Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 21
Текст из файла (страница 21)
. , xnc1 x1 + . . . + cn xn = b.(∗)ãäå õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë ci îòëè÷íî îò íóëÿ.Óòâåðæäåíèå 1. Ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ èç Rn ñ êîîðäèíàòàìè x1 , . . . , xn , óäîâëåòâîðÿþùèìè óðàâíåíèþ (∗), åñòü ãèïåðïëîñêîñòü. Êðîìå òîãî, ëþáàÿ ãèïåðïëîñêîñòü ìîæåò áûòü çàäàíà êàê ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ âèäà (∗).Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèå (∗) ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ñîñòîÿùåé èõ îäíîãî óðàâíåíèÿ. Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ èìååòÅ. Å.
Òûðòûøíèêîâ89ðàçìåðû 1 × n, è, ïîñêîëüêó íå âñå ci ðàâíû íóëþ, åå ðàíã ðàâåí 1. Î÷åâèäíî, ñèñòåìàñîâìåñòíà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç v1 , . . . , vn−1 âåêòîðû ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøåíèé,è ïóñòü v0 ïðîèçâîëüíîå ÷àñòíîå ðåøåíèå. Òîãäà ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû (∗)èìååò âèä v0 + L(v1 , . . . , vn−1 ) è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ.Ïóñòü M = v0 +L(v1 , . . .
, vn−1 ) ïðîèçâîëüíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü. Îáðàçóåì n×(n−1)ìàòðèöó B = [v1 , . . . , vn−1 ] è ðàññìîòðèì óðàâíåíèå c1B > . . . = 0.cnÐàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí n − 1 ⇒ ñèñòåìà èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèåc = [c1 , . . . , cn ]> . Î÷åâèäíî,M = {x = v0 + Bz,z ∈ Rn−1 }.Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà x = v0 + Bz ñëåâà íà ìàòðèöó-ñòðîêó c> , íàõîäèìc> x = c> v0 + (c> B)z = c> v0⇒c1 x1 + .
. . + cn xn = b, b = c> v0 .Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî v0 åñòü ÷àñòíîå ðåøåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû, à ñòîëáöû ìàòðèöû B îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîéñèñòåìû. 2Óòâåðæäåíèå 2. Ëþáîå ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè k ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì n − k ãèïåðïëîñêîñòåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äàííîå ìíîãîîáðàçèå èìååò âèä M = v0 + L(v1 , . . . , vk ). Òîãäàx ∈ M åñòü âåêòîð âèäà x = v0 + Bz , ãäå B = [v1 , . . . , vk ], z ∈ Rk . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèåB > y = 0.Ïîñêîëüêó rankB = k , ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé ñîäåðæèò n − k âåêòîðîâ.Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç a1 , .
. . , an−1 . Äàëåå,>>>a>i x = ai v0 + (ai B)z = ai v0 .Ñëåäîâàòåëüíî, x ïðèíàäëåæèò ïåðåñå÷åíèþ ãèïåðïëîñêîñòåéa>i x = bi ,bi = a>i v0 ,1 ≤ i ≤ n − k. òî æå âðåìÿ, ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ãèïåðïëîñêîñòåé åñòü ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå òîé æåðàçìåðíîñòè. 2Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìû ãèïåðïëîñêîñòåé, äàþùèå â ïåðåñå÷åíèè M , ìîæíî âûáðàòüìíîãèìè ñïîñîáàìè. Èç äîêàçàòåëüñòâà âèäíî, ÷òî èõ ñòîëüêî, ñêîëüêî èìååòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ñèñòåì ðåøåíèé óðàâíåíèÿ B > y = 0.13.4ÏîëóïðîñòðàíñòâàËþáàÿ ãèïåðïëîñêîñòü π : c1 x1 + . .
. + cn xn = b (c> x = b) âûäåëÿåò â Rn äâà ïîäìíîæåñòâà:π− = {x : c> x ≤ b}, π+ = {x : c> x ≥ b},π− ∩ π+ = π.90Ëåêöèÿ 13Ýòè ïîäìíîæåñòâà íàçûâàþòñÿ (îòðèöàòåëüíûì è ïîëîæèòåëüíûì) ïîëóïðîñòðàíñòâàìè.  ñëó÷àå ïëîñêîñòè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå îíè óæå èçó÷àëèñü âðàçäåëå 7.12.Óòâåðæäåíèå. Òî÷êè x, y ∈/ π ïðèíàäëåæàò ðàçíûì ïîëóïðîñòðàíñòâàì òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà x + t(y − x) ∈ π ïðè íåêîòîðîì 0 < t < 1.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè x ∈ π− è y ∈ π+ . Òîãäà óðàâíåíèåc> (x + t(y − x)) = bèìååò ðåøåíèåt=b − c> xb − c> x=,c> (y − x)(b − c> x) − (b − c> y)ïðè÷åì ñ î÷åâèäíîñòüþ 0 < t < 1. Åñëè æå x, y ∈ π− (π+ ), òî ïðè ëþáîì 0 ≤ t ≤ 1íàõîäèì x + t(y − c) ∈ π− (π+ ). 213.5Âûïóêëûå ìíîæåñòâàÏóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî è x, y ∈ V . Ìíîæåñòâî òî÷åê âèäà x + t(y − x) =(1 − t)x + ty , 0 ≤ t ≤ 1, íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì, ñîåäèíÿþùèì x è y .
Ìíîæåñòâî M ⊂ Víàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè îíî ñîäåðæèò âñå òî÷êèñîåäèíÿþùåãî èõ îòðåçêà. Òî÷êè, ïîëó÷àåìûå ïðè 0 < t < 1, íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìèòî÷êàìè îòðåçêà.Ëþáûå ïîëóïðîñòðàíñòâà â Rn âûïóêëûå ìíîæåñòâà. Òî æå âåðíî è äëÿ ïåðåñå÷åíèÿ ëþáîãî ÷èñëà ïîëóïðîñòðàíñòâ. Ýòî ñëåäñòâèå áîëåå îáùåãî è î÷åâèäíîãî ôàêòà:ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ÷èñëà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì. îïðåäåëåííîì ñìûñëå äâîéñòâåííûé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ âûïóêëûõ ìíîæåñòâòàêîé. Ïóñòü v1 , . . . , vk ∈ V . Òîãäà âåêòîðti ≥ 0, t1 + . . .
+ tk = 1,v = t1 v1 + . . . + tk vk ,íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ v1 , . . . , vk . Ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ âûïóêëûõ êîìáèíàöèé çàäàííûõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ èõ âûïóêëîé îáîëî÷êîé.Óòâåðæäåíèå 1. Âûïóêëàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü x = α1 v1 + . . . + αk vk è y = β1 v1 + . . . βk vk . Òîãäà ïðè 0 ≤ t ≤ 1ïîëó÷àåì(1 − t)x + ty =kX((1 − t)αi + tβi )vi .i=1ÅñëèPαi =Pβi = 1 è αi , βi ≥ 0, òî, î÷åâèäíî,kX((1 − t)αi + tβi ) = 1,(1 − t)αi + tβi ≥ 02i=1Íàïðèìåð, â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âûïóêëàÿ îáîëî÷êà òðåõ òî÷åê, íå ëåæàùèõÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ91íà îäíîé ïðÿìîé, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ. Âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ÷åòûðåõ òî÷åê, íå ëåæàùèõ â îäíîé ïëîñêîñòè, åñòü òåòðàýäð.Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü M âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Òîãäà âìåñòå ñ ëþáîé ñèñòåìîéòî÷åê M ñîäåðæèò öåëèêîì è èõ âûïóêëóþ îáîëî÷êó.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè t1 > 0, òîkXkXti vi = t1 v1 + (1 − t1 )i=1i=2!kXtitivi ,= 1.1 − t11 − t1i=2Äàëåå ïðîâîäèì èíäóêöèþ ïî ÷èñëó òî÷åê k . 2Ëþáîå (â òîì ÷èñëå è áåñêîíå÷íîå) ìíîæåñòâî òî÷åê S ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîìâûïóêëîì ìíîæåñòâå (äîñòàòî÷íî ó÷åñòü, ÷òî ëþáîå àôôèííîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿâûïóêëûì). Ïåðåñå÷åíèå âñåõ òàêèõ ìíîæåñòâ áóäåò íàèìåíüøèì âûïóêëûì ìíîæåñòâîì, ñîäåðæàùèì S .
Îíî íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé îáîëî÷êîé ìíîæåñòâà S . Ëåãêî âèäåòü,÷òî åñëè S êîíå÷íàÿ ñèñòåìà òî÷åê, òî åå âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ñîâïàäàåò ñ âûïóêëîéîáîëî÷êîé ìíîæåñòâà S .Çàäà÷à.ÌàòðèöàA ∈ Rn×níàçûâàåòñÿäâîÿêîñòîõàñòè÷åñêîé,åñëè âñå åå ýëåìåíòû íåîòðè-öàòåëüíû, à ñóììà ýëåìåíòîâ â êàæäîé ñòðîêå è êàæäîì ñòîëáöå ðàâíà 1. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâîâñåõ äâîÿêîñòîõàñòè÷åñêèõ ìàòðèö ïîðÿäêànÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì è íàéòè âñå åãîóãëîâûåòî÷êè (òàêíàçûâàþòñÿ òî÷êè ìíîæåñòâà, íå ÿâëÿþùèåñÿ âíóòðåííèìè íè äëÿ îäíîãî îòðåçêà, ïðèíàäëåæàùåãîäàííîìó ìíîæåñòâó).92Ëåêöèÿ 13Ëåêöèÿ 1414.1Êîìïëåêñíûå ÷èñëàÊàê èçâåñòíî, êâàäðàòíîå óðàâíåíèå ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ìîæåò íå èìåòüâåùåñòâåííûõ ðåøåíèé.
Ôîðìàëüíî ïîëîæåíèå ëåãêî ïîïðàâèòü, ââåäÿ äëÿ îáîçíà÷åíèÿíåñóùåñòâóþùèõ ðåøåíèé íåêèå àáñòðàêòíûå ÷èñëà. Íî îäíèõ îáîçíà÷åíèé, êîíå÷íî,ìàëî. Âàæíî îïðåäåëèòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ äëÿ íîâûõ ÷èñåë òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îñòàëèñü â ñèëå ïðèâû÷íûå ñâîéñòâà ýòèõ îïåðàöèé íàä âåùåñòâåííûìè÷èñëàìè. êà÷åñòâå àáñòðàêòíûõ ÷èñåë ðàññìîòðèì 2 × 2-ìàòðèöû ñïåöèàëüíîãî âèäàa −bz = z(a, b) =,a, b ∈ R.(∗)b aÎáîçíà÷èì ÷åðåç C ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ìàòðèö.
Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿàáñòðàêòíûõ ÷èñåë îïðåäåëèì êàê ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè. Ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿþòñÿ, ÷òî îíè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.(1) Åñëè u, v ∈ C, òî u + v ∈ C è uv ∈ C.(2) Ëþáàÿ íåíóëåâàÿ ìàòðèöà z = z(a, b) ∈ C îáðàòèìà, à ñîîòâåòñòâóþùàÿîáðàòíàÿ ìàòðèöà èìååò âèä−bac −d−1, d= 2.z =,c= 22d ca +ba + b2(3) Ìíîæåñòâî C îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîéãðóïïîé.(4) Ìíîæåñòâî C\{0} îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé.(5) Èìååò ìåñòî äèñòðèáóòèâíîñòü: z(u + v) = zu + zv ∀ u, v, z ∈ C.Åñëè â óòâåðæäåíèÿõ (3)-(5) çàìåíèòü C íà R, òî ïîëó÷àòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà îïåðàöèé íàä âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè.
Ïîýòîìó ýëåìåíòû ìíîæåñòâà C ëîãè÷íî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñëà. Ýòî è áóäóò òàê íàçûâàåìûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà.Âåùåñòâåííûå ÷èñëà a è b íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåùåñòâåííîé è ìíèìîé÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = z(a, b) Îáîçíà÷åíèå: Re(z) = a, Im(z) = b. Ðàññìîòðèì äâå ñïåöèàëüíûå ìàòðèöû âèäà (∗):1 00 −1e=,i=.0 11 0Ëåãêî âèäåòü, ÷òîz = z(a, b) = ae + bi,93a, b ∈ R.(∗∗)94Ëåêöèÿ 14Ìàòðèöà e âûïîëíÿåò ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ.Ìàòðèöó âèäà ae åñòåñòâåííî îòîæäåñòâèòü ñ âåùåñòâåííûì ÷èñëîì a. Òîãäà e = 1 · eîòîæäåñòâèòñÿ ñ ÷èñëîì 1, à ñîîòíîøåíèå (∗∗) ïðèìåò âèäz = a + bi,è ïðè ýòîì, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü,i2 = −1(−1 îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ìàòðèöåé −e).Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèå z 2 = −1 èìååò íà ìíîæåñòâå C â òî÷íîñòè äâàðåøåíèÿ z = ±i.
Îòñþäà ìîæíî âûâåñòè, ÷òî ëþáîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè èìååò äâà (èíîãäà ñîâïàäàþùèõ) ðåøåíèÿ èç C. Ìû ñêîðîóâèäèì, ÷òî òî æå âåðíî è äëÿ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè.Êîíå÷íî, êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìîæíî áûëî áû ââåñòè áåç èñïîëüçîâàíèÿ ìàòðèö ñêàçàâ, ÷òî ýòî ïàðû (a, b) âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ îïåðàöèè îïðåäåëÿþòñÿïðàâèëàìè(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),(a, b)(c, d) = (ac − db, ad + bc).Ïðèäåòñÿ èçìåíèòü ëèøü íåêîòîðûå äåòàëè äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ (3)-(5).Íàø èíòåðåñ ê èñïîëüçîâàíèþ ìàòðèö âèäà (∗) îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îíè ïîçâîëèëè íàì ïîëó÷èòü èñêîìûå àáñòðàêòíûå ÷èñëà êàê óæå çíàêîìûå îáúåêòû ñ õîðîøîèçó÷åííûìè ñâîéñòâàìè.14.2Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòüÐàññìîòðèì ïëîñêîñòü ñ äåêàðòîâîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò.
Ïóñòü (a, b) òî÷êà (ðàäèóñâåêòîð) ñ êîîðäèíàòàìè a, b. Î÷åâèäíî, (a, b) ↔ z = a + bi åñòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íîåñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè (ðàäèóñ-âåêòîðàìè) ïëîñêîñòè è êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.Ïëîñêîñòü, òî÷êè (ðàäèóñ-âåêòîðû) êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ äëÿ èçîáðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ.Ðàññìîòðèìêîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi. Äëèíà îòâå÷àþùåãî åìó ðàäèóñ-âåêòîðà,√22ðàâíàÿ a + b , íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿ |z|. Óãîë φìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðîì äëÿ z 6= 0 è ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì ïåðâîé îñè (îñè àáñöèññ), íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z .
Îáîçíà÷åíèå: φ = arg z . Êîíå÷íî,àðãóìåíò îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî, êðàòíîãî 2π .×èñëó z = 0 ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà.Î÷åâèäíî,z = |z| (cos φ + i sin φ),φ = arg z.Òàêàÿ ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ åãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîéôîðìîé.Çàìåòèì, ÷òî ñóììå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò ñóììà ñîîòâåòñòâóþùèõðàäèóñ-âåêòîðîâ. Îòñþäà ïîëó÷àåì î÷åíü ïîëåçíîå íåðàâåíñòâî (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà)|u + v| ≤ |u| + |v|∀ u, v ∈ C,Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ95è åãî íå ìåíåå ïîëåçíîå ñëåäñòâèå| |u| − |v| | ≤ |u − v|∀ u, v ∈ C.Ïðè óìíîæåíèè z íà êîìïëåêñíîå ÷èñëîw = |w| (cos ψ + i sin ψ),ψ = arg w,ïîëó÷àåòñÿzw = |z| |w| (cos φ + i sin φ) (cos ψ + i sin ψ)= |z| |w| ((cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i (cos φ sin ψ + sin φ cos ψ))= |z| |w| (cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)).Òàêèì îáðàçîì, ïðè óìíîæåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ.Îòìåòèì óäîáíîå îáîçíà÷åíèå: eiφ = cos φ + i sin φ. 1 Òîãäà eiφ eiψ = ei(φ+ψ) (â ïîëíîìñîãëàñèè ñ ôîðìàëüíûì ïðèìåíåíèåì èçâåñòíûõ ñâîéñòâ ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè).Êîìïëåêñíîå ÷èñëî a − bi íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê z = a + bi. Îáîçíà÷åíèå: z̄ =a−bi.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
