Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Ïîýòîìóñóùåñòâóåò âåùåñòâåííîå ÷èñëî M òàêîå, ÷òî Φ(z) ≤ M äëÿ âñåõ z ∈ Π. ×èñëî Míàçûâàåòñÿ âåðõíåé ãðàíüþ äëÿ Φ(z).Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë Φ(Π) = {x : x = Φ(z), z ∈ Π}. Ïîñêîëüêó îíî îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî äëÿ íåãî ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü M ∗ òàêàÿâåðõíÿÿ ãðàíü, êîòîðàÿ ëèáî ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó, ëèáî ê íåé ñõîäèòñÿ íåêîòîðàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòëè÷íûõ îò íåå ÷èñåë èç äàííîãî ìíîæåñòâà. 2 Èòàê, ïóñòü zk ∈ Πè Φ(zk ) → M ∗ . Ïî òåîðåìå Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà, èìååòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü zki ,ñõîäÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå z ∗ ∈ Π.
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè,M ∗ = lim Φ(zki ) = Φ(z ∗ ).k→∞Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ Ψ(z) = −Φ(z) îãðàíè÷åíà ñâåðõó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàΦ(z) îãðàíè÷åíà ñíèçó. Çíà÷èò, íàìè äîêàçàíî òàêæå ñóùåñòâîâàíèå íèæíåé ãðàíè äëÿΦ(z). Îïèðàñü íà óæå äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå, çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ Ψ(z) ñóùåñòâóåòòî÷êà z∗ ∈ Π òàêàÿ, ÷òî Ψ(z) ≤ Ψ(z∗ ) äëÿ âñåõ z ∈ Π. Îòñþäà Φ(z∗ ) ≤ Φ(z) äëÿ âñåõz ∈ Π.
217.4Ñâîéñòâà ìîäóëÿ ìíîãî÷ëåíàÐàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåíf (z) = a0 + a1 z + . . . + an−1 z n−1 + z n2 Äàííûé ôàêò äîêàçûâàåòñÿ â êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.(#)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ115ñ êîìïëåêíûìè êîýôôèöèåíòàìè è ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì an = 1, n ≥ 1.Ëåììà î íåïðåðûâíîñòè ìîäóëÿ ìíîãî÷ëåíà. Ôóíêöèÿ Φ(z) = |f (z)| íåïðåðûâíàïðè âñåõ z ∈ C.Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåïðåðûâíîñòè Φ(z) â òî÷êå z = z0 äîñòàòî÷íîóñòàíîâèòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè Φ(z0 +h) îò h ∈ C â òî÷êå h = 0. ßñíî, ÷òî f (z0 +h)åñòü ìíîãî÷ëåí îò h:f (z0 + h) = b0 + b1 h + . . . + bn−1 hn−1 + hn ,ãäå b0 = f (z0 ).Îòñþäà íàõîäèì|Φ(z0 + h) − Φ(z0 )|=≤≤||f (z0 + h)| − |f (z0 )|| ≤ |f (z0 + h) − f (z0 )||b1 h + . . . + bn−1 hn−1 + hn ||b1 ||h| + . . . + |bn−1 ||h|n−1 + |h|n .2Ëåììà î ðîñòå ìîäóëÿ ìíîãî÷ëåíà. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà M > 0 ñóùåñòâóåò R > 0òàêîå, ÷òî èç íåðàâåíñòâà |z| ≥ R âûòåêàåò, ÷òî |f (z)| ≥ M .Äîêàçàòåëüñòâî. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî |z i | = |z|i , ïîëó÷àåì|f (z)| ≥ |z n | − |a0 + a1 z + .
. . + an−1 z n−1 | ≥ |z|n − |a0 | − |a1 ||z| − . . . − |an−1 ||z|n−1 .Îáîçíà÷èì ÷åðåç A ìàêñèìàëüíîå èç ÷èñåë |a0 |, . . . , |an−1 |. Òîãäà ïðè |z| ≥ 1 íàõîäèìnAn.|f (z)| ≥ |z| 1 −|z|Äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî M > 0 ïîëîæèìR = max{1, 2nA,√n2M }.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè |z| ≥ R, òînA2Mn|f (z)| ≥ R 1 −= Rn /2 ≥= M.2nA217.52Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðûÏóñòü f (z) ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí âèäà (#).Ëåììà Äàëàìáåðà. Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå z ∈ C âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (z)| >0, òî íàéäåòñÿ h ∈ C òàêîå, ÷òî |f (z + h)| < |f (z)|.Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî â ñëó÷àå n = 1.
Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òîn ≥ 2. Ôèêñèðóåì z ∈ C è ðàññìîòðèì f (z + h) êàê ìíîãî÷ëåí îò h:f (z + h) = f (z) + b1 h + . . . + bn−1 hn−1 + hn .Ïóñòü bm ïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò ( ⇒ b1 = . . . = bm−1 = 0). Òîãäàf (z + h) = f (z) + bm hm + g(h)hm+1 ,g(h) = bm+1 + . . . + bn−1 hn−m−2 + hn−m−1 .116Ëåêöèÿ 17Îïðåäåëèì êîìïëåêñíîå ÷èñëî ζ ðàâåíñòâîì ζ m = −f (z)/bm è áóäåì èñêàòü h â âèäåh = ζt,t > 0.ßñíî, ÷òî|f (z) + bm hm | = |f (z)(1 − tm )| = |f (z)|(1 − tm ) < |f (z)| ïðè t > 0.Ïðè ýòîì íà îòðåçêå 0 ≤ t ≤ 1 äëÿ íåêîòîðîãî B > 0 èìååì|g(ζt) (ζt)m+1 | ≤ Btm+1 .Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè 0 < t ≤ 1, òî|f (z + ζt)| < |f (z)|(1 − tm ) + Btm+1 = |f (z)| + (Bt − |f (z)|) tm .Ïðè 0 < t ≤ min(1, |f (z)|/B) ïîëó÷àåì |f (z + ζt)| < |f (z)|.2Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû.
Ëþáîé ìíîãî÷ëåí ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìèñòåïåíè âûøå íóëåâîé èìååò õîòÿ áû îäèí êîìïëåêñíûé êîðåíü.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M = |f (0)|. Åñëè M = 0, òî âñå äîêàçàíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîM > 0. Cîãëàñíî ëåììå î ðîñòå ìîäóëÿ ìíîãî÷ëåíà, ïðè âñåõ |z| ≥ R èìååì |f (z)| ≥ M .Ðàññìîòðèì êâàäðàò Π = [−R, R] × [−R, R]. Ôóíêöèÿ |f (z)| íåïðåðûâíà ïðè âñåõ z ∈ Cè, â ÷àñòíîñòè, ïðè âñåõ z ∈ Π. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ñóùåñòâóåò z∗ ∈ Π òàêîå, ÷òî|f (z∗ )| ≤ |f (z)| ïðè âñåõ z ∈ Π. Î÷åâèäíî, ÷òî |f (z∗ )| ≤ M è, êðîìå òîãî, M ≤ |f (z)|äëÿ ëþáûõ òî÷åê z ∈/Π ⇒|f (z∗ )| ≤ |f (z)|∀ z ∈ C.(∗)Åñëè |f (z∗ )| > 0, òî, ïî ëåììå Äàëàìáåðà, ïðè íåêîòîðîì h ∈ C ïîëó÷àåì |f (z∗ + h)| <|f (z)|, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâàì (∗). Òàêèì îáðàçîì, |f (z∗ )| = 0 ⇒ z∗ ÿâëÿåòñÿèñêîìûì êîðíåì: f (z∗ ) = 0. 217.6Ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ìíîãî÷ëåíîâÌíîãî÷ëåíû ïåðâîé ñòåïåíè íàçûâàþò òàêæå ëèíåéíûìè ìíîãî÷ëåíàìè.Òåîðåìà.
Ëþáîé êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí f (z) ñòåïåíè n > 0 ðàçëàãàåòñÿ â C[z] íà nëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé:f (z) = a (z − z1 ) . . . (z − zn ),a, z1 , . . . , zn ∈ C.(∗)Äàííîå ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îñíîâíîé òåîðåìå àëãåáðû, f (z) èìååò õîòÿ áû îäèí êîìïëåêñ-íûé êîðåíü ïóñòü ýòî áóäåò z1 . Ñîãëàñíî òåîðåìå Áåçó, ìíîãî÷ëåí f (z) äåëèòñÿ íàëèíåéíûé ìíîãî÷ëåí z − z1 : f (z) = (z − z1 )f1 (z).
Åñëè deg f1 (z) = 0, òî èñêîìîå ðàçëîæåíèå óæå ïîëó÷åíî. Åñëè deg f1 (z) > 0, òî è ýòîò ìíîãî÷ëåí èìååò õîòÿ áû îäèí êîðåíü ïóñòü ýòî áóäåò z2 . Òàêèì îáðàçîì, f (z) = (z − z1 )(z − z2 )f2 (z). Åñëè deg f2 (z) = 0, òîðàçëîæåíèå ïîëó÷åíî. Åñëè íåò, òî f2 (z) òàêæå èìååò êîìïëåêñíûé êîðåíü, è òàê äàëåå.ßñíî, ÷òî ÷èñëî a ðàâíî ñòàðøåìó êîýôôèöèåíòó ìíîãî÷ëåíà f (z).Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ äâà ðàçëîæåíèÿ:f (z) = a (z − z1 ) . . . (z − zn ) = ea (z − ze1 ) . . . (z − zem ).Å. Å. Òûðòûøíèêîâ117Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè, î÷åâèäíî, ðàâíà m ⇒ m = n. Êðîìå òîãî, a = ea(ýòî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ìíîãî÷ëåíà f (z)).
Äàëåå, (z1 − ze1 ) . . . (z1 − zen ) = 0 ⇒õîòÿ áû îäíà èç ñêîáîê ðàâíà íóëþ ⇒ z1 ñîâïàäàåò ñ êàêèì-òî èç ÷èñåë zei . Ïîñëåïåðåíóìåðàöèè âñåãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî z1 = ze1 . Èòàê,(z − z1 ) ( (z − z2 ) . . . (z − zn ) − (z − ze2 ) . . . (z − zen )) = 0.Îòñóòñòâèå â C[z] äåëèòåëåé íóëÿ îçíà÷àåò, ÷òî(z − z2 ) . . . (z − zn ) = (z − ze2 ) . . . (z − zen ).Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ïðèõîäèì (ïîñëå ïåðåíóìåðàöèè êîðíåé) ê ðàâåíñòâóz2 = ze2 , è òàê äàëåå.
2Ñëåäñòâèå. Ëþáîé êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n > 0 èìååò åäèíñòâåííîåðàçëîæåíèå âèäàf (z) = a (z − ζ1 )k1 . . . , (z − ζm )km ,ζi 6= ζjïðè i 6= j,k1 , . . . , km > 0,k1 + . . . + km = n,(∗∗)a, ζ1 , . . . , ζm ∈ C.Ðàçëîæåíèå âèäà (∗∗) èíîãäà íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíûì êàíîíè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ìíîãî÷ëåíà f (z). ×èñëî ki íàçûâàåòñÿ êðàòíîñòüþ êîðíÿ ζi . Êîðåíü ζi íàçûâàåòñÿêðàòíûì, åñëè ki > 1, è ïðîñòûì, åñëè ki = 1.Ñîãëàñíî (∗∗), ìíîãî÷ëåí f (z) èìååò m ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ êîðíåé.  ðàçëîæåíèè(∗) íåêîòîðûå èç ÷èñåë z1 , .
. . , zm ìîãóò ñîâïàäàòü: åñëè zi = ζj , òî èìååòñÿ ðîâíî kj÷èñåë, ðàâíûõ ζj . Íåðåäêî ïîëó÷åííóþ âûøå òåîðåìó ôîðìóëèðóþò òàêèì îáðàçîì:ëþáîé êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n > 0 èìååò ðîâíî n êîìïëåêñíûõ êîðíåé ñó÷åòîì êðàòíîñòåé.17.7Ðàçëîæåíèå âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâÐàññìîòðèì âåùåñòâåííûé ìíîãî÷ëåí (ìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè)f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî z ∈ C ÿâëÿåòñÿ åãî êîðíåì.Òîãäà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ÷èñëî z òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì (â ñèëó âåùåñòâåííîñòèêîýôôèöèåíòîâ ai = ai äëÿ âñåõ i):f (z) = a0 + a1 z + .
. . + an z n = a0 + a1 z + . . . + an z n = f (z) = 0.Åñëè z 6= z , òî êâàäðàòè÷íûé ìíîãî÷ëåí (ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 2)φ(x) = (x − z)(x − z) = x2 − (z + z) x + |z|2èìååò, î÷åâèäíî, âåùåñòâåííûå êîýôôèöèåíòû è ÿâëÿåòñÿ íåðàçëîæèìûì â R[x].Òåîðåìà. Ëþáîé âåùåñòâåííûé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n > 0 ðàçëàãàåòñÿ â R[x] íàëèíåéíûå è íåðàçëîæèìûå êâàäðàòè÷íûå ìíîæèòåëè:f (x) = a(x − x1 ) . . . (x − xM ) φ1 (x) . . . φN (x),a, x1 , .
. . , xM ∈ R,M + 2N = n,118Ëåêöèÿ 17φi (x) = x2 + si x + ti , si , ti ∈ R,i = 1, . . . , N.Äàííîå ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîãî÷ëåí f (x) èìååò n êîìïëåêñíûõ êîðíåé z1 , . . . , zn ñ ó÷åòîìêðàòíîñòåé. Ïóñòü ðîâíî M èç íèõ ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè. Òîãäà îñòàëüíûå n − Mêîðíåé ðàçáèâàþòñÿ íà ïàðû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë ( ⇒ ÷èñëî n − M äîëæíîáûòü ÷åòíûì: n−M = 2N ).
Âåùåñòâåííûå êîðíè äàþò M ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé, à ïàðûêîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë äàþò N íåðàçëîæèìûõ êâàäðàòè÷íûõ ìíîæèòåëåé.Òåì ñàìûì ñóùåñòâîâàíèå èñêîìîãî ðàçëîæåíèÿ äîêàçàíî. Äîïóñòèì, ÷òî èìåþòñÿ äâàðàçëîæåíèÿ òàêîãî âèäà:f (x) = a(x − x1 ) . . . (x − xM ) φ1 (x) . . . φN (x) = ea(x − xe1 ) .
. . (x − xeM 0 ) φe1 (x) . . . φeN 0 (x).ßñíî, ÷òî a = ea (ýòî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò f (x)). Äàëåå, ïîëíûé íàáîð êîìïëåêñíûõêîðíåé ñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî ⇒ âåùåñòâåííûå êîðíè ñ ó÷åòîìêðàòíîñòåé îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî ⇒a(x − x1 ) . . . (x − xM ) = ea(x − xe1 ) .
. . (x − xeM 0 ),M = M0⇒N = N 0.Ïîñêîëüêó â R[x] äåëèòåëåé íóëÿ íåò, ïîëó÷àåìφ1 (x) . . . φN (x) = φe1 (x) . . . φeN (x).Ïóñòü φ1 (z) = 0 ⇒ φ1 (x) = (x − z)(x − z). Äàëåå, φe1 (z) . . . φeN (z) = 0 ⇒ õîòÿ áûîäèí èç ìíîæèòåëåé ðàâåí íóëþ. Ïóñòü, íàïðèìåð, φe1 (z) = 0 ⇒ φe1 (x) = (x − z)(x − z).Òàêèì îáðàçîì,φ1 (x) = φe1 (x)Äàëåå ïî èíäóêöèè.⇒φ2 (x) . . . φN (x) = φe2 (x) . . . φeN (x).2Ñëåäñòâèå. Ëþáîé âåùåñòâåííûé ìíîãî÷ëåí íå÷åòíîé ñòåïåíè èìååò õîòÿ áû îäèíâåùåñòâåííûé êîðåíü.Çàìå÷àíèå.
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü è íåïîñðåäñòâåííî áåçèñïîëüçîâàíèÿ îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî f (x) (êàê ôóíêöèÿîò x ∈ R) èìååò ïîëîæèòåëüíûé çíàê ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ x è îòðèöàòåëüíûé çíàê ïðè äîñòàòî÷íî áîëüùèõ îòðèöàòåëüíûõ x. Ïîñëå ýòîãî èñïîëüçîâàòüíåïðåðûâíîñòü f (x) è òåîðåìó Ðîëëÿ.Ëåêöèÿ 1818.1Ôîðìóëû ÂèåòàÐàññìîòðèì êîìïëåêñíûé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè n ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 1 èåãî ðàçëîæåíèå íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè:f (x) = a0 + a1 x + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
