Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 20
Текст из файла (страница 20)
. . + Wm â ðàçëîæåíèèw = w1 + . . . + wm ,w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm ,âåêòîðû w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî, ñóììà äàííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé. Ïîäïðîñòðàíñòâà, ñóììà êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé,íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè.Åñëè e1 , . . . , en ëþáàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òî ñóììà èõ ëèíåéíûõ îáîëî÷åêW = L(e1 ) + . .
. + L(en )ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé. Ýòî íàáëþäåíèå îáîáùàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Òåîðåìà. Ïóñòü V êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî è W1 , . . . , Wm åãî ïîäïðîñòðàíñòâà. ÑóììàW = W1 + . . . + Wnÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáúåäèíåíèå ïðîèçâîëüíî âûáðàííûõ áàçèñîâ äëÿ W1 , . . . , Wm äàåò áàçèñ ïîäïðîñòðàíñòâà W .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü W ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî dim Wi = ni ,è ðàññìîòðèì W1 , . . . , Wm êàê ëèíåéíûå îáîëî÷êè ñâîèõ áàçèñîâ:W1 = L(v11 , . . . , vn1 1 ),...Wm = L(v1m , . . . , vnm m ).Äîêàæåì, ÷òî îáúåäèíåíèå áàçèñîâ îáðàçóåò áàçèñ â V . ßñíî, ÷òî W åñòü ëèíåéíàÿîáîëî÷êà îáúåäèíåíèÿ áàçèñîâ:W = L(v11 , . . . , vn1 1 , . . . , v1m , . . . , vnm m ).Ïîýòîìó îñòàåòñÿ ëèøü óáåäèòüñÿ â ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ îáúåäèíåíèÿáàçèñîâ. Ïóñòü w ïðîèçâîëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ âåêòîðîâ.
Çàïèøåì wâèäå w = w1 + . . . + wm , ãäå wi ∈ Wi , i = 1, . . . , m. Åñëè w = 0, òî â ñèëó åäèíñòâåííîñòèâåêòîðîâ w1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm äàííîãî ðàçëîæåíèÿ ïîëó÷àåì w1 = . . . = wm = 0.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè w = 0 ïî îáúåäèíåííîé ñèñòåìåv11 , . . . , vn1 1 , . . . , v1m , .
. . , vnm m ðàâíû íóëþ.Ïóñòü òåïåðü îáúåäèíåíèå áàçèñîâ ïîäïðîñòðàíñòâ W1 , . . . , Wm äàåò áàçèñ W .Åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî áàçèñó îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü âåêòîðîâw1 ∈ W1 , . . . , wm ∈ Wm â ðàçëîæåíèè w = w1 + . . . + wm . 2Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ìàòðèöñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö (òàêèõ, ÷òî12.5>A = A)Rn×nÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâè êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö (òàêèõ, ÷òîA> = −A).Äîïîëíèòåëüíûå ïðîñòðàíñòâà è ïðîåêöèèÅñëè ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V ÿâëåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé ñâîèõ ïîäïðîñòðàíñòâL + M = V,òî M íàçûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì äëÿ L.  ñèëó ñèììåòðèè ñóììûî÷åâèäíî, ÷òî L ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì äëÿ M . òàêèõ ñëó÷àÿõ äëÿ ëþáîãî âåêòîðà v ∈ V ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèåv = x + y,ãäå x ∈ L, y ∈ M.84Ëåêöèÿ 12Âåêòîð x íàçûâàåòñÿ ïðîåêöèåé âåêòîðà v íà ïîäïðîñòðàíñòâî L ïàðàëëåëüíî (âäîëüïîäïðîñòðàñòâà) M , à y ïðîåêöèåé âåêòîðà v íà M ïàðàëëåëüíî L.Óòâåðæäåíèå.
Ñóììà äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ L + M ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà L ∩ M = {0}.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñóììà ïðÿìàÿ è x ∈ L ∩ M . Òîãäà ìû èìååì äâà ðàçëîæåíèÿ x = x + 0 è x = 0 + x, â êîòîðûõ ïåðâûé âåêòîð èç L, à âòîðîé èç M . Â ñèëóåäèíñòâåííîñòè êîìïîíåíò ðàçëîæåíèÿ, x = 0.Ïóñòü òåïåðü L ∩ M = {0}, è ïóñòü x1 + y1 = x2 + y2 , x1 , x2 ∈ L, y1 , y2 ∈ M . Îòñþäàx1 − x2 = −(y1 − y2 ) ∈ L ∩ M ⇒ x1 − x2 = −(y1 − y2 ) = 0 ⇒ x1 = x2 , y1 = y2 .
2 ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V âñåõ ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ (ðàäèóñ-âåêòîðîâ)ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü L è ïðÿìóþ M , ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Åñëè ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè, òî ñóììà L + M ðàâíà L è íå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé. Âî âñåõ äðóãèõñëó÷àÿõ èìååì ïðÿìóþ ñóììó V = L + M è ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ïðîåêöèè ðàäèóñÏÐÈÌÅÐ.−→âåêòîðà OA (òî÷êè A) íà äàííóþ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé è íà ïðÿìóþ ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè.12.6Âû÷èñëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâàÏîä âû÷èñëåíèåì êîíå÷íîìåðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà W â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå Vîáû÷íî ïîíèìàåòñÿ ïîñòðîåíèå êàêîãî-ëèáî åãî áàçèñà ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìûâåêòîðîâ w1 , . .
. , wk òàêîé, ÷òî W = L(w1 , . . . , wk ), k = dim W .ÏÐÈÌÅÐ.Ïóñòü ïîäïðîñòðàíñòâà W1 , W2 ⊂ R5 îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:• W1 ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìûx1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0,x4 + x5 = 0;• W2 ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0,2x3 + x4 + 2x5 = 0,x5 = 0.Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü ïîäïðîñòðàíñòâà W1 , W2 , W1 + W2 è W1Îáîçíà÷èì ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ11 1 1 1 1A=,B= 00 0 0 1 10TW2 .äàííûõ ñèñòåì ÷åðåç A è B . Òîãäà1 1 1 10 2 1 2 ;W1 = kerA, W2 = kerB.0 0 0 1Ìàòðèöû A è B èìåþò âåðõíþþ ñòóïåí÷àòóþ ôîðìó ñ ÷èñëîì ñòóïåíåíåé 2 è 3, ñîîòâåòñòââåííî. ÏîýòîìórankA = 2,rankB = 3⇒dim W1 = 5 − 2 = 3,dim W2 = 5 − 3 = 2.(Ðàçìåðíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ òåîðåìîé î ñòðîåíèè ìíîæåñòâà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.)Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ85Äàëåå, â ìàòðèöå A áàçèñíûìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, ñòîëáöû ñ íîìåðàìè 1, 4. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå áàçèñíûõ ìîæíî âûáðàòü íåèçâåñòíûå x1 , x4 ; îñòàëüíûå íåèçâåñòíûåx2 , x3 , x5 áóäóò ñâîáîäíûìè:x2 = 1, x3 = 0, x5 = 0x2 = 0, x3 = 1, x5 = 0x2 = 0, x3 = 0, x5 = 1⇒⇒⇒x1 = −1, x4 = 0;x1 = −1, x4 = 0;x1 = 0, x4 = −1.Òàêèì îáðàçîì,W1 = L(p1 , p2 , p3 ),ãäåp1 = −11000 , p2 = −10100 , p3 = 000−11. ìàòðèöå B áàçèñíûìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, ñòîëáöû ñ íîìåðàìè 1, 3, 5. Íåèçâåñòíûå x1 , x3 , x5 áàçèñíûå, à íåèçâåñòíûå x2 , x4 ñâîáîäíûå:x2 = 1, x4 = 0x2 = 0, x4 = 1⇒⇒x1 = −1, x3 = 0, x5 = 0;x1 = −1/2, x3 = −1/2, x5 = 0.Òàêèì îáðàçîì,W2 = L(q1 , q2 ),ãäåq1 = −11000 , q3 = −1/20−1/210.Äàëåå, W1 + W2 = L(p1 , p2 , p3 , q1 , q2 ) = im C , ãäå−1 −10 −1 −1/2 10010 .0100−1/2C = [p1 , p2 , p3 , q1 , q2 ] = 00 −101 00100Ïðîñòîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî rank C = 4, à áàçèñíûìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð,ñòîëáöû ñ íîìåðàìè 1, 2, 3, 5.
Ïîýòîìó âåêòîðû p1 , p2 , p3 , q2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû èW1 + W2 = L(p1 , p2 , p3 , q2 ),dim(W1 + W2 ) = 4.TÍàêîíåö, â ñèëó òåîðåìû Ãðàññìàíà, dimTW1 W2 = 3 + 2 − 4 = 1.  äàííîì ñëó÷àåìîæíî çàìåòèòü, ÷òî p1 = q1 ⇒ p1 ∈ W1 W2 . Ñëåäîâàòåëüíî,\W1 W2 = L(p1 ).Êîíå÷íî, äëÿ ïîèñêàT ïåðåñå÷åíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ìîæíî òàêæå çàìåòèòü, ÷òî âåêòîðx ïðèíàäëåæèò W1 W2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Ax = 0 è Bx = 0.
Òàêèì îáðàçîì, \\A0W1 W2 = ker A ker B = x :x=.B086Ëåêöèÿ 12 îáùåì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå ïåðåñå÷åíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâ\W = L(a1 , . . . , ak ) L(b1 , . . . , bm )ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéx 1 a1 + . . . + x k ak + y 1 b 1 + . . . + y m b m = 0(∗)ñ íåèçâåñòíûìè x1 , . . . , xk , y1 , . . . , ym . Èç ðàâåíñòâà (∗) ÿñíî, ÷òîv = x1 a1 + .
. . + xk ak = −(y1 b1 + . . . + ym bm ) ∈ W.Ïóñòü r = rank[a1 , . . . , ak , b1 , . . . , bm ]. Òîãäà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ äëÿ (∗)ñîñòîèò èç k + m − r âåêòîðîâ âèäàs11s1 k+m−r ... ... sk 1 , . . . , sk k+m−r ,......ãäå êîìïîíåíòû s1j , . .
. , skj ñîîòâåòñòâóþò íåèçâåñòíûì x1 , . . . , xk . Ïîñëå òîãî, êàê ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ïîñòðîåíà, ïîëó÷àåìW = L(v1 , . . . , vk+m−r ),vj = s1j a1 + . . . + skj ak ,j = 1, . . . , k + m − r.Ïðåäïîëîæèì, ÷òîdim L(a1 , . . . , ak ) = k,L(b1 , . . . , bm ) = m.Òîãäà â ñèëó òåîðåìû Ãðàññìàíà dim W = k + m − r, ïîýòîìó âåêòîðû v1 , . . . , vk+m−ráóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Ëåêöèÿ 1313.1Ëèíåéíûå ìíîãîîáðàçèÿÏóñòü W ïîäïðîñòðàíñòâî â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V è x íåêîòîðûé âåêòîð èçV . Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ âèäàM = {v = x + w : w ∈ W }íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãîáðàçèåì â V .
Îáîçíà÷åíèå: M = x + W .Ïîäïðîñòðàíñòâî W íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùèì ïðîñòðàíñòâîì äëÿ M è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ìíîæåñòâó M îäíîçíà÷íî.  ñàìîì äåëå, ïóñòüM = x1 + W1 = x 2 + W2 .TÎòñþäà x1 − x2 ∈ W1 W2 . Ïóñòü y ∈ W1 . Òîãäà y + (x1 − x2 ) ∈ W2Àíàëîãè÷íî, åñëè y ∈ W2 , òî y + (x2 − x1 ) ∈ W1 ⇒ y ∈ W1 . 2⇒y ∈ W2 .Äëÿ M = x + W âåêòîð x íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ñäâèãà.  êà÷åñòâå âåêòîðà ñäâèãàìîæíî âçÿòü ëþáîé âåêòîð èç M :M =x+W =y+W∀ y ∈ M.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü y = x + w0 äëÿ êàêîãî-òî w0 ∈ W . Òîãäà, åñëè z = x + w ïðèíåêîòîðîì w ∈ W , òî z = y + (x − y) + w = y + (−w0 + w). Çíà÷èò, x + W ⊂ y + W .Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
2Åñëè W êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, òî åãî ðàçìåðíîñòü íàçûâàåòñÿ òàêæå ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M = x + W .ÏÐÈÌÅÐ 1. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû Ax = b ñ m × n-ìàòðèöåé ðàíãà r ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ìíîãîáðàçèå v + W , ãäå v ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìûè W = kerA.Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè èëè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ýòî ëèíåéíîåìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè 1.
Ïëîñêîñòü â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ýòî ëèíåéíîåìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè 2.ÏÐÈÌÅÐ 2.Ïðè èçó÷åíèè ëèíåéíûõ ìíîãîîáðàçèé ýëåìåíòû âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà îáû÷íîíàçûâàþò òî÷êàìè. Ïî àíàëîãèè ñ ãåîìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì, ìîæíî äóìàòü îâåêòîðàõ êàê î ðàäèóñ-âåêòîðàõ, îòëîæåííûõ îò îáùåé íà÷àëüíîé òî÷êè, îòîæäåñòâëÿåìîé ñ íóëåâûì âåêòîðîì.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî äâà ëèíåéíûõ ìíîãîîáðàçèÿïðîñòðàíñòâàìèL1èL2a1 + L1ïåðåñåêàþòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà87a2 + L2 ñ íàïðàâëÿþùèìèa1 − a2 ∈ L1 + L2 .èïîä-8813.2Ëåêöèÿ 13Àôôèííûå ìíîæåñòâàÏóñòü x 6= y äâå òî÷êè â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V . Ìíîæåñòâî òî÷åê âèäàl = {z = x + t(y − x), t ∈ R}íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè x è y . Ìíîæåñòâî M ⊂ V íàçûâàåòñÿàôôèííûì ìíîæåñòâîì, åñëè âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè x 6= y îíî ñîäåðæèò âñåòî÷êè ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íèõ ïðÿìîé.Óòâåðæäåíèå.
Ëèíåéíûå ìíîãîîáðàçèÿ è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ àôôèííûìè ìíîæåñòâàìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M = x0 + L ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå ñ íàïðàâëÿþùèìïðîñòðàíñòâîì L è âåêòîðîì ñäâèãà x0 . Ïóñòü x = x0 + u, u ∈ L è y = x0 + v, v ∈ L.Òîãäà v − u ∈ L è ïîýòîìó x + t(y − x) = x0 + t(v − u) ∈ L äëÿ ëþáûõ t.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî M àôôèííîå ìíîæåñòâî. Çàôèêñèðóåì òî÷êó x0 ∈ Mè ðàññìîòðèì ìíîæåñòâîL = {z ∈ V : z = x − x0 , x ∈ M }.Äîêàæåì, ÷òî L ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Âî-ïåðâûõ, åñëè z ∈ L, òîαz = (x0 + α(x − x0 )) − x0 ∈ L.Âî-âòîðûõ, åñëè z1 = x1 − x0 ∈ L è z2 = x2 − x0 ∈ L, òî z1 + z2 = 2z , ãäå z =Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òîx2 − x1x1 + x2= x1 +∈M22x1 + x2− x0 .2⇒ z ∈ L ⇒ 2z ∈ L ⇒ z1 + z2 ∈ L. 2Ëþáîå ìíîæåñòâî òî÷åê S ñîäåðæèòñÿ, êîíå÷íî, â íåêîòîðîì àôôèííîì ìíîæåñòâå(íàïðèìåð, â V ).
Ïóñòü M ïåðåñå÷åíèå âñåõ òàêèõ àôôèííûõ ìíîæåñòâ. ßñíî, ÷òîM áóäåò òîæå àôôèííûì ìíîæåñòâîì, ïðè÷åì íàèìåíüøèì àôôèííûì ìíîæåñòâîì,ñîäåðæàùèì S . Îíî íàçûâàåòñÿ àôôèííîé îáîëî÷êîé ìíîæåñòâà S .13.3ÃèïåðïëîñêîñòèÏóñòü V âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n. Ëþáîå ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå M = v0 + L ⊂ V ðàçìåðíîñòè n − 1 íàçûâàåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ.Ïîñêîëüêó V èçîìîðôíî Rn , äàâàéòå ñ÷èòàòü, ÷òî V = Rn , è ðàññìîòðèì óðàâíåíèåîòíîñèòåëüíî âåùåñòâåííûõ íåèçâåñòíûõ x1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
