Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 27
Текст из файла (страница 27)
. . + an−1 xn−1 + xn = (x − x1 ) . . . (x − xn ).Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ïðàâîé ÷àñòè è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x, ïîëó÷àåì ôîðìóëû Âèåòà:an−1 =an−2 =an−3 =... ...an−k =−(x1 + x2 + . . . + xn ),(x1 x2 + x1 x3 + . . . + xn−1 xn ),−(x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . . . + xn−2 xn−1 xn ),...P(−1)kxi1 . . . xik ,1≤i1 < ... < ik ≤n...a0... ...= (−1)n x1 . . . xn .Âûðàæåíèÿ âèäàσk = σk (x1 , .
. . , xn ) =Xxi1 . . . xik ,k = 1, . . . , n,(∗)1≤i1 < ... < ik ≤níàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ñèììåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè îò x1 , . . . , xn . Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (x) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò åãî êîðíåé x1 , . . . , xn :an−k = (−1)k σk ,18.2k = 1, . . .
, n.Ìíîãî÷ëåíû îò n ïåðåìåííûõÔîðìàëüíîå âûðàæåíèå xα1 1 . . . xαnn , ãäå α1 , . . . , αn íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ñòåïåíè,íàçûâàåòñÿ îäíî÷ëåíîì ñòåïåíè α1 + . . . + αn îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn . Ðàâåíñòâîαi = 0 äîïóñêàåòñÿ (â ýòîì ñëó÷àå îäíî÷ëåí íå ñîäåðæèò xi ).Ìíîãî÷ëåíîì îò ïåðåìåííûõ x1 , . .
. , xn íàä ïîëåì P íàçûâàåòñÿ ôîðìàëüíàÿ ñóììàîäíî÷ëåíîâ îò x1 , . . . , xn ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ P . Ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà íàçûâàåòñÿ íàèâûñøàÿ ñòåïåíü âõîäÿùèõ â íåãî îäíî÷ëåíîâ ñ íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè.Íàïðèìåð, ìíîãî÷ëåíf (x1 , x2 , x3 ) = x31 x22 x3 + x21 x32 x3 + x1 x2 x43 + x1 x2 + x3119120Ëåêöèÿ 18èìååò ñòåïåíü 6.
Êàê âèäèì, â ñîñòàâ f (x1 , x2 , x3 ) âõîäÿò 3 îäíî÷ëåíà íàèâûñøåé ñòåïåíè.Ïîëàãàåì xα1 1 . . . xαnn = xβ1 1 . . . xβnn , åñëè αi = βi äëÿ âñåõ i. Îäèí è òîò æå ìíîãî÷ëåí äîïóñêàåò ìíîãî ôîðìàëüíî ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé â âèäå ñóììû îäíî÷ëåíîâ ñêîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ P . Îäíàêî ìû âñåãäà ìîæåì ïåðåéòè ê ñòàíäàðòíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, â êîòîðîì êàæäûé îäíî÷ëåí âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç ïðîöåäóðàïåðåõîäà íàçûâàòñÿ ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ è çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå âñåõ îäèíàêîâûõ îäíî÷ëåíîâ ñ êàêèìè-òî êîýôôèöèåíòàìè îäíèì îäíî÷ëåíîì ñ êîýôôèöèåíòîì,ðàâíûì ñóììå ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ, à çàòåì èñêëþ÷åíèè èç ñóììû âñåõ îäíî÷ëåíîâ ñíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ìíîãî÷ëåíû f è g íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè èìåþòðàâíûå êîýôôèöèåíòû äëÿ ðàâíûõ îäíî÷ëåíîâ â ñâîèõ ñòàíäàðòíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ.Ñóììîé ìíîãî÷ëåíîâ f +g íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí ñ êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè ñóììåêîýôôèöèåíòîâ äëÿîäíî÷ëåíîâ,âõîäÿùèõ â f è g .
ÏðîèçâåäåíèåìP ñîîòâåòñòâóþùèõPα1αnìíîãî÷ëåíîâ f =aα1 ,...,αn x1 . . . xn è g = bβ1 ,...,βn xβ1 1 . . . xβnn íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíf g , ñîñòîÿùèé èç âñåõ ÷ëåíîâ âèäà(aα1 ,...,αn bβ1 ,...,βn ) xα1 1 +β1 ... xαnn +βn .Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ âûïîëíÿåòñÿ ïî ïðèâû÷íûì ïðàâèëàì ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ.Ìíîæåñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ îò x1 , .
. . , xn íàä ïîëåì P îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçP [x1 , . . . , xn ]. Îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ îíî ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé è áåç äåëèòåëåé íóëÿ.18.3Ëåêñèêîãðàôè÷åñêîå óïîðÿäî÷åíèåÏðè èçó÷åíèè ìíîãî÷ëåíîâ îò x1 , . . . , xn ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ëåêñèêîãðàôè÷åñêîå (ñëîâàðíîå) óïîðÿäî÷åíèå âõîäÿùèõ â íèõ îäíî÷ëåíîâ:xα1 1 .
. . xαnnñòàðøå (âûøå)xβ1 1 . . . xβnn ,åñëè äëÿ íåêîòîðîãî 1 ≤ k ≤ n âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿα1 = β1 , . . . , αk−1 = βk−1 ,αk > βk . äàëüíåéøåì ïîä ñòàðøèì ÷ëåíîì ìíîãî÷ëåíà áóäåò ïîíèìàòüñÿ âçÿòûé ñ ñîîòâåòñòâóþùèì íåíóëåâûì êîýôôèöèåíòîì îäíî÷ëåí, ÿâëÿþùèéñÿ íàèâûñøèì ïðè ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì óïîðÿäî÷åíèè îäíî÷ëåíîâ ñòàíäàðòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äàííîãî ìíîãî÷ëåíà. Î÷åâèäíî, ñòàðøèé ÷ëåí îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî.Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñòàðøèé ÷ëåí ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èõ ñòàðøèõ ÷ëåíîâ.18.4Ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíûÌíîãî÷ëåí f (x1 , . . .
, xn ) íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè σñòåïåíè nf (x1 , . . . , xn ) = f (xσ(1) , . . . , xσ(n) ).Å. Å. Òûðòûøíèêîâ121Âàæíûìè ïðèìåðàìè ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû σk , ïðèñóòñòâóþùèå â ôîðìóëàõ Âèåòà.Òåîðåìà î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ. Äëÿ ëþáîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî-÷ëåíà f (x1 , . . . , xn ) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåí ìíîãî÷ëåí g îò n ïåðåìåííûõ òàêîé,÷òîf (x1 , .
. . , xn ) = g(σ1 , . . . , σn ),ãäå σk = σk (x1 , . . . , xn ) ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû âèäà (∗).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü a xα1 1 . . . xαnn ñòàðøèé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà f (x1 , . . . , xn ).Òîãäà â ñëó÷àå ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà îáÿçàòåëüíî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàα1 ≥ . . . ≥ αn . Åñëè áû ýòî áûëî íå òàê, òî äàííûé ÷ëåí íå áûë áû ñòàðøèì: â ñèììåòðè÷åñêîì ìíîãî÷ëåíå âìåñòå ñ îäíî÷ëåíîì xα1 1 . . . xαnn äîëæíû ïðèñóòñòâîâàòü âñå1nîäíî÷ëåíû âèäà xασ(1).
. . xασ(n)äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè σ .Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíαn−1φ(σ1 , . . . , σn ) = a σ1α1 −α2 . . . σn−1−αnσnαn .(1)Åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òàêæå êàê ìíîãî÷ëåí îò x1 , . . . , xn , äëÿ êîòîðîãî ñòàðøèé÷ëåí áóäåò, î÷åâèäíî, ðàâåía xα1 1 −α2 (x1 x2 )α2 −α3 . . . (x1 .
. . xn−1 )αn−1 −αn (x1 . . . xn−1 xn )αn = a xα1 1 . . . xαnn .(2)Ïîýòîìó ñòàðøèé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíàf1 (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) − φ(σ1 , . . . , σn )áóäåò ìëàäøå ñòàðøåãî ÷ëåíà äëÿ f (x1 , . . . , xn ). Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îò f1 ìîæíîïåðåéòè ê ìíîãî÷ëåíó f2 ñ ìåíüøèì ñòàðøèì ÷ëåíîì, è òàê äàëåå.  ñèëó êîíå÷íîñòèîáùåãî ÷èñëà ÷ëåíîâ äàííàÿ ïðîöåäóðà äîëæíà íà êàêîì-òî øàãå äàòü íóëåâîé ìíîãî÷ëåí.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åäèíñòâåííîñòè ìíîãî÷ëåíà g äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî åñëèg(σ1 , . . . , σn ) 6= 0, òî è f (x1 , . . . , xn ) 6= 0.
Äðóãèìè ñëîâàìè, íóæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîñëåçàìåíû σk íà ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîãî÷ëåíû îò x1 , . . . , xn è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâîñòàíåòñÿ õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé ÷ëåí. Ëþáîé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà g ìîæíî çàïèñàòü ââèäå (1) ñ ïîêàçàòåëÿìè α1 ≥ . . . ≥ αn . Êàê ìíîãî÷ëåí îò x1 , . . . , xn , ìíîãî÷ëåí φèìååò ñâîèì ñòàðøèì ÷ëåíîì (2). Ñòàðøèì ÷ëåíîì äëÿ g êàê ìíîãî÷ëåíà îò x1 , . . . , xnáóäåò íàèâûñøèé èç ÷ëåíîâ òàêîãî âèäà.
Îí îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî è ïîýòîìó íå ìîæåòñîêðàòèòüñÿ ïðè ïðèâåäåíèè ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ. 2Ñëåäñòâèå. Çíà÷åíèå ëþáîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà φ(x1 , . . . , xn ) ïðè çàìåíåïåðåìåííûõ íà êîðíè ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + xn íàä ïîëåì Pÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ïîëÿ P .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì îò ýëåìåíòàð-íûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Åñëè ñ÷èòàòü ïåðåìåííûå êîðíÿìè äëÿ f (x), òî,â ñèëó ôîðìóë Âèåòà, φ áóäåò ìíîãî÷ëåíîì íàä òåì æå ïîëåì P îò êîýôôèöèåíòîâa0 , .
. . , an−1 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîëÿ P . 2Çàäà÷à.Ïóñòüz1 , ..., zn âñå êîðíè (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé) ìíîãî÷ëåíàêîýôôèöèåíòàìè. Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèåD=Q(zi − zj )f (x)ñ ðàöèîíàëüíûìèÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì.i6=jÇàäà÷à.Ïóñòüz1 , . . . , z nn-é ñòåïåíè èç åäèíèöû, à f (x1 , . . .
, xn ) ñèììåòðè÷åñêèéÄîêàçàòü, ÷òî çíà÷åíèå f ïðè xi = zi ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì. âñå êîðíèìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.12218.5Ëåêöèÿ 18Íüþòîíîâû ñóììûÏóñòü çàäàí ìíîãî÷ëåí f (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + xn , è ïóñòü x1 , . . . , xn âñååãî êîðíè ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé. Âûðàæåíèÿsk = xk1 + xk2 + . . . + xkn ,k = 1, 2, .
. . ,íàçûâàþòñÿ íüþòîíîâûìè ñóììàìè äëÿ f (x).ßñíî, ÷òî sk ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îò êîðíåé x1 , . . . , xn . Ïîýòîìó sk åñòüçíà÷åíèå ìíîãî÷ëåíà îò ýëåìåíòàðíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ è, ñëåäîâàòåëüíî,îò êîýôôèöèåíòîâ a0 , . . . , an−1 .
Òàêèì îáðàçîì, íüþòîíîâû ñóììû êîíñòðóêòèâíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà f (x) èõ ìîæíî íàéòè, íå çíàÿ êîðíè.Íà âû÷èñëåíèè íüþòîíîâûõ ñóìì ëåãêî ïîñòðîèòü òàêæå íåêîòîðûé ìåòîä ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà f (x). 1 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî|x1 | > |x2 | ≥ . . . ≥ |xn |.Òîãäà k+1x2x1xnx1k+11++ ...
+sk+1= x1 k ksk1 + xx21 + . . . + xxn1Çàäà÷à.z1 , ..., zn .Äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåíÂû÷èñëèòü íüþòîíîâó ñóììóÇàäà÷à.→ x1f (x) = 1 + x + ... + xn èìååò nsk = z1k + ... + znk ïðè k = 7.ïðèk → ∞.ðàçëè÷íûõ êîìïëåêñíûõ êîðíåéÍàéòè ìíîãî÷ëåí 3-é ñòåïåíè, êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòû êîðíåé ìíîãî÷ëåíà3z − 2z − 5.1 Íà ïðàêòèêå äëÿ ýòîé öåëè âñå æå èñïîëüçóþòñÿ äðóãèå ìåòîäû ñ áîëåå áûñòðîé ñõîäèìîñòüþ.Ëåêöèÿ 1919.1Àëãåáðàè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿÏóñòü f (x1 , . .
. , xn ) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè k îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn . ÌíîæåñòâîM = {x = [x1 , . . . , xn ]> : f (x1 , . . . , xn ) = 0}íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì ìíîãîîáðàçèåì 1 ïîðÿäêà k . Î÷åâèäíî, ýòî ïîíÿòèå îáîáùàåò ïîíÿòèå ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. îáùåì ñëó÷àå ñòðîåíèå ìíîæåñòâà M âåñüìà ñëîæíî. Îäíàêî, ïðè åãî èçó÷åíèè÷àñòî ïîìîãàåò î÷åíü ïðîñòàÿ èäåÿ äàâàéòå ïîïûòàåìñÿ óïðîñòèòü âèä óðàâíåíèÿf = 0 ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ x = P y , ãäå P íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Çàìåíà ïåðåìåííûõ ñâÿçàíà ñ ïåðåõîäîì ê äðóãîìó áàçèñó â òîì æå n-ìåðíîìïðîñòðàíñòâå.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü P ïðîèçâîëüíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèö ïîðÿäêà n èg(y1 , .
. . , yn ) = f (x1 , . . . , xn ), ãäå [x1 , . . . , xn ]> = P [y1 , . . . , yn ]> . Òîãäà ñòåïåíüìíîãî÷ëåíà g ðàâíà ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà f .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P = [pij ]. Òîãäàxk11 . . . xknn =nX!k1p1j yjj=1...nX!knpnj yj.j=1Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ñòåïåíü g íå âûøå ñòåïåíè f . Ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ çàìåíû y = P −1 x. 219.2Êâàäðàòè÷íûå ìíîãî÷ëåíû îò äâóõ ïåðåìåííûõÐàññìîòðèì êâàäðàòè÷íûé ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìèf (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33êàê ôóíêöèþ îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò x, y íà ïëîñêîñòè è èññëåäóåì ñòðîåíèå ìíîæåñòâà òî÷åê (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ f (x, y) = 0.Ìíîãî÷ëåí f (x, y) èìååò òðè òèïà ñëàãàåìûõ:f (x, y) = f2 (x, y) + f1 (x, y) + f0 ,1 Ïîäðîáíûì èçó÷åíèåì àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé çàíèìàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ.123124Ëåêöèÿ 19f2 (x, y) = a11 x2 +2a12 xy+a22 y 2 êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü, f1 (x, y) = a13 x+a23 y ëèíåéíàÿ÷àñòü, f0 = a33 ñâîáîäíûé ÷ëåí.
Êâàäðàòè÷íàÿ è ëèíåéíàÿ ÷àñòè çàïèñûâàþòñÿ ñïîìîùüþ ìàòðè÷íûõ îïåðàöèé òàêèì îáðàçîì: a11 a12 xxf2 (x, y) = x y, f1 (x, y) = 2 a13 a23.a12 a22yyÊðîìå òîãî, ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî aaax111213a12 a22 a23y .f (x, y) = x y 1a13 a23 a331Ïîïðîáóåì íàéòè òàêóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó, â êîòîðîé óðàâíåíèå f (x, y) = 0 ïîëó÷èòáîëåå ïðîñòîé âèä. Ìíîæåñòâî åãî ðåøåíèé ïðèíÿòî íàçûâàòü ëèíèåé (êðèâîé) âòîðîãîïîðÿäêà.19.3Ïîâîðîò äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàòÈñõîäíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ïîâåðíåì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè íà óãîë φ.Òîãäà áàçèñíûå âåêòîðû e1 , e2 ïåðåéäóò â íîâûå áàçèñíûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâåííî,ee1 = cos φ e1 + sin φ e2 ,ee1 = − sin φ e1 + cos φ e2 .Ñòàðûå êîîðäèíàòû x, y áóäóò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç íîâûå êîîðäèíàòû xe, ye ñëåäóþùèìîáðàçîì: xcos φ − sin φxe= xeee1 + ye ee2 =.ysin φcos φyeËåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî−1 cos φ − sin φcos φ sin φ=sin φcos φ− sin φ cos φ⇒xeye=cos φ sin φ− sin φ cos φxy. íîâûõ êîîðäèíàòàõ êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü f2 (x, y) ïðèíèìàåò âèä cos φ sin φa11 a12cos φ − sin φxee yef2 = x.− sin φ cos φa12 a22sin φcos φyee = Q> AQ, ïðè÷åì A ñèìÌàòðèöà â ñêîáêàõ åñòü ïðîèçâåäåíèå òðåõ ìàòðèö âèäà Aìåòðè÷íàÿ ìàòðèöà: A> = A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
