Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 23
Текст из файла (страница 23)
. . } íàòóðàëüíûå ÷èñëà;1Z = {0, ±1, ±2, . . . } öåëûå ÷èñëà,Q = {p/q, p ∈ Z, q ∈ N} ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà,R âåùåñòâåííûå ÷èñëà,C êîìïëåêñíûå ÷èñëà.Ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë Z ïîñëóæèëî ïðîòîòèïîì äëÿ ââåäåíèÿ ïîíÿòèÿ êîëüöà, à ìíîæåñòâà Q, R, C äëÿ ïîíÿòèÿ ïîëÿ.Ïóñòü íà íåïóñòîì ìíîæåñòâå K äåéñòâóþò äâå àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè: ñëîæåíèå(îáîçíà÷àåìîå çíàêîì +) è óìíîæåíèå (îáîçíà÷àåìîå òî÷êîé èëè ïóñòûì ìåñòîì), èïóñòü ýòè îïåðàöèè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:• ìíîæåñòâî K îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé;• âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû äèñòðèáóòèâíîñòè:a(b + c) = ab + ac,(b + c)a = ba + ca∀ a, b, c ∈ K;• îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ àññîöèàòèâíà. òàêèõ ñëó÷àÿõ ìíîæåñòâî K íàçûâàåòñÿ (àññîöèàòèâíûì) êîëüöîì.
( íåêîòîðûõêíèãàõ ïî àëãåáðå â îïðåäåëåíèå êîëüöà àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ íå âêëþ÷àåòñÿ.)Åäèíè÷íûé ýëåìåíò îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ â êîëüöå íàçûâàåòñÿ íóëåâûìè îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì 0. Ýëåìåíò, îáðàòíûé îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ ê ýëåìåíòó a,íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ê a è îáîçíà÷àåòñÿ −a.Óòâåðæäåíèå 1. 0 · a = a · 0 = 0∀ a ∈ K.1 Ïî ñëîâàì Êðîíåêåðà, Áîã ñîçäàë íàòóðàëüíûå ÷èñëà, âñå îñòàëüíîå ïðèäóìàë ÷åëîâåê.99100Ëåêöèÿ 15Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü b = −(0 · a) (ýëåìåíò, ïðîòèâîïîëîæíûé ê 0 · a).  ñèëóäèñòðèáóòèâíîñòè, 0 · a = (0 + 0) · a = (0 · a) + (0 · a). Ïðèáàâèì b ê îáåèì ÷àñòÿì:0 = b + (0 · a) = (b + 0 · a) + (0 · a) = 0 + (0 · a) = 0 · a. 2Åñëè óìíîæåíèå êîììóòàòèâíî, òî K íàçûâàåòñÿ êîììóòàòèâíûì êîëüöîì. Åñëèñóùåñòâóåò åäèíè÷íûé ýëåìåíò îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ, òî êîëüöî íàçûâàåòñÿ êîëüöîì ñ åäèíèöåé.Ïóñòü P êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé, äëÿ êîòîðîãî ìíîæåñòâî P \{0} îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìíîæåñòâîP íàçûâàåòñÿ ïîëåì.Ãðóïïà P \{0} ïî óìíîæåíèþ íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé ïîëÿ P .Åäèíè÷íûé ýëåìåíò êîëüöà ñ åäèíèöåé èëè ïîëÿ îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿîáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî ñèìâîëîì 1.Óòâåðæäåíèå 2.
Åñëè K êîëüöî ñ åäèíèöåé, òî (−1) · a = a · (−1) = −aÄîêàçàòåëüñòâî. 0 = (1 + (−1)) · a = 1 · a + (−1) · a = a + (−1) · a. 2Çàäà÷à.e − ab15.2Ïóñòüaèbe. Äîêàæèòå,e − ba. ýëåìåíòû êîëüöà ñ åäèíèöåéâ äàííîì êîëüöå âûòåêàåò îáðàòèìîñòü ýëåìåíòà∀ a ∈ K.÷òî èç îáðàòèìîñòè ýëåìåíòàÄåëèòåëè íóëÿ íåêîòîðûõ êîëüöàõ ñóùåñòâóþò íåíóëåâûå ýëåìåíòû a, b òàêèå, ÷òî ab = 0. Òàêèåýëåìåíòû a, b íàçûâàþòñÿ äåëèòåëÿìè íóëÿ.Óòâåðæäåíèå 3.
 ïîëå íå ìîæåò áûòü äåëèòåëåé íóëÿ: ab = 0 ⇒ a = 0 èëè b = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ab = 0. Åñëè a = 0, òî óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïðåäïîëîæèì,÷òî a 6= 0. Òîãäà äëÿ a ñóùåñòâóåò îáðàòíûé ýëåìåíò a−1 (a−1 a = aa−1 = 1).  ñèëóóòâåðæäåíèÿ 1 è àññîöèàòèâíîñòè óìíîæåíèÿ, 0 = a−1 · 0 = a−1 (ab) = (a−1 a) b = 1 · b = b.2ÏÐÈÌÅÐÛ:(1) K ìíîæåñòâî ÷åòíûõ öåëûõ ÷èñåë. Îïåðàöèè ñëîæåíèå è óìíîæåíèå öåëûõ÷èñåë. Ýòî êîììóòàòèâíîå êîëüöî áåç åäèíèöû. Êîëüöî íå èìååò äåëèòåëåé íóëÿ.(2) K = Rn×n (ìíîæåñòâî âñåõ n × n-ìàòðèö).
Îïåðàöèè ñëîæåíèå è óìíîæåíèåìàòðèö. Ýòî íåêîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé. Êîëüöî èìååò äåëèòåëè íóëÿ.Íàïðèìåð, â ñëó÷àå n = 2 íàõîäèì1 111= 0.1 1−1 −1√(3) K ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë âèäà a + b 2, ãäå a, b ∈ Q. Îïåðàöèè ñëîæåíèå èóìíîæåíèå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. ßñíî, ÷òî ñóììà ÷èñåë òàêîãî âèäà è èõ ïðîèçâåäåíèÿ áóäóò ÷èñëàìè òàêîãî æå√ âèäà. Ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òî K êîììóòàòèâíîåêîëüöî ñ åäèíèöåé 1 = 1 + 0 · 2. äàííîì ñëó÷àå K ÿâëÿåòñÿ ïîëåì: ìíîæåñòâî K\{0} îòíîñèòåëüíî îïåðàöèèóìíîæåíèÿ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé (ñì.
ïðèìåð àáåëåâîé ãðóïïû èçËåêöèè 2).Å. Å. Òûðòûøíèêîâ15.3101Êîëüöî âû÷åòîâÍàïîìíèì, ÷òî âû÷åòû ïî ìîäóëþ p ýòî ñïåöèàëüíûå ïîäìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë,èìåþùèõ îäèí è òîò æå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà p (ñì. ðàçäåë 9.3).Çàôèêñèðóåì öåëîå ÷èñëî p > 1. Äëÿ ëþáîãî a ∈ Z îáîçíà÷èì ÷åðåç Z(a) ìíîæåñòâîâñåõ öåëûõ ÷èñåë, èìåþùèõ ïðè äåëåíèè íà p òàêîé æå îñòàòîê, êàê è ÷èñëî a (ñðàâíèìûõ ñ a ïî ìîäóëþ p). Ìíîæåñòâà Z(a) è íàçûâàþòñÿ âû÷åòàìè ïî ìîäóëþ p.Ìíîæåñòâî âñåõ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p îáîçíà÷àåòñÿ Zp .
Âñåãî èìååòñÿ ðîâíî p ðàçëè÷íûõ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p:Zp = {Z(0), Z(1), . . . , Z(p − 1)}.Îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âû÷åòîâ:Z(a) + Z(b) = Z(a + b),Z(a)Z(b) = Z(ab).Äàííûå îïðåäåëåíèÿ êîððåêòíû â ñèëó ñëåäóþùåãî ýëåìåíòàðíîãî íàáëþäåíèÿ:Z(c + d) = Z(a + b),Z(cd) = Z(ab)∀ c ∈ Z(a), ∀ d ∈ Z(b).Ñòîëü æå ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿìíîæåñòâî âû÷åòîâ Zp ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíûì êîëüöîì ñ åäèíèöåé.Òåîðåìà.
 ñëó÷àå ïðîñòîãî p è òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå êîëüöî âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ pÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì ⇒ p = ab ïðè 1 < a, b < p⇒ Z(a) Z(b) = Z(ab) = Z(p) = Z(0) = 0. Çíà÷èò, Zp èìååò äåëèòåëè íóëÿ, è ñîãëàñíîóòâåðæäåíèþ 3, Zp íå ìîæåò áûòü ïîëåì ïðè ñîñòàâíîì p.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî p ïðîñòîå ÷èñëî. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî âû÷åòà Z(a)ïðè 1 ≤ a ≤ p − 1 ñóùåñòâóåò âû÷åò Z(b) òàêîé, ÷òî Z(a)Z(b) = Z(1) = 1.
Äëÿ ýòîãîðàññìîòðèì ÷èñëà âèäà ka è èõ îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà p:1 · a = pq1 + r1 ,2 · a = pq2 + r2 ,q1 , r1 , . . . , qp−1 , rp−1 ∈ Z,... ,(p − 1) · a = pqp−1 + rp−1 ,(1)0 ≤ r1 , . . . , rp−1 ≤ p − 1.Íè îäèí èç îñòàòêîâ r1 , . . . , rp−1 íå ðàâåí íóëþ, èíà÷å a äåëèëîñü áû íà p. Êðîìå òîãî,ñðåäè íèõ íåò ñîâïàäàþùèõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî rk = rm . Òîãäà (k − m)a = p(q k − qm ).Ïîñêîëüêó a è p âçàèìíî ïðîñòûå, k − m äåëèòñÿ íà p.Îäíàêî, ïðè k, m = 1, 2, .
. . , p − 1 î÷åâèäíî, ÷òî |k − m| < p ⇒ k − m = 0. Òàêèìîáðàçîì,{r1 , r2 , . . . , rp−1 } = {1, 2, . . . , p − 1}.Çíà÷èò, ïðè íåêîòîðîì k íåïðåìåííî rk = 1(2)⇒ Z(a) Z(rk ) = Z(1) = 1. 2Çàìå÷àíèå.  ïðîâåäåííûõ ðàññóæäåíèÿõ ôàêòè÷åñêè ñîäåðæèòñÿ äîêàçàòåëüñòâîìàëîé òåîðåìû Ôåðìà: åñëè p ïðîñòîå ÷èñëî è a âçàèìíî ïðîñòî ñ p, òî ÷èñëîap−1 −1 äåëèòñÿ íà p.  ñàìîì äåëå, ïåðåìíîæàÿ ðàâåíñòâà (1) è ó÷èòûâàÿ (2), ïîëó÷àåì,102Ëåêöèÿ 15÷òî (p − 1)! (ap−1 − 1) äåëèòñÿ íà p. Ïîñêîëüêó (p − 1)! è p âçàèìíî ïðîñòû, íà p îáÿçàíîäåëèòüñÿ ÷èñëî ap−1 − 1.Êàê âèäèì, êîëüöà Zp äàþò ïðèìåðû êîíå÷íûõ êîëåö, à ïðè ïðîñòîì p òàêæåïðèìåðû êîíå÷íûõ ïîëåé (òî åñòü, êîëåö è ïîëåé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ýëåìåíòîâ).Êîíå÷íûå ïîëÿ èãðàþò âàæíóþ ðîëü â ïðèêëàäíûõ âîïðîñàõ ìàòåìàòèêè íàïðèìåð, â òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, îáíàðóæåíèÿ è èñïðàâëåíèÿ îøèáîê ïðè ïåðåäà÷å èíôîðìàöèè ïî êàíàëàì ñâÿçè.Çàäà÷à.15.4Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî áåç äåëèòåëåé íóëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Âëîæåíèÿ è èçîìîðôèçìûÏóñòü M íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî â K .
Åñëè K êîëüöî, òî M íàçûâàåòñÿ åãî ïîäêîëüöîì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé, äåéñòâóþùèõ â K . ÅñëèK ïîëå, òî M íàçûâàåòñÿ åãî ïîäïîëåì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ïîëåì îòíîñèòåëüíî òåõæå îïåðàöèé, êîòîðûå äåéñòâóþò â K .  òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî M âëîæåíî â K ,èëè K ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì êîëüöà (ïîëÿ) M . ðàçëè÷íûõ ïîñòðîåíèÿõ ìîãóò âîçíèêàòü êîëüöà èëè ïîëÿ, íåðàçëè÷èìûå ñ òî÷êèçðåíèÿ ñâîéñòâ äåéñòâóþùèõ â íèõ îïåðàöèé. Îäèíàêîâîñòü ñâîéñòâ îïåðàöèé â L è Mîçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ Φ : L → M , ñîõðàíÿþùåãîîïåðàöèè:Φ(a + b) = Φ(a) + Φ)b),Φ(ab) = Φ(a) Φ(b)∀ a, b ∈ L.Òàêîå îòîáðàæåíèå Φ íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì, à L è M èçîìîðôíûìè.Îáû÷íî K íàçûâàþò ðàñøèðåíèåì êîëüöà (ïîëÿ) L è â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà L èçîìîðôíî íåêîòîðîìó åãî ïîäêîëüöó (ïîäïîëþ) M .Ïóñòü 1 åäèíè÷íûé ýëåìåíò ïîëÿ P . Ðàññìîòðèì ñóììû, ñîñòîÿùèå èç p ñëàãàåìûõâèäàp · 1 = 1 + .
. . + 1.Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü åñòü îïðåäåëåíèå âûðàæåíèÿ p · 1 (p íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì íàøåãî ïîëÿ è, ñòàëî áûòü, ðå÷ü íå èäåò îá óìíîæåíèè äâóõ ýëåìåíòîâ ïîëÿ).Ìèíèìàëüíîå p òàêîå, ÷òî p · 1 = 0, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ P .Óòâåðæäåíèå 1. Åñëè ïîëå èìååò õàðàêòåðèñòèêó p ≥ 1, òî ÷èñëî p ïðîñòîå.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî p = mk . Òîãäà 0 = (mk) · 1 =(m · 1)(k · 1). Ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê â ïîëå íå áûâàåò äåëèòåëåé íóëÿ. 2Óòâåðæäåíèå 2. Ëþáîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p ≥ 1 ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàêðàñøèðåíèå ïîëÿ âû÷åòîâ Zp .Äîêàçàòåëüñòâî.  ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p èìååòñÿ, ïî êðàéíåé ìåðå, p ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ âèäà k · 1, k = 1, . . . , p. Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñîñòàâëåííîå èç íèõ ìíîæåñòâîÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì. Èçîìîðôèçì äàííîãî ïîäïîëÿ ñ Zp óñòàíàâëèâàåòñÿ îòîáðàæåíèåìΦ(k · 1) = Z(k). 2Ñëåäñòâèå. Ëþáîå êîíå÷íîå ïîëå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ðàñøèðåíèå íåêîòî-Å. Å. Òûðòûøíèêîâ103ðîãî ïîëÿ âû÷åòîâ.Çàäà÷à 1.ÏóñòüÇàäà÷à 2.Íàéäèòå âñå ïîëÿ, âëîæåííûå â ïîëå15.5P ÷èñëîâîå ïîëå è ïðè ýòîìR ⊂ P ⊂ C.Äîêàæèòå, ÷òîP =RëèáîP = C.Q.×èñëî ýëåìåíòîâ â êîíå÷íîì ïîëåÓòâåðæäåíèå 3.
 êîíå÷íîì ïîëå ÷èñëî ýëåìåíòîâ îáÿçàòåëüíî èìååò âèä n = pm ,ãäå p ïðîñòîå, m íàòóðàëüíîå ÷èñëî.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè p õàðàêòåðèñòèêà êîíå÷íîãî ïîëÿ F , òî, ñîãëàñíî óòâåðæ-äåíèþ 2, F ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïîëÿ âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p: Zp ⊂ F .Ïî àíàëîãèè ñ íàøèìè èññëåäîâàíèÿìè â ñëó÷àå âåùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, ýëåìåíòû a1 , . . .
, am ∈ F íàçîâåì ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè íàä Zp , åñëè èç ðàâåíñòâà α1 a1 + . . . + αm am = 0 ñ êîýôôèöèåíòàìè α1 , . . . , αm ∈ Zp âûòåêàåò, ÷òîα1 = . . . = αm = 0. Ïóñòü m ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ íàä Zp . Òîãäà ëþáîé ýëåìåíò v ∈ F èìååò âèäα1 , . . . , αm ∈ Zp .v = α1 a1 + . . . + αm am ,Äëÿ êàæäîãî èç êîýôôèöèåíòîâ αi âîçìîæíî p ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ⇒n = pm . 2Êîíå÷íûå ïîëÿ ïðèíÿòî íàçûâàòü òàêæå ïîëÿìè Ãàëóà. Ìû äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîëÿ Ãàëóà íåîáõîäèìî, ÷òîáû åãî ÷èñëî ýëåìåíòîâ èìåëî âèä n = pm .
Íîñóùåñòâóþò ëè ïîëÿ Ãàëóà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî n òàêîãî âèäà? Îòâåò ïîëîæèòåëüíûé,íî íà êîíñòðóèðîâàíèè òàêèõ ïîëåé ìû îñòàíàâëèâàòüñÿ íå áóäåì.Çàäà÷à.Äîêàæèòå ñóùåñòâîâàíèå ïîëÿ èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ.ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÀß ×ÀÑÒÜ15.6Ïîëå ÷àñòíûõÒåîðåìà. Ëþáîå êîììóòàòèâíîå êîëüöî áåç äåëèòåëåé íóëÿ ìîæåò áûòü âëîæåíî â ïîëå.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü K êîììóòàòèâíîå êîëüöî áåç äåëèòåëåé íóëÿ. ×òîáû ðàñøèðèòü åãî äîôîðìàëüíûå ÷àñòíûå âèäà ab , ãäå a, b ∈ K è b 6= 0. Íàçîâåì ôîðìàëüíûå ÷àñòíûå abaaåñëè ad = bc. Äàííîå îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, ðåôëåêñèâíûì ( = ) èbbïîëÿ, ðàññìîòðèìcd ðàâíûìè,ñèììåòðè÷íûì. Íî îíî òàêæå òðàíçèòèâíî.
 ñàìîì äåëå,èac=bdÎòñþäà(aq − bp)(cd) = 0⇔ ad = bc,cp=dq⇔ cq = dp.è, â ñèëó îòñóòñòâèÿ äåëèòåëåé íóëÿ,aq = bp ⇔aq − bp = 0 ⇒ap= .bqÑëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ íà ìíîæåñòâå âñåâîçìîæíûõ ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïîýòîìó âñå ìíîæåñòâî ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè.aab îáîçíà÷àåò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîðîæäàåìûé ôîðìàëüíûì ÷àñòíûì b . Êàê ìûcóæå çíàåì, êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ëþáûì ñâîèì ïðåäñòàâèòåëåì: åñëèd ∈acaK b , òî K d = K b ; ïîýòîìó òðàäèöèîííî îí îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ëþáûì ñâîèì ïðåäñòàâèòåëåì.ÏóñòüK104Ëåêöèÿ 15Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ îïðåäåëèì ïîàíàëîãèè ñ çàäàíèåì îïåðàöèé äëÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë:Kab+Kcd=Kad + bcbd,Kab) K( ac c=K.dbdÏðîâåðêà òîãî, ÷òî ðåçóëüòàòû ýòèõ îïåðàöèé íå çàâèñÿò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé â êëàññàõ ýêâèâà-acb è K d , îñóùåñòâëÿåòñÿ âïîëíå ðóòèííûì îáðàçîì.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìíîæåñòâî ôîðìàëüíûõ ÷àñòíûõ åñòü êîììóòàòèâíîå êîëüöî ñ åäèíèöåé 1 =K aa .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
