Главная » Просмотр файлов » Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра

Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 28

Файл №1112313 Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра) 28 страницаЕ.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313) страница 282019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Îòñþäàe> = (Q> AQ)> = Q> A> (Q> )> = Q> AQ = A.eAe = [eÇíà÷èò, Aaij ], 1 ≤ i, j ≤ 2, îñòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé.e ïðèîáðåëà äèàãîíàëüíûé âèä:Ïîïûòàåìñÿ âûáðàòü óãîë φ òàê, ÷òîáû ìàòðèöà A cos φ sin φa11 a12cos φ − sin φλ1 0=.(∗)− sin φ cos φa12 a22sin φcos φ0 λ2Òàêèì îáðàçîì, òðåáóåòñÿ çàíóëèòü ýëåìåíòea12 = ea21 = (cos2 φ − sin2 φ) a12 − sin φ cos φ (a11 − a22 )a11 − a22= 0.= cos(2φ) a12 − sin(2φ)2Å. Å. Òûðòûøíèêîâ125Åñëè a12 = 0, òî ìîæíî âçÿòü φ = 0. Åñëè a12 6= 0, òî íàäî ðåøèòü óðàâíåíèåctg (2φ) =a11 − a22.2a12Î÷åâèäíî, ðåøåíèå ñóùåñòâóåò. Ïîýòîìó âñåãäà íàéäåòñÿ φ òàêîå, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (∗).

Êðîìå òîãî, ïðè ëþáîì âûáîðå φ ïîëó÷àåìλ1 = cos2 φ a11 +2 cos φ sin φ a12 +sin2 φ a22 ,λ2 = sin2 φ a11 −2 cos φ sin φ a12 +cos2 φ a22 .Îòñþäà λ1 +λ2 = a11 +a22 .  òî æå âðåìÿ, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (∗) è òî, ÷òî îïðåäåëèòåëüïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îïðåäåëèòåëåé, íàõîäèì λ1 λ1 = a11 a22 − a212 .Ñëåäîâàòåëüíî, λ1 è λ2 ñóòü êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ 2λ2 − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a212 ) = 0.(#)Äîêàçàíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà èñõîäíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íàíåêîòîðûé óãîë φ óðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïðåîáðàçóåòñÿ â íîâûõ êîîðäèíàòàõ ê âèäóλ1 xe2 + λ2 ye2 + 2b13 xe + 2b23 ye + b33 = 0,ãäåb13 b23=a13 a23cos φ − sin φsin φcos φ,b33 = a33 ,à λ1 è λ2 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (#).19.4Ñäâèã äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàòÅñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü f2 íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûìíóëåì.

Çíà÷èò, λ1 è λ2 íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî.Ñëó÷àé 1: λ1 6= 0, λ2 6= 0. Âûäåëèì â êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè ïîëíûå êâàäðàòû:b213b213b13xe + 2 − 2 = λ1 xe+λ1 xe + 2b13 xe = λ1 xe +2λ1λ1λ1b23b223b22322λ2 ye + 2b23 ye = λ2 ye + 2ye + 2 − 2 = λ2 ye +λ2λ2λ222b13λ12b23λ22−b213,λ21−b223.λ22Îñóùåñòâèì ñäâèã äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò xe è ye, ïîìåñòèâ åå íà÷àëî â òî÷êób13b230O = − , −.λ1λ2Íîâûå êîîðäèíàòû x0 è y 0 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç xe è ye ñëåäóþùèì îáðàçîì:x0 = xe +2 Çàìåòèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿîòλ,íàçûâàåìûéb13,λ1(#)y 0 = ye +åñòü â òî÷íîñòèõàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîììàòðèöûb23.λ2a −λa12det 11. Ýòî ìíîãî÷ëåía21a22 − λa11 a12.

Ìíîãî÷ëåí òàêîãî æå âèäàa21 a22åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò ïðè èçó÷åíèè ðÿäà âàæíûõ çàäà÷ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ (íå îáÿçàòåëüíîñèììåòðè÷íûõ) ìàòðèö ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà (ñì. Ëåêöèþ 29).126Ëåêöèÿ 19 íîâûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå f (x, y) = 0 òåðÿåò ëèíåéíóþ ÷àñòü è ïðèíèìàåò âèäλ1 (x0 )2 + λ2 (y 0 )2 + c = 0,c = b33 −(1)b213b223−.λ21λ22Ñëó÷àé 2: λ1 = 0, λ2 6= 0. Ïåðåíîñèì íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó0O =b230, −λ2. íîâûõ êîîðäèíàòàõxb = xe,yb = ye +b23λ2óðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïîëó÷àåò âèä2λ2 yb + 2b xb + c = 0,b = b23 ,b223c = b33 − 2 .λ2Åñëè b 6= 0, âûïîëíèì åùå îäèí ïåðåíîñ íà÷àëà ñèñòåìû êîîðäèíàò â òî÷êó (−c/b, 0). íîâûõ êîîðäèíàòàõcx0 = xb +, y 0 = yb2bóðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïðèîáðåòàåò ôîðìóλ2 (y 0 )2 + 2b x0 = 0.(2)Åñëè b = 0, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (ïîëîæèì äëÿ óíèôèêàöèè x0 = xb, y 0 = yb)λ2 (y 0 )2 + c = 0.(3)Ñëó÷àé λ1 6= 0, λ2 = 0 ñâîäèòñÿ ê ñëó÷àþ 2 äîïîëíèòåëüíûì ïîâîðîòîì ñèñòåìûêîîðäèíàò íà óãîë π/2.

Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà. Ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà è ñäâèãà èñõîäíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò óðàâíåíèåf (x, y) = 0 ïðèâîäèòñÿ â íîâûõ êîîðäèíàòàõ ê âèäó (1), (2) èëè (3).Åñëè óðàâíåíèå f (x, y) = 0 â êàêîé-ëèáî äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä(1), òî íè â êàêîé äðóãîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå îíî íå ìîæåò èìåòü âèä (2) èëè (3).Àíàëîãè÷íî, óðàâíåíèå âèäà (2) ïðè ïåðåõîäå ê äðóãîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå íå ìîæåòñòàòü óðàâíåíèåì âèäà (1) èëè (3), à óðàâíåíèå âèäà (3) óðàâíåíèåì âèäà (1) èëè (2).Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç ñðàâíåíèÿ ðàññìîòðåííûõ íèæå ãåîìåòðè÷åñêèõñâîéñòâ ìíîæåñòâ ðåøåíèé óðàâíåíèé (1), (2) è (3).19.5ÝëëèïñÏóñòü â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå f (x, y) = 0 èìååò âèä (1),ãäå λ1 è λ2 íåíóëåâûå ÷èñëà îäèíàêîâîãî çíàêà.

Óáåðåì øòðèõè è ðàññìîòðèì íîâóþñèñòåìó â êà÷åñòâå èñõîäíîé.Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî 0 < λ1 ≤ λ2 (åñëè îáà ÷èñëà îòðèöàòåëüíû, òî ìîæíî ïîìåíÿòü çíàê â îáåèõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ; åñëè λ1 > λ2 , òî ìîæíîÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ127ïîìåíÿòü èõ ìåñòàìè ñ ïîìîùüþ ïîâîðîòà íà óãîë π/2). Åñëè ïðè ýòîì c > 0, òî èçó÷àåìîå ìíîæåñòâî ïóñòî. Åñëèp c = 0, â íåìpòîëüêî îäíà òî÷êà (0, 0).

Ïðåäïîëîæèì, ÷òîc < 0. Òîãäà, ïîëîæèâ a = −c/λ1 , b = −c/λ2 , óðàâíåíèå (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåy2x2+= 1,a2b2(10 )a ≥ b > 0.Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (10 ), íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîì ñ ïîëóîñÿìè a è b.√Òî÷êè F− = (−c, 0) è F+ = (c, 0), ãäå c = a2 − b2 ≥ 0, íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî,îòðèöàòåëüíûì è ïîëîæèòåëüíûì ôîêóñàìè ýëëèïñà.

×èñëî e = c/a íàçûâàåòñÿ ýêñöåíòðèñèòåòîì ýëëèïñà. Çàìåòèì, ÷òî 0 ≤ e < 1. Ïðÿìûå l− : x = −a/e è l+ : x = a/eíàçûâàþòñÿ, ñîòâåòñòâåííî, îòðèöàòåëüíîé è ïîëîæèòåëüíîé äèðåêòðèñàìè ýëëèïñà.Ïóñòü òî÷êà M = (x, y) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (10 ). Íàéäåì ñóììó ðàññòîÿíèéîò íåå äî ôîêóñîâ:pp|M F− | + |M F+ | =(x + c)2 + y 2 +(x − c)2 + y 2pp=x2 (1 − b2 /a2 ) + 2xc + b2 + c2 +x2 (1 − b2 /a2 ) − 2xc + b2 + c2 .Çàìåòèì, ÷òî 1 − b2 /a2 = e2 è b2 + c2 = (c/e)2 = a2 . Êðîìå òîãî, |ex| ≤ a. Ïîýòîìópp|M F− | + |M F+ | =(ex)2 + 2(ex)(c/e) + (c/e)2 +(ex)2 − 2(ex)(c/e) + (c/e)2= |a + ex| + |a − ex| = (a + ex) + (a − ex) = 2a.Òàêèì îáðàçîì, ñóììà ðàññòîÿíèé îò ëþáîé òî÷êè ýëëèïñà (10 ) äî åãî ôîêóñîâ ïîñòîÿííà è ðàâíà 2a.Îïðåäåëåíèå 2.

Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ñóììàðàññòîÿíèé äî çàäàííûõ òî÷åê ïîñòîÿííà, íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîì.Ìû óæå âûÿñíèëè, ÷òî âñå òî÷êè ýëëèïñà êàê ìíîæåñòâà èç îïðåäåëåíèÿ 1 ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó èç îïðåäåëåíèÿ 2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ýëëèïñ êàê ìíîæåñòâî, äàííîåîïðåäåëåíèåì 2. Âûáåðåì äåêàðòîâó ñèñòåìó, â êîòîðîé çàäàííûå òî÷êè F− è F+ ïîëó÷àþò êîîðäèíàòû (−c, 0) è (c, 0).

Ïîñòîÿííóþ ñóììó ðàññòîÿíèé áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîé2a. Òîãäàp(x −c)2+y222pp22= 2a − (x + c) + y⇒ a (x + c)2 + y 2 = a2 + xc.Åùå îäíî âîçâåäåíèå â êâàäðàò äàåò b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2îïðåäåëåíèÿ 1 è 2 ýêâèâàëåíòíû.⇒(10 ). Ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àå e = 0 ýëëèïñ åñòü îêðóæíîñòü ðàäèóñà a = b. Ïóñòü e > 0. Âûøå ìûïîëó÷èëè ðàâåíñòâà|M F− | = |a + ex| = e|x + (a/e|⇒|M F− |= e,|x + (a/e)||M F+ | = |a − ex| = e|x − (a/e)|⇒|M F+ |= e.|x − (a/e)|128Ëåêöèÿ 19Âîçâîäÿ êàæäîå èç ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ â êâàäðàò, ïîëó÷àåì (10 ).

Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâî òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ îòíî-øåíèå ðàññòîÿíèé äî çàäàííîé òî÷êè è çàäàííîé ïðÿìîé ïîñòîÿííî è ðàâíî 0 < e < 1,ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì.ßñíî, ÷òî äëÿ âûáîðà òî÷êè (ôîêóñà) è ñîîòâåòñòâóþùåé ïðÿìîé (äèðåêòðèñû),îïðåäåëÿþùèõ îäèí è òîò æå ýëëèïñ, èìåþòñÿ â òî÷íîñòè äâå âîçìîæíîñòè.Çàäà÷à.y 2 /b2 = 1Íàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êóM (x0 , y0 )x2 /a2 +êàñàòåëüíîé êýëëèïñàè èìåþùåé ñ íèì åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿM ). Äîêàçàòü, ÷òî ïðÿìàÿ, îðòîãîíàëüíàÿ ê äàííîé ïðÿìîé è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êóáèññåêòðèñîé óãëà AM B , ãäå A è B ôîêóñû ýëëèïñà.ýëëèïñó â òî÷êåM,ÿâëÿåòñÿÇàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèåîêðóæíîñòè ðàäèóñàÇàäà÷à.íèår>1z 7→ 21 (z + z −1 ) êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè 3ïåðåâîäèò òî÷êèñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò â òî÷êè íåêîòîðîãî ýëëèïñà.Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè ýëëèïñàx2 /a2 + y 2 /b2 = 1äîïóñêàþò ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðåäñòàâëå-x = a cos φ, y = b sin φ, 0 ≤ φ < 2π .Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ êàñà-òåëüíûõ ê ýëëèïñó19.6x2 /a2 + y 2 /b2 = 1åñòü îêðóæíîñòüx2 + y 2 = a2 + b2 .ÃèïåðáîëàÏî-ïðåæíåìó, ïóñòü â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïîëó÷àåòâèä (1), íî λ1 è λ2 èìåþò ðàçíûå çíàêè.

Åñëè ïðè ýòîì ñâîáîäíûé ÷ëåí îêàçàëñÿ ðàâåííóëþ, òî ïîëó÷àåì ïàðó ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïðåäïîëîæèì,÷òî ñâîáîäíûé ÷ëåí îòëè÷åí îò íóëÿ. ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòüâ âèäåx2y2−= 1,(100 )a2b2ãäå a, b íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà (âîçìîæíî, äëÿ òîãî ïîòðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíî ïîâåðíóòü ñèñòåìó êîîðäèíàò íà óãîë π/2).Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (100 ), íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëîé ñ ïîëóîñÿìè a è b.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òî÷êè (x, y) ãèïåðáîëû (100 ) íàõîäÿòñÿ â îáúåäèíåíèè äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ îáëàñòåé ïëîñêîñòè (êàê ãîâîðÿò, ðàñïàäàþòñÿ íà äâå âåòâè)D+ = {(x, y) : x ≥ a,|y| ≤ (b/a)|x|},D− = {(x, y) : x ≤ −a,|y| ≤ (b/a)|x|}.Ïðÿìûå h+ : y = (b/a)x è h− : y = −(b/a)x íàçûâàþòñÿ àñèìïòîòàìè ãèïåðáîëû.Ïóñòü x > 0 è y = y(x) åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿ y òàêîå, ÷òî y > 0 è òî÷êà (x, y)óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (100 ). Î÷åâèäíî, ðàññòîÿíèå îò òî÷êè (x, y((x)) äî àñèìïòîòûh+ íå ïðåâûøàåò|(b/a)x − y(x)| =3 Ôóíêöèÿb2→ 0 ïðè x → +∞.|(b/a)x + y(x)|1−1) íàçûâàåòñÿ2 (z + zçàäà÷ ãèäðî- è àýðîäèíàìèêè.z 7→ôóíêöèåé Æóêîâñêîãîè øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðåøåíèèÅ.

Å. Òûðòûøíèêîâ129Ïðè x > 0 è y < 0 ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè (x, y(x)) ãèïåðáîëû ïðèáëèæàþòñÿ ê àñèìïòîòå h− . Àíàëîãè÷íûå íàáëþäåíèÿ ñïðàâåäëèâû òàêæå äëÿ òî÷åê ãèïåðáîëû ïðè x < 0.√Òî÷êè F− = (−c, 0) è F+ = (c, 0), ãäå c = a2 + b2 > 0, íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îòðèöàòåëüíûì è ïîëîæèòåëüíûì ôîêóñàìè ãèïåðáîëû. ×èñëî e = c/a íàçûâàåòñÿ ýêñöåíòðèñèòåòîì ãèïåðáîëû. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ãèïåðáîëû e > 1. Ïðÿìûål−1 : x = −a/e è l+ : x = a/e íàçûâàþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îòðèöàòåëüíîé è ïîëîæèòåëüíîé äèðåêòðèñàìè ãèïåðáîëû.Íàéäåì ðàññòîÿíèÿ îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M = (x, y), óäîâëåòâîðÿþùåé (100 ), äîôîêóñîâ (âûêëàäêè ïðîâîäÿòñÿ â ïîëíîé àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì ýëëèïñà):p|M F− | = (x + c)2 + y 2 = |a + ex|,(A)p|M F+ | = (x − c)2 + y 2 = |a − ex|.(B)Ïîñêîëüêó |x| ≥ a è e > 1, ïîëó÷àåì(ex + a) − (ex − a) =2a, x > 0,|a + ex| − |a − ex| =−(ex + a) + (ex − a) = −2a, x < 0.Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò ëþáîé òî÷êè ãèïåðáîëû (100 ) äî åå ôîêóñîâ ïîñòîÿííà è ðàâíà 2a.Îïðåäåëåíèå 2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,77 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6361
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее