Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ðàäèóñ-âåêòîð äëÿ z̄ ïîëó÷àåòñÿ èç ðàäèóñ-âåêòîðà äëÿz ñèììåòðè÷íûì îòðàæåíèåì îòíîñèòåëüíî ïåðâîé îñè. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî z̄ z = |z|2 .Îòìå÷åííûå ñâîéñòâà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë óïðîùàþò ïîëó÷åíèå íåêîòîðûõ èíòåðåñíûõ ôîðìóë. Íàïðèìåð, ÷òîáû âû÷èñëèòü ñóììóSn =nPcos kφ,çàìåòèì, ÷òîk=1Sn = RenPzkk=1Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ñ ñóììèðîâàíèþ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:14.3z = cos φ + i sin φ. n+1 Sn = Re z z−1−z ., ãäåÏðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòèÑ ïîìîùüþ êîìïëåêíûõ ÷èñåë ìîæíî çàäàâàòü âçèìíî-îäíîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ ïëîñêîñòè íà ñåáÿ.
Íàïðèìåð, ôèêñèðóåì w ∈ C è ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå z → z + w.Ýòî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ (ñäâèã) òî÷åê íà âåêòîð, çàäàííûé êîìïëåêñíûì ÷èñëîì w.Äàëåå, ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå z → wz â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî |w| = 1.  ñèëó òîãî,÷òî |w| = 1, íàõîäèì |wz| = |z|. Ïðè ýòîì ðàäèóñ-âåêòîð äëÿ wz ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîìðàäèóñ-âåêòîðà äëÿ z íà óãîë φ = arg w. Òàêèì îáðàçîì, óìíîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåëíà ôèêñèðîâàííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî w ñ ìîäóëåì 1 çàäàåò ïîâîðîò íà óãîë, ðàâíûéàðãóìåíòó ÷èñëà w.Óìíîæåíèå íà âåùåñòâåííîå ÷èñëî ρ > 0 çàäàåò ãîìîòåòèþ êàæäûé ðàäèóñâåêòîð óìíîæàåòñÿ íà ρ (ðàñòÿãèâàåòñÿ â ρ ðàç).Ïîñêîëüêó â ñëó÷àå w 6= 0 ìîæíî çàïèñàòü w = |w| we, ãäå we = w/|w| è, ñëåäîâàòåëüíî, |w|e = 1, óìíîæåíèå íà ïðîèçâîëüíîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî w 6= 0 ñâîäèòñÿ êêîìïîçèöèè (ïîñëåäîâàòåëüíîìó âûïîëíåíèþ) äâóõ îòîáðàæåíèé: ïîâîðîòà è ãîìîòåòèè.Ïðåîáðàçîâàíèå âèäà z → z̄ òàêæå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì.
Ýòî ñèììåòðè÷íîå îòðàæåíèå îòíîñèòåëüíî ïåðâîé îñè. Íî îíî óæå íå ïðåäñòàâèìî â âèäå êîìïîçèöèèïîâîðîòîâ, ãîìîòåòèé è ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ. Ñêàçàííîå îçíà÷àåò, ÷òî íè äëÿ êàêèõ1  òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ äàåòñÿ ñïåöèàëüíîå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè â ëåâîé÷àñòè, à äàííîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿäåëåíèÿ.ôîðìóëîé Ýéëåðàè äîêàçûâàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî îïðå-96Ëåêöèÿ 14êîìïëåêñíûõ ÷èñåë a, b íåëüçÿ ïîëó÷èòü ðàâåíñòâî z̄ = a + bz , âåðíîå äëÿ âñåõ z ∈ C.Äîêàæèòå!Óòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâî T îòîáðàæåíèé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âèäàΦ(z) = a + bzèëè Φ̄(z) = a + bz̄,ãäå a, b ∈ C,|b| = 1,îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé.Äîêàçàòåëüñòâî.
Êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé ΦΨ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì:(ΦΨ)(z) = Φ(Ψ(z)). Ïóñòü Φ(z) = a + bz è Ψ(z) = c + dz ïðèíàäëåæàò T . Ýòî îçíà÷àåò,÷òî |b| = |d| = 1. ÒîãäàΦ(Ψ(z)) = a + b(c + dz) = (c + bc) + (bd)z.Ïîñêîëüêó |bd| = |b||d| = 1, äàííîå îòîáðàæåíèå òàêæå ïðèíàäëåæèò T . Ðîëü åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà âûïîëíÿåò òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå z → z , êîòîðîå, î÷åâèäíî,ïðèíàäëåæèò T .
Äàëåå, åñëè w = a+bz , òî z = a− b̄w. Ïîñêîëüêó |− b̄| = 1, îòîáðàæåíèå,îáðàòíîå ê Φ, òàêæå ïðèíàäëåæèò T .Òåïåðü çàìåíèì Φ íà Φ̄ èëè Ψ íà Ψ̄. Êîìïîçèöèÿ òàêèõ îòîáðàæåíèé è îáðàòíûå êíèì òàêæå ïðèíàäëåæàò T äëÿ ïðîâåðêè íóæíû âûêëàäêè, àíàëîãè÷íûå ïðåäûäóùèì. 2Âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè z → Φ(z) íàçûâàåòñÿ äâèæåíèåì,åñëè îíî ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè: |Φ(z1 ) − Φ(z2 )| = |z1 − z2 | ∀ z1 , z2 ∈ C.Èç íàøèõ ïðåäûäóùèõ îáñóæäåíèé ïîíÿòíî, ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå èç T ÿâëÿåòñÿêîìïîçèöèåé ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ, ïîâîðîòîâ è ñèììåòðè÷íûõ îòðàæåíèé.
Êàæäîåèç äàííûõ îòîáðàæåíèé ñïåöèàëüíîãî âèäà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì. Ïîýòîìó ëþáîå îòîáðàæåíèå èç T åñòü äâèæåíèå. Âåðíî è îáðàòíîå ýòî âåñüìà ïðèìå÷àòåëüíûé ôàêò,äàþùèé ïîëíîå îïèñàíèå âñåõ ìûñëèìûõ äâèæåíèé (è òðåáóþùèé áîëåå îáñòîÿòåëüíîãîäîêàçàòåëüñòâà, íà êîòîðîì ìû íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ).Ïðèìåð áîëåå ñëîæíîãî îòîáðàæåíèÿ: z → 1/z . Îíî íå îïðåäåëåíî ïðè z = 0, íîÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì íà ìíîæåñòâå C\{0}. ×àñòî ê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèäîáàâëÿåòñÿ àáñòðàêòíàÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿS òî÷êà ∞, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîÿâëÿåòñÿðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C = C {∞}. Òîãäà îòîáðàæåíèå z → 1/z ìîæíîïðåâðàòèòü âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå íà C, ïðèíÿâ ñîãëàøåíèå î òîì, ÷òî 0ïåðåõîäèò â ∞, à ∞ ïåðåõîäèò â 0. Îòîáðàæåíèå z → 1/z ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûéñëó÷àé òàê íàçûâàåìûõ äðîáíî-ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé âèäàz → Φ(z) =a + bz,c + dzãäå a, b, c, d ôèêñèðîâàííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ïðè÷åì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî Φ(z) íåÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííîé êîíñòàíòîé: ad − bc 6= 0.Åñëè d = 0, òî äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåííîìó âûøå.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òîd 6= 0. Òîãäà Φ(z) íå îïðåäåëåíî ïðè z = −c/d. Åñëè óñëîâèòüñÿ, ÷òî Φ(−c/d) = ∞ è Φ(∞) = −c/d,òî Φ áóäåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì íà ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Äðîáíîëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ îáëàäàþò ðÿäîì çàìå÷àòåëüíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ (íàïðèìåð, îíè ïåðåâîäÿò îêðóæíîñòè è ïðÿìûå â îêðóæíîñòè èëè ïðÿìûå äîêàæèòå!) è èãðàþò âàæíóþ ðîëü âòåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèåz 7→ az − b̄,z−b|a| = 1,Im(b)< 0,Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ97ïåðåâîäèò òî÷êè (êîìïëåêñíûå ÷èñëà) âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè â òî÷êè åäèíè÷íîãî êðóãà ñ öåíòðîì âíà÷àëå êîîðäèíàò.Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèåz 7→ az − b̄,1 − zb|a| = 1, |b| < 1,ïåðåâîäèò òî÷êè (êîìïëåêñíûå ÷èñëà) åäèíè÷íîãî êðóãà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò â òî÷êè òîãîæå ìíîæåñòâà.14.4Êîðíè èç åäèíèöûÊîìïëåêñíîå ÷èñëî z íàçûâàåòñÿ êîðíåì ñòåïåíè n èç åäèíèöû , åñëè z n = 1.Ôîðìóëà Ìóàâðà.
Åñëè z = |z| (cos φ + i sin φ), òîz n = |z|n (cos(nφ) + i sin(nφ)).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ó÷åñòü, ÷òî ïðè óìíîæåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ìîäóëèïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ.2Ñëåäñòâèå. Ñóùåñòâóåò ðîâíî n ðàçëè÷íûõ êîðíåé èç åäèíèöû ñòåïåíè n. Ýòî êîì-ïëåêñíûå ÷èñëà âèäài 2πknzk = e= cos2π kn+ i sin2π kn,k = 0, 1, . . . , n − 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z = |z| (cos φ + i sin φ) åñòü êîðåíü èç åäèíèöû ñòåïåíè n.Òîãäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå Ìóàâðà, |z| = 1 è cos(nφ) = 1 (⇒ sin(nφ) = 0). Îòñþäàφ=2π k,nk = 0, ±1, ±2, .
. . .Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì öåëîì k êîìïëåêñíîå ÷èñëî âèäà2π k2π kzk = cos+ i sinnnÿâëÿåòñÿ êîðíåì ñòåïåíè n èç åäèíèöû .  ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ñèíóñà è êîñèíóñà î÷åâèäíî, ÷òî zk = zl , åñëè l = k + m n, m = 0, ±1, ±2, . . . . Åñëè æå 0 ≤ k, l ≤ n − 1, òîðàâåíñòâî zk = zl âîçìîæíî ëèøü ïðè k = l äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî êîìïëåêñíûå÷èñëà z0 , z1 , . . .
, zn−1 ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, âïèñàííîãî âåäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü. 214.5Ãðóïïà êîðíåé ñòåïåíè n èç åäèíèöûÂâåäåì îáîçíà÷åíèå Kn äëÿ ìíîæåñòâà êîðíåé ñòåïåíè n èç åäèíèöû. Ìû òîëüêî ÷òîäîêàçàëè, ÷òî Kn ñîäåðæèò ðîâíî n êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Ìíîæåñòâî Kn ÿâëÿåòñÿ, êàê ëåãêî âèäåòü, ãðóïïîé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Áîëåå òîãî, Kn ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé ãðóïïîé.  ñàìîì äåëå,zk = εk , ãäå ε = cos(2π/n) + i sin(2π/n) = z1 .Êîðåíü zm = εm íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ñòåïåíè n èç åäèíèöû, åñëèKn = {(εm )0 , (εm )1 , ..., (εm )n−1 }.98Ëåêöèÿ 14Ïðåäïîëîæèì, ÷òî εm ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü.
Òîãäà ðàâåíñòâî εmp = 1 â ñëó÷àå0 < p ≤ n âëå÷åò çà ñîáîé ðàâåíñòâî p = n (åñëè εp = 1, òî ñòåïåíè ÷èñëà ε íå ìîãóòïîðîäèòü áîëåå, ÷åì p ÷èñåë).Óòâåðæäåíèå 1. Êîðåíü èç åäèíèöû εm ∈ Kn ïðè m ≥ 1 ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûìòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëà m è n âçàèìíî ïðîñòû (íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ýòèõ ÷èñåë ðàâåí 1).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî εm ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì, íî ÷èñëà mè n âñå æå èìåþò íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü d > 1: n = dp è m = dq ïðè öåëûõ p, qè d > 1. Òîãäà (εm )p = εmp = εdqp = εqn = 1 ïðè 0 < p < n ⇒ ñòåïåíè ÷èñëà εm íåìîãóò ïîðîäèòü áîëåå, ÷åì p < n ÷èñåë ⇒ êîðåíü εm íå ìîæåò áûòü ïåðâîîáðàçíûì.Ïóñòü òåïåðü m è n âçàèìíî ïðîñòû. Äîêàæåì, ÷òî εm ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûìêîðíåì. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî åñëè εk = εl ïðè 0 ≤ k, l ≤ n − 1, òî k = l. ñàìîì äåëå, m(k − l) äîëæíî íàöåëî äåëèòüñÿ íà n. Ïîñêîëüêó m è n âçàèìíî ïðîñòû,k − l äîëæíî äåëèòüñÿ íà n ⇒ k = l. 2 òåîðèè ÷èñåë êîëè÷åñòâî ÷èñåë îò 1 äî n, âçàèìíî ïðîcòûõ ñ n, îáîçíà÷àåòñÿ φ(n),à ôóíêöèÿ φ(n) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ýéëåðà.
2Óòâåðæäåíèå 2. Ñóììà âñåõ êîðíåé èç åäèíèöû ñòåïåíè n ðàâíà íóëþ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó zk = εk , òðåáóåòñÿ íàéòè ñóììó ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîéïðîãðåññèè:n−1Xzk =k=0k=0Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òîn−1Pn−1Xεk =εn − 1= 0.ε−1(x + εk y)n = n(xn + y n ),ãäå2ε = cos(2π/n) + i sin(2π/n).k=0Çàäà÷à.Èñïîëüçóÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà, äîêàçàòü, ÷òî(a) x2n − 1 = (x2 − 1)n−1Y(x2 − 2x cos(πk/n) + 1);k=114.6(b)n−1Ysink=1πk2n√=n2n−1.Ìàòðèöû ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìèÌíîæåñòâî ìàòðèö ðàçìåðîâ m × n ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìè îáîçíà÷àåòñÿ Cm×n .Åñëè A = [aij ] ∈ Cm×n , òî ìàòðèöà òåõ æå ðàçìåðîâ ñ çàìåíîé ýëåìåíòîâ íà êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûå ê íèì ÷àñòî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Ā = [āij ].Ìàòðèöà Ā> íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííîé ê A ìàòðèöåé.
Îáîçíà÷åíèå: A∗ = Ā> .Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñîïðÿæåííûõ ìàòðèö:• (AB)∗ = B ∗ A∗ ;• det A∗ = det A;• ìàòðèöà A îáðàòèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáðàòèìà ñîïðÿæåííàÿ ìàòðèöàA∗ , ïðè ýòîì (A∗ )−1 = (A−1 )∗ (èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå A−∗ = (A∗ )−1 ).2 Ôóíêöèÿ Ýéëåðà îáëàäàåò ðÿäîì çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ. Íàïðèìåð,âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåëaèb äîêàæèòå!φ(ab) = φ(a)φ(b)äëÿ ëþáûõËåêöèÿ 1515.1Êîëüöà è ïîëÿ ïðîöåññå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè ïîñòîÿííî íàõîäèëèñü ïðè÷èíû äëÿ òîãî, ÷òîáû ââîäèòü áîëåå îáùèå ïîíÿòèÿ ÷èñëà. Îáùåèçâåñòíà, ïî êðàéíåé ìåðå, òàêàÿ öåïî÷êà ðàñøèðåíèé:N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C,N = {1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
