Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 74
Текст из файла (страница 74)
. . ≥ s2n1 jk ;(3)Ps2i1k ≥Pi,jPs2i2k ≥ . . . ≥s2ij1 ≥Pi,jPi,ki,ki,k(4)j,kj,kj,ks2ij2 ≥ . . . ≥Pi,js2in2 k ;s2ijn3 .Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç X1 , X2 , X3 ìàòðèöû ñå÷åíèé ìàññèâà X ïî îñÿìi, j, k è ðàññìîòðèì èõ ñèíãóëÿðíûå ðàçëîæåíèÿ:X1 = P > Σ1 V1 ,X2 = Q> Σ2 V2 ,X3 = R> Σ3 V3 ,Å. Å. Òûðòûøíèêîâ355ãäå ìàòðèöû P, Q, R, V1 , V2 , V3 îðòîãîíàëüíûå, à Σ1 , Σ2 , Σ3 äèàãîíàëüíûå ïðÿìîóãîëüíûå ìàòðèöû, â êîòîðûõ ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà çàíóìåðîâàíû ïî íåâîçðàñòàíèþ. Îòñþäàâûòåêàåò, ÷òî â êàæäîé èç ïðåîáðàçîâàííûõ ìàòðèö ñå÷åíèéX1 1 P = Σ1 V1 ,X2 2 Q = Σ2 V2 ,X3 3 R = Σ3 V3ñòðîêè ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû è ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå íåâîçðàñòàíèÿ èõ äëèí.Äàëåå, ñîãëàñíî äîêàçàííîé âûøå ëåììå, ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ñòðîê â ìàòðèöåñå÷åíèé ïî îñè i äëÿ ìàññèâà S = X {P, Q, R} òå æå ñàìûå, ÷òî è â ìàòðèöå ñå÷åíèéïî òîé æå îñè äëÿ ìàññèâà X 1 P .
Òî æå âåðíî â îòíîøåíèè ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèéñòðîê äëÿ ìàòðèö ñå÷åíèé ïî îñè j äëÿ ìàññèâîâ S è X 2 Q, à òàêæå è äëÿ ìàòðèöñå÷åíèé ïî îñè k äëÿ ìàññèâîâ S è X 3 R. Òåì ñàìûì äîêàçàíû ñâîéñòâà (1)(4). 2Ðàçëîæåíèå S = X {P, Q, R} ñ óêàçàííûìè ñâîéñòâàìè (1)(4) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì Òàêêåðà. Êîðíè êâàäðàòíûå èç ñóìì â (1)(4) ñóòü ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ìàòðèöñå÷åíèé ìàññèâà X ïî îñÿì i, j, k , ñîîòâåòñòâåííî.Âàæíîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå ðàçëîæåíèÿ Òàêêåðà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíî äàåò íàäåæíóþ áàçó äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé ìàññèâà X ñóììàìè ñ ìàëûì ÷èñëîì÷ëåíîâ ñ ðàçäåëåíèåì èíäåêñîâ i, j, k : äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåíèòü ñòðîêè ñ îòíîñèòåëüíî ìàëûìè äëèíàìè íà íóëè.
Ïîëó÷åííàÿ îò òàêîé çàìåíû ïîãðåøíîñòü ëåãêîîöåíèâàåòñÿ. çàäà÷àõ î âû÷èñëåíèè àïïðîêñèìàöèé ìàëîãî òåíçîðíîãî ðàíãà ðàçëîæåíèå Òàêêåðà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîáû ïîëó÷èòü íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå.Çàìåòèì, ÷òî ðàçëîæåíèå Òàêêåðà ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî ñ ïîìîùüþ ìàòðè÷íûõìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ.  ïðèíöèïå, àíàëîãè÷íûå ïîñòðîåíèÿìîæíî âûïîëíèòü è íà îñíîâå êàêèõ-ëèáî äðóãèõ ìåòîäîâ àïïðîêñèìàöèè ñ ïîíèæåíèåìðàíãà, ïðèìåíÿåìûõ ê ìàòðèöàì ñå÷åíèé ìàññèâà X .Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ìû îãðàíè÷èëèñü îáñóæäåíèåì òðåõìåðíûõ ìàññèâîâ, ðàçëîæåíèå Òàêêåðà ëåãêî ïåðåíîñèòñÿ è íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ ìíîãîìåðíûõ ìàññèâîâ.Òî æå ìîæíî ñêàçàòü è î äðóãèõ ïîñòðîåíèÿõ äàííîé ëåêöèè, â ÷àñòíîñòè î ôàêòååäèíñòâåííîñòè ïîëèëèíåéíûõ àïïðîêñèìàöèé ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè.356Ëåêöèÿ 65Ëèòåðàòóðà1.
Ñ. Â. Áàõâàëîâ, Ï. Ñ. Ìîäåíîâ, À. Ñ. Ïàðõîìåíêî, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, Ì., Íàóêà, 1964.2. Á. Ë. âàí äåð Âàðäåí, Àëãåáðà, Ì., Íàóêà, 1976.3. Ý. Á. Âèíáåðã, Êóðñ àëãåáðû, Ì., Èçäàòåëüñòâî Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002.4. Â. Â. Âîåâîäèí, ×èñëåííûå ìåòîäû àëãåáðû (òåîðèÿ è àëãîðèôìû), Ì., Íàóêà,1966.5. Â. Â. Âîåâîäèí, Ëèíåéíàÿ àëãåáðà, Ì., Íàóêà, 1980.6.
Â. Â. Âîåâîäèí, Âû÷èñëèòåëüíûå îñíîâû ëèíåéíîé àëãåáðû, Ì., Íàóêà, 1977.7. Â. Â. Âîåâîäèí, Å. Å. Òûðòûøíèêîâ, Âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåññû ñ òåïëèöåâûìèìàòðèöàìè, Ì., Íàóêà, 1987.8. Ô. Ð. Ãàíòìàõåð, Òåîðèÿ ìàòðèö, Ì., Ôèçìàòëèò, 1967.9. Ñ. Ê. Ãîäóíîâ, Ñîâðåìåííûå àñïåêòû ëèíåéíîé àëãåáðû, Íîâîñèáèðñê,Íàó÷íàÿ êíèãà, 1997.10. Äæ. Ãîëóá, ×. Âàí Ëîóí, Ìàòðè÷íûå âû÷èñëåíèÿ, Ì., Ìèð, 1999.11. Õ. Ä.
Èêðàìîâ, Çàäà÷íèê ïî ëèíåéíîé àëãåáðå, Ì., Íàóêà, 1975.12. Õ. Ä. Èêðàìîâ, ×èñëåííîå ðåøåíèå ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé, M., Íàóêà, 1984.13. Õ. Ä. Èêðàìîâ, ×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ëèíåéíûõ ñèñòåì, M.,Íàóêà, 1988.14. Õ. Ä. Èêðàìîâ, Íåñèììåòðè÷íàÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, M., Íàóêà,1991.15. Â. À. Èëüèí, Ý. Ã. Ïîçäíÿê, Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ, Ì., Íàóêà, 1981.16. Â. À. Èëüèí, Ã. Ä. Êèì, Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ,Èçäàòåëüñòâî ÌÃÓ, 1998.17. Ã.
Ä. Êèì, Ë. Â. Êðèöêîâ, Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ: Òåîðåìû è çàäà÷è,Ì., Èçäàòåëüñòâî Çåðöàëî, 2002 (òîì I), 2003 (òîì II).18. Â. Ã. Êàðìàíîâ, Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå, Ì., Íàóêà, 1975.357358.ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ19. À. È. Êîñòðèêèí, Ââåäåíèå â àëãåáðó, Ì., Íàóêà, 1977.20. À. È. Êîñòðèêèí (ðåä.), Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àëãåáðå, Ì., Íàóêà, 1987.21. À. Ã. Êóðîø, Êóðñ âûñøåé àëãåáðû, Ì., Íàóêà,1971.22. Ì.
Ì. Ïîñòíèêîâ, Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ,Ì., Íàóêà, 1979.23. Ì. Ì. Ïîñòíèêîâ, Îñíîâû òåîðèè Ãàëóà, Ì., Ôèçìàòëèò, 1960.24. Â. Â. Ïðàñîëîâ, Ìíîãî÷ëåíû, Ì., ÌÖÍÌÎ, 2001.25. È. Â. Ïðîñêóðÿêîâ, Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ëèíåéíîé àëãåáðå, Ì., Íàóêà, 1984.26.
Ã. Ñòðýíã, Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è åå ïðèìåíåíèÿ, Ì., Ìèð, 1980.27. Å. Å. Òûðòûøíèêîâ, Òåïëèöåâû ìàòðèöû, íåêîòîðûå èõ àíàëîãè è ïðèëîæåíèÿ,Îòäåë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè ÀÍ ÑÑÑÐ, Ì., 1989.28. Å. Å. Òûðòûøíèêîâ, Êðàòêèé êóðñ ÷èñëåííîãî àíàëèçà, Ì., ÂÈÍÈÒÈ, 1994.29. Äæ. Õ. Óèëêèíñîí, Àëãåáðàè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé,Ì. Ôèçìàòëèò, 1970.30.
Ä. Ê. Ôàääååâ, Ëåêöèè ïî àëãåáðå, Ì., Íàóêà, 1984.31. Ä. Ê. Ôàääååâ, Â. Í. Ôàääååâà, Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû,Ì.-Ë., Ôèçìàòëèò, 1963.32. Äæ. Ôîðñàéò, Ì. Ìàëüêîëüì, Ê. Ìîëåð, Ìàøèííûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêèõâû÷èñëåíèé, Ìèð, Ì., 1980.33. Ï. Õàëìîø, Êîíå÷íîìåðíûå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà, Ì., Ôèçìàòëèò, 1963.34. Ð.
Õîðí, ×. Äæîíñîí, Ìàòðè÷íûé àíàëèç, Ì., Ìèð, 1989.35. È. Ð. Øàôàðåâè÷, Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ àëãåáðû, Èæåâñê, ÐÕÄ, 2001.36. R. Bhatia, Matrix Analysis, SpringerVerlag, New York, 1996.37. G. W. Stewart, J. Sun, Matrix Perturbation Theory, Academic Press, San Diego, 1990..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
