Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Å. Òûðòûøíèêîâ63Åñëè èìååòñÿ êàêàÿ-òî òðåòüÿ ñèñòåìà áàçèñíûõ âåêòîðîâ è âåêòîðû ei , e0i ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñòîëáöû èç êîîðäèíàò ðàçëîæåíèé ïî äàííîé òðåòüåé ñèñòåìå, òî ñïðàâåäèâîðàâåíñòâî[e01 , e02 , e03 ] = [e1 , e2 , e3 ]P.Îòñþäà ñëåäóåò íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèöû P .Ïóñòü òî÷êà M èìååò êîîðäèíàòû (x, y, z) â ïåðâîé ñèñòåìå è (x0 , y 0 , z 0 ) âî âòîðîé−→−→−→ñèñòåìå. Î÷åâèäíî, OM = OO0 + O0 M .
Ïóñòü êîîðäèíàòû òî÷êè O0 â ïåðâîé ñèñòåìåðàâíû (x0 , y0 , z0 ). Òîãäàxe1 + ye2 + ze3 = (x0 e1 + y0 e2 + z0 e3 )+x0 (p11 e1 + p21 e2 + p31 e3 ) + y 0 (p12 e1 + p22 e2 + p32 e3 ) + z 0 (p13 e1 + p23 e2 + p33 e3 ) =(x0 + p11 x0 + p12 y 0 + p13 z 0 )e1 + (y0 + p21 x0 + p22 y 0 + p23 z 0 )e2 + (z0 + p31 x0 + p32 y 0 + p33 z 0 )e3 .Ñëåäîâàòåëüíî, êîîðäèíàòû îäíîé è òîé æå òî÷êè â ïåðâîé è âòîðîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:" # " #" 0#xyzx0x= y0 + P y 0 .z0z0Îòñþäà ëåãêî ïîíÿòü, íàïðèìåð, êàê ñâÿçàíû îáùèå óðàâíåíèÿ îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè â ðàçíûõ àôôèííûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò.
Åñëè â ïåðâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååìóðàâíåíèå Ax + By + Cz + D = 0, òî, çàïèñûâàÿ åãî â ìàòðè÷íîì âèäå, íàõîäèì" #" 0 #!" #x[A B C ] y = −D⇔[A B C ]zx0y0z0x+ P y0= −D.z0Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå òîé æå ïëîñêîñòè âî âòîðîé ñèñòåìå ïîëó÷àåò âèä" 0#x[A0 B 0 C 0 ] y 0 = −D0 ,z0[A0 B 0 C 0 ] = [A B C ] P,9.12D0 = D − (Ax0 + By0 + Cz0 ).Ïîëóïëîñêîñòè è ïîëóïðîñòðàíñòâàÏóñòü íà ïëîñêîñòè äàíà ïðÿìàÿ l : Ax + By + C = 0. Òîãäà ëþáàÿ òî÷êà P = (x, y) íàïëîñêîñòè ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç òðåõ ìíîæåñòâl = {(x, y) : Ax + By + C = 0},π + = {(x, y) : Ax + By + C > 0},π − = {(x, y) : Ax + By + C < 0}.Ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ l äåëèò ïëîñêîñòü íà äâå ïîëóïëîñêîñòè π + è π − .Âîçüìåì äâå òî÷êè P = (x1 , y1 ) è Q = (x2 , y2 ), òîãäà ëþáàÿ òî÷êà îòðåçêà P Q èìååòêîîðäèíàòûx = x1 + t(x2 − x1 ) = (1 − t)x2 + tx1 ,y = y1 + t(y2 − y1 ) = (1 − t)y2 + ty1 ,0 ≤ t ≤ 1.Îòñþäà ÿñíî, ÷òî åñëè P è Q ïðèíàäëåæàò îáå îäíîìó èç ìíîæåñòâ π + èëè π − , òî âñåòî÷êè îòðåçêà P Q ïðèíàäëåæàò òîìó æå ìíîæåñòâó.64Ëåêöèÿ 9Ìíîæåñòâî òî÷åê, ñîäåðæàùåå âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè âñå òî÷êè ñîåäèíÿþùåãî èõ îòðåçêà, íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì.
Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå èç ìíîæåñòâ l, π + , π −ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî P ∈ π + , íî Q ∈ π − . Òîãäà óðàâíåíèåA(x1 + (t(x2 − x1 )) + B(y1 + t(y2 − y1 )) + C = 0âûïîëíÿåòñÿ ïðèt =Ax1 + By1 + C,(Ax1 + By1 + C) − (Ax2 + By2 + C)îòêóäà âèäíî, ÷òî 0 < t < 1. Ñëåäîâàòåëüíî, íåêîòîðàÿ òî÷êà îòðåçêà P Q ïðèíàäëåæèòïðÿìîé l.Èòàê, äâå òî÷êè ïðèíàäëåæàò îäíîé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî çàäàííîé ïðÿìîé l â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñîåäèíÿþùèé èõ îòðåçîê íå èìååò îáùèõòî÷åê ñ ïðÿìîé l.Àíàëîãè÷íî, ïëîñêîñòü π : Ax + By + Cz + D = 0 äåëèò ïðîñòðàíñòâî íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâàπ + = {(x, y, z) : Ax + By + Cz + D > 0},π − = {(x, y, z) : Ax + By + Cz + D < 0}.Ïðè ýòîì äâå òî÷êè ïðèíàäëåæàò îäíîìó ïîëóïðîñòðàíñòâó îòíîñèòåëüíî çàäàííîéïëîñêîñòè π â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñîåäèíÿþùèé èõ îòðåçîê íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïëîñêîñòüþ π .Çàäà÷à.Ïóñòü íà ïëîñêîñòè èìååòñÿ òðåóãîëüíèêêîñòè.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êèâåíñòâîM,−→ABCèO ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ýòîé æå ïëîñ-ïðèíàäëåæàùåé äàííîìó òðåóãîëüíèêó, ñïðàâåäëèâî ðà-−→−→−→OM = αOA + β OB + γ OC,â êîòîðîìα+β+γ = 1èîïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.α, β, γ ≥ 0.Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî ÷èñëàα, β, γñ óêàçàííûìè îãðàíè÷åíèÿìè22 Îíè íàçûâàþòñÿáàðèöåíòðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè M . Åñëè â ïðîñòðàíñòâå çàäàí òåòðàýäðABCD è ïðèíàäëåæàùàÿ åìó òî÷êà M , òî, àíàëîãè÷íî, äëÿ ëþáîé òî÷êè O íàéäóòñÿ íåîòðèöàòåëüíûåα, β, γ, δ òàêèå, ÷òî−→−→−→−→−→OM = αOA + β OB + γ OC + δ OD,α + β + γ + δ = 1.Ëåêöèÿ 1010.1Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ−→Äëèíîé âåêòîðà a íàçûâàåòñÿ äëèíà ïîðîæäàþùåãî åãî íàïðàâëåííîãî îòðåçêà (íàïðàâëåííûå îòðåçêè, ïîðîæäàþùèå îäèí è òîò æå âåêòîð, ðàâíû è ïîýòîìó èìåþòîäèíàêîâóþ äëèíó). Îáîçíà÷åíèå äëÿ äëèíû: |~a|.
Óãëîì φ(~a, ~b) ìåæäó íåíóëåâûìè âåê−→−→òîðàìè ~a = OA, ~b = OB íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ñòîðîíàìè OA è OB â òðåóãîëüíèêåOAB .Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ ~a è ~b íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà(|~a| |~b| cos φ(~a, ~b), ~a 6= ~0 è ~b 6= ~0,(~a, ~b) =0,~a = ~0 èëè ~b = ~0. ñèëó îïðåäåëåíèÿ î÷åâèäíî, ÷òî(~a, ~a) > 0 ïðè ~a 6= ~0;Òàê æå î÷åâèäíî, ÷òî−→(~a, ~a) = 0 ⇔ ~a = ~0.(~a, ~b) = (~b, ~a)∀ ~a, ~b.(1)(2)−→Åñëè âåêòîðû ~a = OA, ~b = OB íåêîëëèíåàðíû, òî â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåçòî÷êè O, A, B ìîæíî ââåñòè äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â òî÷êå O è ïåðâîéîñüþ, ñîâïàäàþùåé ñ ïðÿìîé OB è äàþùåé òî÷êå B ïîëîæèòåëüíóþ êîîðäèíàòó.
Òîãäàâåëè÷èíà |~a| cos φ(~a, ~b) áóäåò â òî÷íîñòè êîîðäèíàòîé òî÷êè A íà äàííîé îñè. Îòñþäàñðàçó æå âûòåêàþò âàæíûå ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïî ïåðâîìóàðãóìåíòó:(~a + ~b, ~c) = (~c, ~a) + (~c, ~b)∀ ~a, ~b,(3)(α ~a, ~b) = α (~a, ~b)∀~a, ~b,∀ α ∈ R.(4)Ñâîéñòâî (2) ñðàçó æå äàåò àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿè ïî âòîðîìó àðãóìåíòó.Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ.10.2Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è êîîðäèíàòûÏóñòü çàäàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ áàçèñíûìè âåêòîðàìè ~e1 , ~e2 , ~e3 .
Òîãäà0, i 6= j,(~ei , ~ej ) =(∗)1, i = j.6566Ëåêöèÿ 10Òåîðåìà. Ïóñòü â çàäàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîð ~a èìååò êîîðäè-íàòàìè a1 , a2 , a3 , à âåêòîð ~b êîîðäèíàòû b1 , b2 , b3 . Òîãäà èìååò ìåñòî ôîðìóëà(~a, ~b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .(#)Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 ,~b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 .Îïèðàÿñü íà ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (2) − (4) è ñîîíîøåíèÿ (∗), íàõîäèì(~a, ~b)==(a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 , b1~e1 + b2~e2 + b3~e3 )3 X3Xai bj (~ei , ~ej ) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . 2i=1 j=1Çàìå÷àíèå 1. Åñëè â íåêîòîðîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëþáûõâåêòîðîâ ~a è ~b âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (#), òî äàííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò äåêàðòîâà.Çàìå÷àíèå 2.  ñëó÷àå äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò äëÿ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòèôîðìóëà (#) ïðèîáðåòàåò âèä(~a, ~b) = a1 b1 + a2 b2 .10.3Îá îáîáùåíèÿõÔîðìóëà (#) è ñâîéñòâà (1) − (4) äàþò îñíîâó äëÿ ââåäåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ âáîëåå îáùèõ ñëó÷àÿõ äëÿ îáúåêòîâ, óæå íå ÿâëÿþùèõñÿ âåêòîðàìè â ãåîìåòðè÷åñêîìïðîñòðàíñòâå.Íàïðèìåð, åñëè a = [a1 , .
. . , an ]> , b = [b1 , . . . , bn ]> ìàòðèöû-ñòîëáöû èç Rn , òîìîæíî îïðåäåëèòü èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé (#):(a, b) = a1 b1 + . . . + an bn .(∗)Åñòü è äðóãàÿ èäåÿ, èìåþùàÿ áîëåå îáùèé õàðàêòåð âçÿòü çà îñíîâó ñâîéñòâà(1) − (4) è íàçûâàòü ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ëþáóþ ôóíêöèþ îò ìàòðèö-ñòîëáöîâa, b, óäîâëåòâîðÿþùóþ àêñèîìàì (1) − (4).Äëÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿëîñü íà îñíîâå òàêèõïîíÿòèé, êàê äëèíà âåêòîðà è óãîë ìåæäó âåêòîðàìè.
 áîëåå îáùèõ ñëó÷àÿõ ïðîùåââåñòè êàêèì-òî îáðàçîì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è óæå ñ åãî ïîìîùüþ ââîäèòü ïîíÿòèÿäëèíû è óãëà:p(a, b)cos φ(a, b) =.|a| = (a, a),|a| |b|Íàïðèìåð, îïèðàÿñü íà (∗), ìîæíî ââåñòè òàêèì îáðàçîì äëèíó è óãîë äëÿ âåêòîðîâa, b ∈ Rn . Ïðè ýòîì âàæíî, ÷òîpp|(a, b)| ≤ (a, a) (b, b).Ýòî íåðàâåíñòâî (èçâåñòíîå êàê íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà) ëåãêî âûâîäèòñÿ èç (∗), íî â äåéñòâèòåëüíî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ ìûñëèìûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîäðîáíûé ðàçãîâîð íà ýòó òåìó áóäåò ïîçæå.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ10.467Îðèåíòàöèÿ ñèñòåìû âåêòîðîâÏîíÿòèå îðèåíòàöèè äëÿ òðîéêè (ñèñòåìû èç òðåõ) íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ ââîäèòñÿâ áóêâàëüíîì ñìûñëå ñëîâà íà ïàëüöàõ: òðîéêà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé, åñëè èõìîæíî ðàñïîëîæèòü êàê áîëüøîé, íåñîãíóòûé 1 óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ïðàâîéðóêè; òðîéêà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ëåâîé, åñëè èõ ìîæíî ðàñïîëîæèòü êàê áîëüøîé,íåñîãíóòûé óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ëåâîé ðóêè.Î÷åâèäíî, ìîæåò âîçíèêíóòü æåëàíèå îñâîáîäèòüñÿ îò àíàòîìè÷åñêîé êîìïîíåíòû ýòîãî îïðåäåëåíèÿ.
Íàïðèìåð, òàêèì îáðàçîì: òðîéêà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé,åñëè êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò ïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó ïðîèñõîäèò ïðîòèâ ÷àñîâîéñòðåëêè, åñëè îí íàáëþäàåòñÿ èç êîíöà òðåòüåãî âåêòîðà.Êîíå÷íî, îñòàåòñÿ ÷óâñòâî íåóäîâëåòâîðåíèÿ ïî ïîâîäó îáîèõ îïðåäåëåíèé. Íî îíîèìååò íåóñòðàíèìûé õàðàêòåð â ñèëó ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðè÷èí. Äåëî â òîì, ÷òîëþáûå òðîéêè íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ ìîãóò èìåòü ðîâíî äâà òèïà îðèåíòàöèè, àôèêñàöèÿ îäíîãî èç íèõ, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâîëüíà.
2Ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò è îáúÿâèòü, ÷òî òðîéêàåå áàçèñíûõ âåêòîðîâ èìååò, ñêàæåì, ïðàâèëüíóþ îðèåíòàöèþ. Ïóñòü âåêòîð ~a èìååò êîîðäèíàòû a1 , a2 , a3 , âåêòîð ~b êîîðäèíàòû b1 , b2 , b3 , âåêòîð ~c êîîðäèíàòûc1 , c2 , c3 . Òðîéêó âåêòîðîâ ~a, ~b, ~c ìîæíî íàçâàòü òðîéêîé ïðàâèëüíîé îðèåíòàöèè,åñëèa1 b 1 c 1det a2 b2 c2 > 0.a3 b 3 c 3Åñëè îïðåäåëèòåëü ìåíüøå íóëÿ, òî ýòî áóäåò òðîéêà íåïðàâèëüíîé îðèåíòàöèè. Òàêèìîáðàçîì, îïðåäåëåíèå îðèåíòàöèè çàâèñèò îò îáúÿâëåíèÿ òèïà îðèåíòàöèè äëÿ èñõîäíîéñèñòåìû êîîðäèíàò.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå îðèåíòàöèè äëÿ ïàð âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè è äàæå äëÿ ñèñòåì n ìàòðèö-ñòîëáöîâ èç Rn .10.5Âåêòîðíîå è ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèÿÂåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ~a è ~b íàçûâàåòñÿ âåêòîð ~c òàêîé,÷òî:• âåêòîð ~c îðòîãîíàëåí ~a è ~b;• òðîéêà âåêòîðîâ ~a, ~b, ~c ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé;• |~c| = |~a| |~b| sin φ(~a, ~b).Åñëè ~a è ~b êîëëèíåàðíû, òî ~c = ~0.
Îáîçíà÷åíèå: ~c = [~a, ~b].−→−→Åñëè ~a = OA, ~b = OB , òî äëèíà âåêòîðà ~c, î÷åâèäíî, ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà ñî ñòîðîíàìè OA è OB .×èñëî, ðàâíîå ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðîâ [~a, ~b] è ~c, íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûìïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ ~a, ~b, ~c. Îáîçíà÷åíèå:(~a, ~b, ~c) = ([~a, ~b], ~c).1 Åñëè óêàçàòåëüíûé ïàëåö ñîãíóòü, òî ïîëó÷èòñÿ ñîâñåì íå òî.2 Êàê óòâåðæäàåò Ì. Ì. Ïîñòíèêîâ, â ñòàðûå âðåìåíà ïðàâûìè íàçûâàëè êàê ðàç ñåãîäíÿøíèå ëåâûåòðîéêè.68Ëåêöèÿ 10Òåîðåìà. Ïóñòü âåêòîðû ~a, ~b, ~c íåêîìïëàíàðíû è V îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, íàòÿíóòîãî íà ïðèâåäåííûå ê îáùåìó íà÷àëó âåêòîðû ~a, ~b, ~c. ÒîãäàV, åñëè òðîéêà ~a, ~b, ~c ïðàâàÿ;~(~a, b, ~c) =−V, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Åñëè âåêòîðû ~a, ~b, ~c êîìïëàíàðíû, òî(~a, ~b, ~c) = 0.−→−→−→~ = [~a, ~b].Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ~a = OA, ~b = OB, ~c = OC , è ïóñòü ODÑîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ,−→(~a, ~b, ~c) = |OD| γ,ãäå−→−→−→γ = |OC| cos φ(OD, OC).ßñíî, ÷òî |γ| åñòü äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè C íà ïëîñêîñòü OAB(âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà). Ïðè ýòîì γ > 0, åñëè òî÷êè D è C íàõîäÿòñÿ ïî îäíó ñòîðîíóîò ïëîñêîñòè OAB , è γ < 0, åñëè ýòè òî÷êè îêàçàëèñü ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò äàííîé−→−→−→ïëîñêîñòè.  ïåðâîì ñëó÷àå òðîéêà âåêòîðîâ OA, OB, OC ïðàâàÿ, âî âòîðîì ëåâàÿ.2Ñëåäñòâèå 1.(~a, ~b, ~c) = (~b, ~c, ~a) = (~c, ~a, ~b) = −(~b, ~a, ~c) = −(~a, ~c, ~b) = −(~c, ~b, ~a).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî òðîéêè âåêòîðîâ{~a, ~b, ~c},{~b, ~c, ~a},{~c, ~a, ~b}èìåþò îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ, ïðîòèâîïîëîæíóþ îðèåíòàöèè òðîåê âåêòîðîâ{~b, ~a, ~c},{~a, ~c, ~b},{~c, ~b, ~a}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
