Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 73
Текст из файла (страница 73)
. . , An−1 r0s−1Xγx + γyèëèy,ïðîöåññ(íå áîëåå ÷èñëà æîðäàíîâûõ êëåòîêA∗ (x + γy) =βj Aj y,xïðîöåññ ìîæåò îáðûâàòüñÿj=0s−1Xφj Aj (x + γy).j=0y = Ax,(αj + γβj−1 )Aj x + βs−1 As x = φ0 x +j=1s−1X(φj + γφj−1 )Aj x + φs−1 As x⇒j=1φ0 = α0 ;φj + γφj−1 = αj + γβj−1 , 1 ≤ j ≤ s − 1;φs−1 = βs−1 .γ : φ1 = α1 + γ(β0 − α0 ). Ýòî ðàâåíñòâî óìíîæèìφ2 = α2 + γ(β1 − α1 ) − γ 2 (β0 − α0 ). È òàê äàëåå.  èòîãå ïîëó÷àåìÂû÷òåì èç âòîðîãî ðàâåíñòâà ïåðâîå, óìíîæåííîå íàíàγè âû÷òåì èç òðåòüåãî ðàâåíñòâà:φs−1 = βs−1 = αs−1 + γ(βs−2 − αs−2 ) − γ 2 (βs−3 − αs−3 ) + . .
. + (−1)s γ s−2 (β0 − α0 ) ⇒s−2Xγ s−2−j (βj − αj )(−1)s−j = 0.j=0Ïîñëåäíåå ñîîîòíîøåíèå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà çíà÷åíèéâñåõ0 ≤ j ≤ s − 1.γ⇒αj = βjäëÿÑëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâîA∗ z =s−1Xαj Aj zj=0âûïîëíÿåòñÿ ñ îäíèìè è òåìè æå ÷èñëàìèþùèõ áàçèñ âCnαjz = x, Ax, . .
. , An−1 x,êîòîðîì aj = αj . 2äëÿ êàæäîãî èç âåêòîðîâ. Ïîýòîìó ïîëó÷àåì ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî(2),âîáðàçó-350Ëåêöèÿ 63Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 3964.1ÏóñòüËîêàëèçàöèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéA = [aij ] ∈ Cn×n .ÅñëèAx = λx, x 6= 0, òî ||Ax|| = ||λx|| ≤ ||A||||x||ëþáîé ìàòðè÷íîé íîðìû.⇒|λ| ≤ ||A||.Ïîëó÷åííîåíåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïðè èñïîëüçîâàíèè×òîáû ïîëó÷èòü áîëåå äåòàëüíóþ ëîêàëèçàöèþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöûêðóãè ÃåðøãîðèíàXDi (A) = {z ∈ C : |z − aii | ≤A,ðàññìîòðèì íàêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè òàê íàçûâàåìûå|aij |},1 ≤ i ≤ n.1≤j≤n, j6=iÏåðâàÿ òåîðåìà Ãåðøãîðèíà.
Ëþáîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A ∈ Cn×n ïðèíàäëåæèòîáúåäèíåíèþ êðóãîâ Ãåðøãîðèíà äëÿ A è îäíîâðåìåííî îáúåäèíåíèþ êðóãîâ Ãåðøãîðèíà äëÿ A> .PÄîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî |aii − λ| >|aij |, 1 ≤ i ≤ n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî A − λI1≤j≤n, j6=iÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì ïî ñòðîêàì è ïîýòîìó îáðàòèìà (ñì. ðàçäåë 8.10).Çíà÷èò, íèêàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëîλ∈/SDi (A)íå ìîæåò áûòü ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì äëÿA.
21≤i≤nÂòîðàÿ òåîðåìà Ãåðøãîðèíà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáúåäèíåíèå k êðóãîâ Ãåðøãîðèíà D = Di1 ∪ . . . ∪Dik äëÿ ìàòðèöû A íå èìååò îáùèõ òî÷åê ñ îñòàëüíûìè êðóãàìè Ãåðøãîðèíà. Òîãäà D ñîäåðæèòðîâíî k ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû A.Äîêàçàòåëüñòâî.B = [bij ] äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n ñ ýëåìåíòàìè bii = aiiA(t) = At + (1 − t)B ïðè 0 ≤ t ≤ 1. Î÷åâèäíî, A(0) = B è A(1) = A.>Îáîçíà÷èì ÷åðåç λ(t) = [λ1 (t), . .
. , λn (t)]âåêòîð-ñòîëáåö, ñîñòàâëåííûé èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéìàòðèöû A(t), è ÷åðåç ν(t) ÷èñëî êîìïîíåíò λ(t), ïðèíàäëåæàùèõ D . Çàôèêñèðóåì t0 . Òîãäà ïðè âñåõt, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê t0 , äîëæíî áûòü ν(t) = ν(t0 ). Åñëè ýòî íå òàê, òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòütm , ñõîäÿùàÿñÿ ê t0 ïðè m → ∞ è òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé ìàòðèöû ïåðåñòàíîâêè PÎáîçíà÷èì ÷åðåçè ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ìàòðèöρ1 (λ(tm ), λ(t0 )) ≥ ||λ(t0 ) − P λ(tm )||1 ≥ d ≡ãäåD0 îáúåäèíåíèå êðóãîâ Ãåðøãîðèíà, íå âõîäÿùèõ âinfu∈D, v∈D 0|u − v|,D. Äàííîå íåðàâåíñòâî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìåî íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè êîðíåé ìíîãî÷ëåíà îò êîýôôèöèåíòîâ (à çíà÷èò, è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéìàòðèöû îò åå ýëåìåíòîâ).
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿçíà÷åíèÿ⇒ ν(t) êîíñòàíòà. Ïðè ýòîìν(0) = kν(t) íåïðåðûâíà ïî t è ïðèíèìàåò öåëî÷èñëåííûå⇒ ν(t) = k äëÿ âñåõ 0 ≤ t ≤ 1. 2Îòìåòèì åùå îäíî ïðîñòîå óòâåðæäåíèå, ïðèâîäÿùåå ê ñåðèè ðåçóëüòàòîâ ïî ëîêàëèçàöèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðè âîçìóùåíèÿõ çàäàííîé ìàòðèöû.Òåîðåìà ÁàóýðàÔàéêà. Åñëè µ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû B = A + F , íî íåÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû A, òî 1/||(A − µI)−1 ||2 ≤ ||F ||2 .Äîêàçàòåëüñòâî.âûðîæäåííàÿ⇒B − µI = (A − µI) + F âûðîæäåííàÿ||(A − µI) ||2 ||F ||2 ≥ ||(A − µI)−1 F ||2 ≥ 1. 2Ìàòðèöà⇒ìàòðèöàI + (A − µI)−1 F−1Ñëåäñòâèå. Ïóñòü A äèàãîíàëèçóåìàÿ ìàòðèöà, è ïðåäïîëîæèì,÷òî AX = XΛ, ãäå X ìàòðèöàèç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, Λ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ1 , . . .
, λn ìàòðèöû A.Òîãäà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû B = A + F ïðèíàäëåæàò îáúåäèíåíèþ êðóãîâ âèäàKi = {z ∈ C : |z − λi | ≤ ||X||2 ||X −1 ||2 ||F ||2 },3511 ≤ i ≤ n.352Ëåêöèÿ 64Äîêàçàòåëüñòâî.çíà÷åíèå äëÿ64.2µÏóñòüΛ + X −1 F X , ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿíî íå äëÿΛ.B,íî íå äëÿA.Òîãäàµåñòü ñîáñòâåííîåÎñòàåòñÿ ïðèìåíèòü òåîðåìó ÁàóýðàÔàéêà.2Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñïåêòðàìè íîðìàëüíûõ ìàòðèöÒåîðåìà ÂèëàíäòàÕîôôìàíà. Ïóñòü A è B íîðìàëüíûå ìàòðèöû ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λ1 (A), . . . , λn (A) è λ1 (B), . .
. , λn (B). Òîãäà äëÿ íåêîòîðîé ïîäñòàíîâêè σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}nX|λi (A) − λσ(i) (B)|2 ≤ ||A − B||2F .i=1Äîêàçàòåëüñòâî.A = QΦQ∗ , B = ZΨZ ∗ , ãäå Q, Z óíèòàðíûå ìàòðèöû, à Φ è Ψ äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé φi = λi (A) è ψi = λi (B).
 ñèëó óíèòàðíîé èíâàðèàíòíîñòè∗∗íîðìû Ôðîáåíèóñà, ||A − B||F = ||Φ − V ΨV ||F , ãäå V = Q Z óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Äàëåå,||Φ − V ΨV ∗ ||2FÇàïèøåìtr(Φ∗ − V Ψ∗ V ∗ )(Φ − V ΨV ∗ ) = tr(Φ∗ Ψ) + tr(Φ∗ Ψ) − 2Re (tr(Φ∗ V )(ΨV ∗ ))nnn XnXXX=|φi |2 +|ψi |2 − 2αij sij ,αij = Re(φi ψj ), sij = |vij |2 .=i=1i=1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ìàòðèöài=1 j=1S = [sij ] ÿâëÿåòñÿ äâîÿêîñòîõàñòè÷åñêîé (ñì. ðàçäåë 37.9). Ïîýòîìó ïðèαij ôóíêöèîíàëôèêñèðîâàííûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõf (S) =n XnXαij siji=1 j=1ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà ìíîæåñòâå äâîÿêîñòîõàñòè÷åñêèõ ìàòðèö. Ýòîçàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî⇒ìàêñèìóì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà íà íåì äîñòè-ãàåòñÿ â êàêîé-òî óãëîâîé òî÷êå (ñì. ðàçäåë 26.7).
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî óãëîâûìè òî÷êàìèìíîæåñòâà äâîÿêîñòîõàñòè÷åñêèõ ìàòðèö ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöû ïåðåñòàíîâîê è òîëüêî îíèíåêîòîðîé ìàòðèöû ïåðåñòàíîâêèPè ñîîòâåòñòâóþùåé åé ïîäñòàíîâêåmax f (s) ≤ f (P ) =S||A − B||2F ≥nXαi σ(i) =i=1nXäëÿRe (φi ψσ(i) ) ⇒i=1n X|φi |2 + |ψσ(i) |2 − 2Re (φi ψσ(i) ) =|φi − ψσ(i) |2 . 2i=1Çàìå÷àíèå.nX⇒σi=1Òåîðåìà î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè êîðíåé ìíîãî÷ëåíà îò êîýôôèöèåíòîâ â äàííîì äî-êàçàòåëüñòâå íå èñïîëüçîâàëàñü. Ïîýòîìó òåîðåìà ÂèëàíäòàÕîôôìàíà äàåò åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâîôàêòà íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû îò åå êîýôôèöèåíòîâ äëÿ ñïåöèàëüíîãî êëàññà ìàòðèö äëÿ íîðìàëüíûõ ìàòðèö.Ñëåäñòâèå.
Ïóñòü A è B ýðìèòîâû ìàòðèöû ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè λ1 (A) ≥ . . . ≥ λn (A)è λ1 (B) ≥ . . . ≥ λn (B). ÒîãäànX(λi (A) − λi (B))2 ≤ ||A − B||2F .i=1Äîêàçàòåëüñòâî.i1 < i2 ,Ïóñòüφi = λi (A)èψi = λi (B).Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî åñëèφσ(i1 ) < φσ(i2 )òî(φi1 − ψσ(i1 ) )2 + (φi2 − ψσ(i2 ) )2 ≥ (φi1 − ψσ(i2 ) )2 + (φi2 − ψσ(i1 ) )2 . 2ïðèÄîïîëíåíèå ê ëåêöèè 4065.1Ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàññèâîâ ñ ïîìîùüþ ìàòðèöÏîñëå îáñóæäåíèÿ ïðîáëåì è òðóäíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ ìíîãîìåðíûìè ìàññèâàìè, îñîáåííî ïðèÿòíî çàêîí÷èòü òåìó îäíèì ïîëîæèòåëüíûì ðåçóëüòàòîì, ëåãêî ïîëó÷àåìûìñ ïîìîùüþ èçó÷åííîé íàìè ìàòðè÷íîé òåõíèêè.
Ðå÷ü èäåò î òàê íàçûâàåìîì ðàçëîæåíèè Òàêêåðà î íåì íåðåäêî ãîâîðÿò êàê î ìíîãîìåðíîì îáîáùåíèè ñèíãóëÿðíîãîðàçëîæåíèÿ.Ôîðìóëèðîâêà ðåçóëüòàòà òðåáóåò íåáîëüøîé ïîäãîòîâêè. Ïóñòü X = [xijk ] òðåõìåðíûé ìàññèâ ðàçìåðîâ n1 × n2 × n3 , è ïóñòü P = [pi0 i ], Q = [qj 0 j ], R = [rk0 k ] ìàòðèöûðàçìåðîâ n01 × n1 , n02 × n2 , n03 × n3 , ñîîòâåòñòâåííî. Îïðåäåëèì íîâûé òðåõìåðíûé ìàññèâX 0 = [x0i0 j 0 k0 ] ñëåäóþùèì îáðàçîì:x0i0 j 0 k0=n1 Xn2 Xn3Xpi0 i qj 0 j rk0 k xijk .i=1 j=1 k=1Èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî X 0 åñòü ñâåðòêà ìàññèâà X ñ ìàòðèöàìè P, Q, R.
Îáîçíà÷åíèå:X 0 = X {P, Q, R}. Êðîìå òîãî, ïî îïðåäåëåíèþ,X 1 P = X {P, In2 ×n2 , In3 ×n3 },X 2 Q = X {In1 ×n1 , Q, In3 ×n3 },X 3 R = X {In1 ×n1 , In2 ×n2 , R}.Ñîãëàñíî äàííûì îïðåäåëåíèÿì,X 0 = X {P, Q, R}= ((X 1 P ) 2 Q) 3 R = ((X 2 Q) 3 R) 1 P = ((X 3 R) 1 P ) 2 Q= ((X 3 R) 2 Q) 1 P = ((X 2 Q) 1 P ) 3 R = ((X 1 P ) 3 R) 2 Q.65.2Îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàññèâîâÎáîçíà÷èì ÷åðåç X1 , X2 , X3 è X10 , X20 , X30 ìàòðèöû ñå÷åíèé ìàññèâîâ X è X 0 ïî îñÿìi, j, k . Òîãäà ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîX 0 = X1 P ⇔ X10 = P X1 ,X 0 = X2 Q ⇔ X20 = QX2 ,X 0 = X3 R ⇔ X30 = RX3 .Ëåììà.
Ïóñòü ìàòðèöû P, Q, R îðòîãîíàëüíûå. Òîãäà åñëè X 0 = (X 1 P ) 2 Q, òîñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ñòðîê ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè â ìàòðèöàõ X30 è X3 îäèíàêîâû. Àíàëîãè÷íî, åñëè X 0 = (X 1 P ) 3 R, òî îäèíàêîâû ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ñòðîê353354Ëåêöèÿ 65â ìàòðèöàõ X20 è X2 ; åñëè X 0 = (X 2 Q) 3 R, òî îäèíàêîâû ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿñòðîê â ìàòðèöàõ X10 è X1 .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü X 0 = (X 1 P ) 2 Q. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîx0i0 j 0 k=n1 Xn2Xpi0 i qj 0 j xijk .i=1 j=1Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ ñòðîê ìàòðèöû X30 ñ íîìåðàìè k1 è k2 :!!XX XXXXXXpi0 i1 qj 0 j1 xi1 j1 k1pi0 i2 qj 0 j2 xi2 j2 k2 =x0i0 j 0 k1 x0i0 j 0 k2 =i0j0i0j0i1j1i2!XXXX Xi1j1i2j2XXXXi1j1i2pi0 i1 pi0 i2i0j2!Xqj 0 j1 qj 0 j2xi1 j1 k1 xi2 j2 k2 =j0δi1 i2 δj1 j2 xi1 j1 k1 xi2 j2 k2 =j2XXi1xi1 j1 k1 xi1 j1 k2 .j1Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè òàê íàçûâàåìûé ñèìâîë Êðîíåêåðà:0, α 6= β,δαβ =1, α = β.Ïîëó÷åíî ïåðâîå óòâåðæäåíèå ëåììû. Îñòàëüíûå äâà óòâåðæäåíèÿ óñòàíàâëèâàþòñÿàíàëîãè÷íûì îáðàçîì. 265.3Ðàçëîæåíèå ÒàêêåðàÒåîðåìà. Äëÿ ëþáîãî òðåõìåðíîãî ìàññèâà X = [xijk ] ðàçìåðîâ n1 × n2 × n3 ñóùåñòâóþò îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû P, Q, R òàêèå, ÷òî òðåõìåðíûé ìàññèâS = [sijk ] ≡ X {P, Q, R}îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(1) êàæäàÿ èç òðåõ ìàòðèö ñå÷åíèé äëÿ S èìååò ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå ñòðîêè;PPP 2(2)s1jk ≥ s22jk ≥ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
