñòü v1 , . . . , vn áàçèñ â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå V . Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåâåêòîðîâ x = α1 v1 + .
. . + αn vn è y = β1 v1 + . . . + βn vn èìååò âèä (∗), ãäå G ìàòðèöàÃðàìà, a = [α1 , . . . , αn ]> , b = [β1 , . . . , βn ]> .Êàêèìè ñâîéñòâàìè äîëæíà îáëàäàòü ìàòðèöà, ÷òîáû ÿâëÿòüñÿ ìàòðèöåé Ãðàìà äëÿëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû?Âî-ïåðâûõ, ëþáàÿ ìàòðèöà Ãðàìà îáëàäàåò ñâîéñòâîì G∗ = G. Ìàòðèöû ñ òàêèìñâîéñòâîì íàçûâàþòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûìè èëè ýðìèòîâûìè.
2  âåùåñòâåííîì ñëó÷àåG∗ = G> , à ìàòðèöû ñî ñâîéñòâîì G> = G íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè.Âî-âòîðûõ, ñîãëàñíî (#), a∗ Ga > 0 äëÿ âñåõ a 6= 0, ïðè÷åì åñëè V âåùåñòâåííîåïðîñòðàíñòâî, òî a ∈ Rn , à åñëè êîìïëåêñíîå, òî a ∈ Cn . Ëþáàÿ ìàòðèöà ñ òàêèìñâîéñòâîì â ñëó÷àå a ∈ Cn íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé.
Âåùåñòâåííàÿìàòðèöà ñ òåì æå ñâîéñòâîì, êîãäà a ∈ Rn , íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé.Èòàê, ëþáàÿ ìàòðèöà Ãðàìà â ñëó÷àå óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâîéïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé. Íî âåðíî è îáðàòíîå. Ïóñòü G ïðîèçâîëüíàÿ ýðìèòîâàïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿf (a, b) = b∗ Ga,a, b ∈ Cn ,(!)çàäàåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà Cn è G ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé Ãðàìà ñèñòåìû ñòàíäàðòíûõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ e1 , .
. . , en (ei èìååò 1 íà i-ì ìåñòå è 0 â îñòàëüíûõ ïîçèöèÿõ).Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (!) îïðåäåëÿåò îáùèé âèä ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Cn .Ñîîòâåòñòâèÿ a ↔ x, b ↔ y (çàäàþùèå èçîìîðôèçì V è Cn ) ïîçâîëÿþò ñ ïîìîùüþf (a, b) ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íà V .Çàäà÷à.25.3Ìîæåò ëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Ãðàìà áûòü ÷èñëîì îòðèöàòåëüíûì?Ïåðïåíäèêóëÿð è ïðîåêöèÿÏóñòü V ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è L åãî ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè m. Ìû óæå çíàåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ V ñóùåñòâóåò ýëåìåíò íàèëó÷øåãîïðèáëèæåíèÿ z0 ∈ L òàêîé, ÷òî |x − z0 | ≤ |x − z| äëÿ âñåõ z ∈ L.
 äàííîì ñïåöèàëüíîì ñëó÷àå äëÿ íîðìû, ïîðîæäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì èìååò ìåñòîåäèíñòâåííîñòü z0 è åñòü î÷åíü ïðîñòîé ñïîñîá åãî ïîëó÷åíèÿ.Èñõîäèì èç òîãî, ÷òî â L çàäàí áàçèñ z1 , . . . , zm . Òîãäàz0 = α1 z1 + . . . + αm zm .Íàéäåì êîýôôèöèåíòû α1 , . . . , αm èç óñëîâèÿx − z0 ⊥ L ⇔ (x − z0 , z1 ) = 0, . . . , (x − z0 ,α1 (z1 , z1 ) + . . .
+ αm (zm , z1 ) =α1 (z1 , z2 ) + . . . + αm (zm , z2 ) =...α1 (z1 , zm ) + . . . + αm (zm , zm ) =2  ÷åñòü ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Øàðëÿ Ýðìèòà (18221901).zm ) = 0 ⇔(x, z1 ),(x, z2 ),(x, zm ).Å. Å. Òûðòûøíèêîâ165Î÷åâèäíî, èìååì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, äëÿ êîòîðîé ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé Ãðàìà G = G(z1 , . . .
, zm ) ñèñòåìû âåêòîðîâz1 , . . . , zm . Ïî òåîðåìå î ìàòðèöå Ãðàìà, äëÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû îíà íåâûðîæäåííàÿ ⇒ ñèñòåìà îòíîñèòåëüíî α1 , . . . αm èìååò è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå⇒ âåêòîð z0 , ïîä÷èíåííûé óñëîâèþ x − z0 ⊥ L, ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí.Âåêòîð h ≡ x − z0 â ñëó÷àå h ⊥ L, z0 ∈ L íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåííûìèç x íà L, à z0 îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà x íà L.Òåîðåìà î ïåðïåíäèêóëÿðå. Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x è êîíå÷íîìåðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà L ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû ïåðïåíäèêóëÿð h ⊥ L è ïðîåêöèÿ z0 ∈ L òàêèå,÷òî x = z0 + h. Ïðè ýòîì|h| = |x − z0 | < |x − z|∀ z ∈ L, z 6= z0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Îñòàåòñÿ äîêàçàòü ëèøü òî, ÷òî z0 îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûéýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ íà L äëÿ âåêòîðà x.
Ïóñòü z ïðîèçâîëüíûé âåêòîðèç L. Òîãäà x − z = (x − z0 ) + (z0 − z), ãäå x − z0 ⊥ L è z0 − z ∈ L. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òîx − z0 è z0 − z ñóòü ïåðïåíäèêóëÿð è îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ íà L äëÿ âåêòîðà x − z .Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà,|x − z|2 = |x − z0 |2 + |z0 − z|2⇒ |x − z0 | < |x − z| ∀ z 6= z0 .2Ñëåäñòâèå. Åñëè L êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, òî L = (L⊥ )⊥ .Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû óæå çíàåì, ÷òî L ⊂ (L⊥ )⊥ . Âîçüìåì x ∈ (L⊥ )⊥ è îïóñòèì èçíåãî ïåðïåíäèêóëÿð h íà L.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ, h ∈ L⊥ . òî æå âðåìÿ, h ⊥ L⊥ ⇒ (h, h) = 0 ⇒ h = 0. Çíà÷èò, x ∈ L ⇒ (L⊥ )⊥ ⊂ L. 2Çàäà÷à.ÏóñòüLèM ïîäïðîñòðàíñòâà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåâåäåíèåì. Ðàâíîñèëüíû ëè ðàâåíñòâàÇàäà÷à.i 6= j .Ân-ìåðíîìL ∩ M = {0}èL∩M⊥åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîðûÄîêàæèòå, ÷òî ëþáûåÇàäà÷à.⊥nVñî ñêàëÿðíûì ïðîèç-= {0}?a1 , . . . , an+1òàêîâû, ÷òî(ai , aj ) < 0ïðèèç íèõ ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äîêàæèòå, ÷òî ân-ìåðíîìåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ëþáàÿ ñèñòåìà èçn+2âåêòîðîâñîäåðæèò ïàðó âåêòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåîòðèöàòåëüíî.Çàäà÷à.nÏóñòüPn ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøåR1(f, g) =f (t)g(t)dt.√−1 n2/2 .ïðåâîñõîäèòñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìïîäïðîñòðàíñòâà25.4Pn−1íåÄîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå îò ìíîãî÷ëåíàxnäîÎðòîãîíàëüíûå ñèñòåìûÑèñòåìà íåíóëåâûõ âåêòîðîâ x1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
