Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ àáñî-ëþòíàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé äî äâóõ çàäàííûõ òî÷åê ïîñòîÿííà, íàçûâàåòñÿãèïåðáîëîé.Ïóñòü òî÷êà (x, y) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó èç îïðåäåëåíèÿ 2. Ââåäåì äåêàðòîâûêîîðäèíàòû òàêèì îáðàçîì, ÷òî çàäàííûå òî÷êè ïîëó÷àþò êîîðäèíàòû (−c, 0) è (c, 0).Ïîñòîÿííóþ àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îáîçíà÷èì ÷åðåç 2a.
Òîãäàpp (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = 2a ⇒2p2222(x + c) + y = 2a − (x − c) + y⇒ (100 ).Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèÿ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíû.Ôîðìóëû (A) è (B) äåëàþò î÷åâèäíûì òàêæå ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ îò-íîøåíèå ðàññòîÿíèé äî çàäàííîé òî÷êè è çàäàííîé ïðÿìîé ïîñòîÿííî è ðàâíî e > 1,ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëîé.Èç íàøèõ ïîñòðîåíèé ñëåäóåò, ÷òî èìåþòñÿ ðîâíî äâå âîçìîæíîñòè äëÿ âûáîðà òî÷êè (ôîêóñà) è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðÿìîé (äèðåêòðèñû), îïðåäåëÿþùèõ îäíó è òó æåãèïåðáîëó.Çàäà÷à.y 2 /b2 = 1è èìåþùåé ñ íåé åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó â îáëàñòèæå çíàêà, ÷òî èx0(òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëàÇàäà÷à.M (x0 , y0 ) ãèïåðáîëû x2 /a2 −òî÷åê (x, y) ñ êîîðäèíàòîé x òîãîÍàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóAM B ,ãäåAèBêàñàòåëüíîéê ãèïåðáîëå).
Äîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ ïðÿìàÿ ôîêóñû ãèïåðáîëû.Äîêàæèòå, ÷òî íèêàêàÿ ïðÿìàÿ íå ìîæåò èìåòü ðîâíî îäíó îáùóþ òî÷êó ñ êàæäîé âåòâüþãèïåðáîëû.Çàäà÷à.x2 /a2 − y 2 /b2 = 1 ïðè x > 0 äîïóñêàþò−∞ < φ < +∞. Ïî îïðåäåëåíèþ,Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè âåòâè ãèïåðáîëûðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèåx = a ch (φ), y = b sh (φ),ch (φ)=1 φ(e + e−φ ),2sh (φ)=1 φ(e − e−φ ).2ïàðàìåò-13019.7Ëåêöèÿ 19ÏàðàáîëàÏóñòü óðàâíåíèå f (x, y) èìååò âèä (2).
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî λ2 > 0 è b < 0 (ýòîãîâñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ óìíîæåíèåì óðàâíåíèÿ íà (−1) è äîïîëíèòåëüíûì ïîâîðîòîìñèñòåìû êîîðäèíàò íà óãîë π ). Óáåðåì øòðèõè, ðàññìàòðèâàÿ íîâóþ ñèñòåìó â êà÷åñòâåèñõîäíîé. Ïîëîæèâ p = −b/λ2 , ïîëó÷àåì óðàâíåíèåy 2 = 2px,(20 )p > 0.Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (20 ), íàçûâà-åòñÿ ïàðàáîëîé ñ ôîêàëüíûì ïàðàìåòðîì p.Òî÷êà F = (p/2, 0) íàçûâàåòñÿ ôîêóñîì ïàðàáîëû (20 ). Ïðÿìàÿ l : x = −p/2 íàçûâàåòñÿ äèðåêòðèñîé ïàðàáîëû (20 ).Ïóñòü M = (x, y) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïàðàáîëû. Ðàññòîÿíèå îò íåå äî ôîêóñàèìååò âèäpp|M F | =(x − p/2)2 + y 2 =x2 − px + (p/2)2 + 2pxp=x2 + 2x(p/2) + (p/2)2 = |x + p/2|.Èòàê, ðàññòîÿíèå îò ëþáîé òî÷êè ïàðàáîëû äî ôîêóñà |F | ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò íåå äîäèðåêòðèñû l.Îïðåäåëåíèå 2.
Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ ðàññòîÿíèå äî çàäàííîé òî÷êè F ðàâíî ðàññòîÿíèþ äî çàäàííîé ïðÿìîé l, íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé.Ïóòü ðàññòîÿíèå îò çàäàííîé òî÷êè äî çàäàííîé ïðÿìîé ðàâíî p. Âûáåðåì ñèñòåìóêîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òî F = (p/2, 0) è l : x = −p/2. Åñëè |M F | = |x + p/2|,òî, âîçâîäÿ ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò, ïîëó÷àåì (20 ). Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèÿ 1 è 2äåéñòâèòåëüíî ýêâèâàëåíòíû.Çàäà÷à.M (x0 , y0 ) ïàðàáîëû y 2 = 2pxè èìåþùåé ñ íåé åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå).Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ, îðòîãîíàëüíàÿ äàííîé ïðÿìîé è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M , äåëèò ïîïîëàìóãîë ìåæäó ïðÿìîé F M , ãäå òî÷êà F ôîêóñ ïàðàáîëû, è ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè x è ïðîõîäÿùåé÷åðåç òî÷êó M .Çàäà÷à.Íàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóÄîêàæèòå, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ êàñà-òåëüíûõ ê ïàðàáîëå ñîâïàäàåò ñ åå äèðåêòðèñîé.Çàäà÷à.Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå òî÷êè êðèâîé, íàçûâàåòñÿ ååõîðäîé.Äîêàæèòå, ÷òî äëÿýëëèïñà, ãèïåðáîëû èëè ïàðàáîëû ñåðåäèíû âñåõ õîðä, ïàðàëëåëüíûõ ïðîèçâîëüíîé çàäàííîé õîðäå,ðàñïîëîæåíû íà îäíîé ïðÿìîé.Çàäà÷à.ÊðèâàÿSE ïðîèçâîëüíàÿl(A, B) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ýòî ýëëèïñ, îäíà èç âåòâåé ãèïåðáîëû èëè ïàðàáîëà,S .
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê A è B íà S ïðÿìàÿA 6= B è êàê êàñàòåëüíàÿ â òî÷êå A â ñëó÷àå A = B . Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ,ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó E ïàðàëëåëüíî l(A, B), èìååò ñ S íå áîëåå îäíîé îáùåé òî÷êè C , ïîìèìîE . Ïóñòü C = E , åñëè îáùàÿ òî÷êà òîëüêî îäíà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé ïàðå òî÷åê A, B ñòàâèòñÿ âñîîòâåòñòâèå òî÷êà C íàçîâåì åå ñóììîé òî÷åê A è B . Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî S îòíîñèòåëüíîôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà íàïðÿìàÿABâ ñëó÷àåýòîé îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.Ëåêöèÿ 2020.1Êâàäðàòè÷íûå ìíîãî÷ëåíû îò òðåõ ïåðåìåííûõÐàññìîòðèì âåùåñòâåííûé êâàäðàòè÷íûé ìíîãî÷ëåíf (x, y, z) = a11 x2 + 2a12 xy + 2a13 xz + a22 y 2 + 2a23 yz + a33 z 2 + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò x, y, z â ãåîìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è èññëåäóåì ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ f (x, y, z) = 0 åãî ïðèíÿòî íàçûâàòü ïîâåðõíîñòüþ âòîðîãîïîðÿäêà.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî a11 a12 a13 a14x a12 a22 a23 a24 y f (x, y, z) = x y z 1 a13 a23 a33 a34 z ,a14 a24 a34 a441à êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü ìíîãî÷ëåíà f (x, y, z) èìååò âèä aaax111213f2 (x, y, z) = x y z a12 a22 a23 y .a13 a23 a33zÊàê è â ñëó÷àå äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîïðîáóåì ïåðåéòè ê áîëåå óäîáíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.20.2Äåêàðòîâû ñèñòåìû è îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöûÏóñòü e1 , e2 , e3 è ee1 , ee2 , ee3 áàçèñíûå âåêòîðû äâóõ äåêàðòîâûõ ñèñòåì êîîðäèíàò ñ îáùèì íà÷àëîì.
Âûðàçèì âåêòîðû âòîðîé ñèñòåìû â âèäå ëèíåéíûõ êîìáèíàöèéâåêòîðîâ ïåðâîé ñèñòåìûee1 = p11 e1 + p21 e2 + p31 e3 ,ee2 = p12 e1 + p22 e2 + p32 e3 ,ee3 = p13 e1 + p23 e2 + p33 e3è çàìåòèì, ÷òî p11 p21 p31p11 p12 p13(ee1 , ee1 ) (ee1 , ee2 ) (ee1 , ee3 )1 0 0 p12 p22 p32 p21 p22 p23 = (ee2 , ee1 ) (ee2 , ee2 ) (ee2 , ee3 ) = 0 1 0 .p13 p23 p33p31 p32 p33(ee3 , ee1 ) (ee3 , ee2 ) (ee3 , ee3 )0 0 1131132Ëåêöèÿ 20Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà ïåðåõîäà P äëÿ áàçèñîâ äâóõ äåêàðòîâûõ ñèñòåì êîîðäèíàòóäîâëåòâîðÿåò ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâóP > P = I.(∗)ßñíî è òî, ÷òî åñëè ìàòðèöà ïåðåõîäà îáëàäàåò ñâîéñòâîì (∗), òî äåêàðòîâà ñèñòåìàïåðåõîäèò â äåêàðòîâó.Îïðåäåëåíèå.
Êâàäðàòíàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà P , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ðàâåíñòâó (∗),íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé.Îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà 2 îñóùåñòâëÿþò ïåðåõîä ìåæäó áàçèñàìè äåêàðòîâûõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè. Òàêîâû, â ÷àñòíîñòè, ìàòðèöû ïåðåõîäà, ðåàëèçóþùèå ïîâîðîò (ñì. ëåêöèþ 18).Äàííîå íàìè îïðåäåëåíèå ïðèìåíèìî è äëÿ ìàòðèö, ïîðÿäîê êîòîðûõ áîëüøå 3.Ñîãëàñíî (∗), äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà îáðàùåíèå ñâîäèòñÿê òðàíñïîíèðîâàíèþ:P −1 = P > .Êðîìå òîãî, ïðîèçâåäåíèå äâóõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö îñòàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé: åñëè P > P = Q> Q = I , òî (P Q)> (P Q) = Q> (P > P )Q = Q> I Q = Q> Q = I .Î÷åâèäíî, åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà I ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé.Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêàîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö îáðàçóåò ãðóïïó.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü y = P x, ãäå P ïðîèçâîëüíàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿä-êà n è x ∈ Rn×1 .
Òîãäà ñóììà êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû-ñòîëáöà y ðàâíà ñóììåêâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû-ñòîëáöà x.Äîêàçàòåëüñòâî.y12 + . . . + yn2 = y > y = (P x)> (P x) = x> (P > P ) x = x> x = x21 + . . . + x2n .2Ñëåäñòâèå. Ïóñòü B = P AQ, ãäå P, Q ïðîèçâîëüíûå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöûïîðÿäêà n è A ïðîèçâîëüíàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Òîãäà ñóììà êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû B ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A.20.3Ìåòîä âðàùåíèéÏîïðîáóì óïðîñòèòü êâàäðàòè÷íóþ ÷àñòü f2 (x, y), èñïîëüçóÿ òó æå èäåþ ïîâîðîòà ñèñòåìû êîîðäèíàò, êàê è â ñëó÷àå ïëîñêîñòè. Òåïåðü, îäíàêî, ó íàñ åñòü òðè êîîðäèíàòíûõïëîñêîñòè, ïîðîæäàåìûå òðåìÿ ïàðàìè êîîðäèíàòíûõ îñåé.
Öåëü âðàùåíèÿ ïîëó÷èòüíóëü âìåñòî êàêîé-íèáóäü îäíîé ïàðû ýëåìåíòîâ aij = aji ïðè i 6= j . Ðàññìîòðèì òðèâîçìîæíîñòè: cos φ sin φ 0a11 a12 a13cos φ − sin φ 0ea11 0 ea13 − sin φ cos φ 0 a12 a22 a23 sin φ cos φ 0 = 0 ea22 ea23 , (1)001a13 a23 a33001ea13 ea23 ea33 cos φ 0 sin φa11 a12 a13cos φ 0 − sin φea11 ea12 0= e010 a12 a22 a23 010a12 ea22 ea23 , (2)− sin φ 0 cos φa13 a23 a33sin φ 0 cos φ0 ea23 ea33Å. Å.
Òûðòûøíèêîâ133 100a11 a12 a13100ea11 ea12 ea13 0 cos φ sin φ a12 a22 a23 0 cos φ − sin φ = ea12 ea22 0 . (3)0 − sin φ cos φ0 sin φ cos φea13 0 ea33a13 a23 a33Îáîçíà÷èì ÷åðåç d0 , h0 è d1 , h1 ñóììû êâàäðàòîâ äèàãîíàëüíûõ è âíåäèàãîíàëüíûõýëåìåíòîâ èñõîäíîé è íîâîé ìàòðèö â êàæäîì èç òðåõ ñëó÷àåâ:d0 = a211 + a222 + a233 ,h0 = 2a212 + 2a213 + 2a223 ,d1 = ea211 + ea222 + ea233 ,a213 + 2ea223 .h1 = 2ea212 + 2eÑîãëàñíî îòìå÷åííûì âûøå ñâîéñòâàì îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö,d1 + h1 = d0 + h0⇒h1 = h0 − (d1 − d0 ).Ïî òîé æå ïðè÷èíå â ñëó÷àå (1) èìååì a211 + a222 + 2a212 = ea211 + ea222 è, ïîñêîëüêó a33 = ea33 ,22d1 − d0 = 2a12 .  ñëó÷àå (2) d1 − d0 = 2a13 , à â ñëó÷àå (3) d1 − d0 = 2a223 .Ïóñòü èíäåêñû i, j îïðåäåëÿþò êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü, â êîòîðîé ïðîâîäèòñÿ âðàùåíèå (è óêàçûâàþò íà òî, êàêîå èç ñîîòíîøåíèé (1), (2) èëè (3) èìååò ìåñòî).
Âûáåðåìèõ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû èñêëþ÷àåìûé ýëåìåíò aij áûë ìàêñèìàëüíûì ïî ìîäóëþ. Òîãäà, î÷åâèäíî,d1 − d0 = 2a2ij ≥ 2(h0 /6) = h0 /3⇒h1 ≤2h0 .3Ïóñòü A0 = [aij ] è A1 = [eaij ]. Ðàññìàòðèâàÿ A1 â êà÷åñòâå íîâîé èñõîäíîé ìàòðèöû,âûáåðåì â íåé ìàêñèìàëüíûé ïî ìîäóëþ âíåäèàãîíàëüíûé ýëåìåíò è, çàíóëèâ åãî ñïîìîùüþ âðàùåíèÿ, ïîëó÷èì ìàòðèöó A2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
