Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ïóñòü p ≥ 1, x1 , . . . , xn è y1 , . . . , yn ïðîèçâîëüíûåêîìïëåêñíûå ÷èñëà. ÒîãäànX!1/pp|xi + yi |nX≤i=1!1/pp|xi |nX+i=1!1/pp|yi |.i=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè p = 1 íåðàâåíñòâî ïðîâåðÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáðàçîì.  ñëó÷àåp > 1 èìååì, î÷åâèäíî,nXp|xi + yi | ≤i=1nXp−1|xi + yi ||xi + yi | ≤i=1nXp−1|xi | |xi + yi |+i=1nX|yi | |xi + yi |p−1 .i=1Äëÿ êàæäîé èç ñóìì ñïðàâà ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà, âçÿâ q = p/(p − 1)1 1+ = 1. Ïîëó÷àåìp qnX|xi + yi |p ≤ i=1nX!1/p|xi |p+i=1nX!1/p |yi |pi=1!1/q|xi + yi |(p−1)qi=12Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî (p − 1)q = p è 1 − 1/q = 1/p.22.4nX⇒Íîðìû ÃåëüäåðàÏóñòü x = [x1 , .
. . , xn ]> ∈ Cn . Ïðè p ≥ 1 ïîëîæèì||x||p =nX!1/p|xi |p.i=1Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì x âåëè÷èíà ||x||p ïðè p → ∞ èìååò ïðåäåë,ðàâíûé max |xi |. Ïîýòîìó ðàçóìíî ïðèíÿòü îáîçíà÷åíèå1≤i≤n||x||∞ = max |xi |.1≤i≤n146Ëåêöèÿ 22Âåëè÷èíû ||x||p íàçûâàþòñÿ p-íîðìàìè èëè íîðìàìè Ãåëüäåðà.Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî ñîõðàíÿþò ñèëó ïðè p = ∞ (â ýòîì ñëó÷àåq = 1). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè p → ∞.Òåîðåìà. Ïðè ëþáîì p ≥ 1, âêëþ÷àÿ p = ∞, âåëè÷èíà ||x||p ÿâëÿåòñÿ íîðìîé íà Cn .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñâîéñòâà (1) è (2) íîðìû î÷åâèäíû. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà åñòüíå ÷òî èíîå, êàê íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî. 2Çàäà÷à.âîìRn êàê ôóíêöèè êîîðäèíàò âåêòîðà x = [x1 , . . . , xn ]> îáëàäàþò ñâîéñòf (x1 , . . . , xn ) = f (|x1 |, . . . , |xn |). Ïðèâåäèòå ïðèìåð íîðìû, êîòîðàÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò.22.5Ìíîãèå íîðìû íàÇà÷åì íóæíû íîðìû?Ïðåæäå âñåãî, ýòî óäîáíûé èíñòðóìåíò äëÿ èçó÷åíèÿ ïðåäåëîâ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ xk ∈ V íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ê âåêòîðó x ∈ V , åñëè÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ||xk −x|| ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè k → ∞. Âåêòîð x íàçûâàåòñÿïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xk .
Îáîçíà÷åíèÿ: x = lim xk èëè xk → x ïðè x → ∞.k→∞Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùàÿñÿ ê êàêîìó-íèáóäü âåêòîðó, íàçûâàåòñÿ ïðîñòî ñõîäÿùåéñÿ. Ýòî îïðàâäàíî, ïîñêîëüêó äâóõ ðàçëè÷íûõ ïðåäåëîâ áûòü òå ìîæåò. Åñëèxk → x è xk → y , òî||x − y|| = ||(x − xk ) − (y − xk || ≤ ||x − xk || + ||y − xk || → 0 ⇒ x = y.
2 êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå V ïðè èçó÷åíèè ñõîäèìîñòè ìîæíî, â ïðèíöèïå,îáîéòèñü è áåç íîðì. Ôèêñèðîâàâ êàêîé-íèáóäü áàçèñ e1 , . . . , en ∈ V , ìû ìîãëè áûðàññìîòðåòü ðàçëîæåíèÿnXkx =xki eii=1è íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ xk ñõîäÿùåéñÿ, åñëè ñõîäÿòñÿ êîîðäèíàòíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè xki ïðè âñåõ i. Òàêîå ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè íå áóäåò çàâèñåòü îò âûáîðà áàçèñà (äîêàæèòå!). Ëåãêî âèäåòü òàêæå, ÷òî èç ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè âêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âûòåêàåòñõîäèìîñòü ïî ëþáîé íîðìå. Äåéñòâèòåëüíî,Pkïóñòü xi → xi . Òîãäà, âçÿâ x =xi ei , ïîëó÷àåìik||x − x|| ≤nX|xki − xi | ||ei ||.2i=1Áîëåå òîãî, èìååò ìåñòî è ìåíåå î÷åâèäíûé ôàêò: â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èçñõîäèìîñòè ïî ëþáîé íîðìå âûòåêàåò ïîêîîðäèíàòíàÿ ñõîäèìîñòü.
Ìû ñêîðî ýòî äîêàæåì.Òåì íå ìåíåå, äàæå â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü ñ ïîìîùüþ íîðì î÷åíü óäîáíî: âñå ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ëèøü îäíîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ||xk − x||. Ýòî òåì áîëåå âàæíî, êîãäà ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íîìåðíî!Å. Å. Òûðòûøíèêîâ22.6147Íîðìû â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåÏóñòü C[a, b] ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå[a, b]. Äëÿ ôóíêöèè f ∈ C[a, b] íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íîðìàÏÐÈÌÅÐ 1.||f ||C = max |f (x)|,a≤x≤bíàçûâàåìàÿ C -íîðìîé (èíîãäà òàêæå ðàâíîìåðíîé èëè ÷åáûøåâñêîé 1 ).Ïóñòü C 1 [a, b] ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] âìåñòå ñ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé 2 .
 äàííîì ñëó÷àå íîðìó ìîæíî ââåñòè, íàïðèìåð,òàê:||f ||C 1 = max (|f (x)| + |f 0 (x)|).ÏÐÈÌÅÐ 2.a≤x≤bÇàìåòèì, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé èç C 1 [a, b] ïî íîðìå C 1 âëå÷åò çà ñîáîé ñõîäèìîñòü ïî íîðìå C . Îáðàòíîå, îäíàêî, íå âåðíî: ïîñëåäîâàòåëüíîñòüôóíêöèésin kxf k (x) = √kïðèíàäëåæèò C 1 [a, b] è ñõîäèòñÿ ïî íîðìå C ê íóëþ, íî íå ñõîäèòñÿ ïî íîðìå C 1 , òàêêàê íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé ïî ýòîé íîðìå.Òàêèì îáðàçîì, â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ðàçíûå íîðìû îïðåäåëÿþò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûå òèïû ñõîäèìîñòè.  ýòîì îòíîøåíèè êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâàîòëè÷àþòñÿ ïðèíöèïèàëüíî: â íèõ ñõîäèìîñòü ïî êàêîé-ëèáî íîðìå ðàâíîñèëüíà ñõîäèìîñòè ïî ëþáîé äðóãîé íîðìå ýòî ôóíäàìåíòàëüíûé ôàêò, êîòîðûé ñêîðî áóäåò äîêàçàí.
Îí âðîäå áû îçíà÷àåò, ÷òî â êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿèçó÷åíèåì êàêîé-íèáóäü îäíîé íîðìû. Òåì íå ìåíåå, ýòî íå òàê!  îãðîìíîì ÷èñëå âîïðîñîâ êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà âîçíèêàþò êàê ïîäïðîñòðàíñòâà áåñêîíå÷íîìåðíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîýòîìó íîðìû â íèõ äîëæíû ïîðîæäàòüñÿ íîðìîéñîîòâåòñòâóþùåãî áåñêîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. À ìû òîëüêî ÷òî âûÿñíèëè, ÷òîäëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ ðàçíûå íîðìû ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ñóùåñòâåííûì îáðàçîì.Çàäà÷à.íîðìå22.7C1Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèéf k (x) = sin kx/kíå ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ïî.Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïîíÿòèè ïðåäåëà àêñèîìû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà èñïîëüçóþòñÿ, íà ñàìîì äåëå, íåî÷åíü ñóùåñòâåííûì îáðàçîì íîðìà ðàçíîñòè äâóõ âåêòîðîâ ëåãêî çàìåíÿåòñÿ áîëååîáùèì ïîíÿòèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè.Ïóñòü M íåïóñòîå ìíîæåñòâî è ρ(x, y) âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îò ýëåìåíòîâx, y ∈ M , îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(1) ρ(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ M,ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y ;(2) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀ x, y ∈ M ;1  ÷åñòü çíàìåíèòîãî ðóññêîãî ìàòåìàòèêà Ïàôíóòèÿ Ëüâîâè÷à ×åáûøåâà.2 ×òîáû ðàññìàòðèâàòü f 0 (x) â òî÷êàõ a è b, ìîæíî ñ÷èòàòü ôóíêöèþ f (x) îïðåäåëåííîé è äèôôåðåíöèðóåìîé íà áîëåå øèðîêîì èíòåðâàëå, íàêðûâàþùåì[a, b].148Ëåêöèÿ 22(3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) ∀ x, y, z ∈ M . òàêèõ ñëó÷àÿõ M íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, à ρ(x, y) ðàññòîÿíèåììåæäó ýëåìåíòàìè x è y .Ëþáîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì ñ ðàññòîÿíèåìρ(x, y) = ||x − y||.Îäíàêî, ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî â îáùåì ñëó÷àå íå ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èÿ êàêèõëèáî îïåðàöèé íàä åãî ýëåìåíòàìè.
Íàïðèìåð, ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî Máóäåò ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ρ(x, y) = 0 ïðè x = y è ρ(x, y) = 1 ïðè x 6= y .22.8Ïðåäåëû è ïîëíîòàÏóñòü M ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ xk ∈ M íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ â M , åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò x ∈ M òàêîé, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ρ(xk , x) ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè k → ∞. Êàê è â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå,äâóõ ðàçíûõ ïðåäåëîâ áûòü íå ìîæåò: åñëè xk → x è xk → y , òîρ(x, y) ≤ ρ(x, xk ) + ρ(xk , y) → 0⇒x = y.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xk ∈ M íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè, 3 åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ïðèk, l > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ρ(xk , xl ) < ε.Èç íåðàâåíñòâà ρ(xk , xl ) ≤ ρ(xk , x) + ρ(x, xl ) î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Êîøè.
Îáðàòíîå â îáùåì ñëó÷àåíå âåðíî. Íàïðèìåð, ëþáîé èíòåðâàë M = (a, b) âåùåñòâåííîé îñè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ðàññòîÿíèåì ρ(x, y) = |x − y|. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüxk = a + (b − a)/k ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, íî íå ìîæåò ñõîäèòüñÿ íè ê êàêîìóýëåìåíòó èç M (åå ïðåäåëîì äîëæíî áû áûòü ÷èñëî a, íî a ∈/ M ).Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè â íåì ëþáàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ. íà÷àëüíûõ êóðñàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà îáû÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷èñåë èç R ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ â R òàêèì îáðàçîì,ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî R ñ ðàññòîÿíèåì ρ(x, y) = |x − y| ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì.Âñå ïîíÿòèÿ è ôàêòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, ïåðåíîñÿòñÿ íàïðîèçâîëüíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà.
Ïðè ýòîì âñåãäà ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàññòîÿíèå â íèõ ââîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ íîðìû: ρ(x, y) = ||x − y||. Ïîëíîå íîðìèðîâàííîåïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ òàêæå áàíàõîâûì. 4Çàäà÷à.ïðîñòðàíñòâåÄîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿR.ρ(x, y) = |x − y|/(1 + |x − y|)çàäàåò ðàññòîÿíèå â âåùåñòâåííîìÏîðîæäàåòñÿ ëè îíî êàêîé-ëèáî íîðìîé? Áóäåò ëè ïðîñòðàíñòâî ïîëíûì?3 Åùå îäíî (êðàñèâîå, íî ðåäêî èñïîëüçóåìîå) íàçâàíèå ñõîäÿùàÿñÿ â ñåáå.4  ÷åñòü ïîëüñêîãî ìàòåìàòèêà, ïðîôåññîðà Ëüâîâñêîãî óíèâåðñèòåòà Ñòåôàíà Áàíàõà.Ëåêöèÿ 2323.1Ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâåÏóñòü M ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, a ∈ M è r > 0.
ÌíîæåñòâàM (a, r) = {x ∈ M : ρ(a, x) < r},M (a, r) = {x ∈ M : ρ(a, x) ≤ r}.íàçûâàþòñÿ îòêðûòûì øàðîì è çàìêíóòûì øàðîì ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a.Ïóñòü S êàêîå-òî ìíîæåñòâî òî÷åê â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå M . Ìíîæåñòâî Síàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè îíî öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå.Òî÷êà a ∈ S íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé äëÿ S , åñëè îíà ñîäåðæèòñÿ â S âìåñòå ñ íåêîòîðûì îòêðûòûì øàðîì. Ìíîæåñòâî S íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì â M , åñëè ëþáàÿ åãîòî÷êà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé.
Ïóñòîå ìíîæåñòâî ïî îïðåäåëåíèþ ñ÷èòàåòñÿ îòêðûòûì.Ïóñòü x ∈ M è ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê xk ∈ S , ñõîäÿùàÿñÿ ê x. Âýòîì ñëó÷àå x íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïðèêîñíîâåíèÿ äëÿ S . Åñëè xk 6= x äëÿ âñåõ k , òî xíàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé äëÿ S . Î÷åâèäíî, ëþáàÿ òî÷êà ïðèêîñíîâåíèÿ, íå ïðèíàäëåæàùàÿ ìíîæåñòâó S , ÿâëÿåòñÿ äëÿ íåãî ïðåäåëüíîé.Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà S íàçûâàåòñÿ îíî ñàìî ïëþñ âñå åãî ïðåäåëüíûå òî÷êè.Îáîçíà÷åíèå: [S]. Ìíîæåñòâî S íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîäåðæèò âñå ñâîèïðåäåëüíûå òî÷êè: [S] = S . Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî S çàìêíóòî â òîì è òîëüêî â òîìñëó÷àå, êîãäà äîïîëíèòåëüíîå â M ìíîæåñòâî O = M \S ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì.Çàäà÷à.Âñåãäà ëè çàìûêàíèå îòêðûòîãî øàðà ñîâïàäàåò ñ çàìêíóòûì øàðîì ñ òåì æå öåíòðîìè ðàäèóñîì?Çàäà÷à.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
