Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ïðîäîëæàÿ äåéñòâîâàòü òàêèì æå îáðàçîì(k)è äàëåå, ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Ak = [aij ], k = 0, 1, . . . .Ïóñòü hk îáîçíà÷àåò ñóììó êâàäðàòîâ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ak . Òîãäà k2hk ≤h0 → 0 ïðè k → ∞.3Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ i 6= j ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âíåäèàãîíàëüíûõ(k)ýëåìåíòîâ aij ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè k → ∞.20.4Âëîæåííûå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòèËåììà îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ. Ïóñòü èìååòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî(k)(k)îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {s1 }, .
. . , {sm }, k = 1, 2, . . . . Òîãäà ìîæíîâûáðàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ k1 < k2 < . . . òàêèì îáðàçîì, ÷òî êàæäàÿ(k )(k )èç ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {s1 l }, . . . , {sml }, l = 1, 2, . . . , áóäåò ñõîäÿùåéñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {sk } âûáèðàåì ñõîäÿùóþñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü skl è âìåñòî èñõîäíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ðàññìàòðèâàåì ïîä(k )(k )ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {s1 l }, . . . , {sml }, l = 1, 2, . . . . Îíè îñòàþòñÿ, êîíå÷íî, îãðàíè÷åííûìè è ïðè ýòîì ïåðâàÿ èç íèõ áóäåò ñõîäÿùåéñÿ. Òåïåðü óæå èç îãðàíè÷åííîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè {sk2l } âûáåðåì ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè) è(kl )(kl )ïåðåõîäèì ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì {s1 i }, .
. . , {sm i }, i = 1, 2, . . . . Ïîëó÷åííûåâëîæåííûå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäóò, ïî-ïðåæíåìó, îãðàíè÷åííûìè, íî ñõîäÿùèìèñÿ ÿâëÿþòñÿ óæå ïåðâûå äâå. È òàê äàëåå. 213420.5Ëåêöèÿ 20Äèàãîíàëèçàöèÿ â ïðåäåëåÂåðíåìñÿ ê ìåòîäó âðàùåíèé. Áóäóò ëè ñõîäèòüñÿ ê êîíå÷íûì ïðåäåëàì ïîñëåäîâà(k)òåëüíîñòè äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ aii äëÿ íàøåé áëèæàéøåé öåëè íå î÷åíü âàæíî.Êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé è ïîýòîìó îáëàäàåò ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
Áîëåå òîãî, ïî ëåììå îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ, èìååòñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Ak , â êîòîðîé êàæäàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ñõîäèòñÿ ê êàêîìó-òî ïðåäåëó.×òîáû íå çàãðîìîæäàòü îáîçíà÷åíèÿ, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Ak è åñòü òà ñàìàÿ ïîäïîñ(k)ëåäîâàòåëüíîñòü, äëÿ êîòîðîé âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè aij ÿâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ (êàêìû çíàåì, ïðè i 6= j ê íóëþ). Ïóñòü(k)lim aii= λi ,i = 1, 2, 3.Ak = Pk> A0 Pk ,k = 1, 2, . . . ,k→∞Ïîíÿòíî, ÷òî(#)(k)ãäå ìàòðèöû Pk = [pij ] ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè èñïîëüçîâàííûõ ìàòðèö âðàùåíèÿ(èç ñîîòíîøåíèé (1), (2) èëè (3)). Ïîýòîìó ïðè ëþáîì k ìàòðèöà Pk ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé (êàê ïðîèçâåäåíèå îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö).
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà êâàäðàòîââñåõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Pk ïðè ëþáîì k îäèíàêîâà (è ðàâíà 3). Çíà÷èò, êàæäàÿ ïîñëå(k)äîâàòåëüíîñòü pij ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé ïðè k → ∞ è ïîýòîìó îáëàäàåò ñõîäÿùåéñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.Ïî ëåììå îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ, ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü(k)ìàòðèö Pk , â êîòîðîé êàæäàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü pij áóäåò ñõîäÿùåéñÿ.
Äëÿ óïðîùåíèÿîáîçíà÷åíèé áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Pk è åñòü èìåííî òàêàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïóñòü(k)lim pijk→∞= pij ,i, j = 1, 2, 3.Ïðè êàæäîì k âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (#). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ñîîòâåòñòâóþùèõïîýëåìåíòíûõ ðàâåíñòâàõ, ïîëó÷àåìλ1 0 0Λ ≡ 0 λ2 0 = P > A0 P.0 0 λ3Êðîìå òîãî, äëÿ êàæäîãî k èìååì Pk> Pk = I ⇒ P > P = I .  èòîãå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿâàæíàÿÒåîðåìà. Äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà 3 ñóùåñòâóþò îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà P è äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà Λ òàêèå, ÷òîΛ = P > AP.Ñëåäñòâèå.
Ñóùåñòâóåò äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò âèäf (ex, ye, ze) = λ1 xe2 + λ2 ye2 + λ3 ze2 + 2b1 xe + 2b2 ye + 2b3 ze + a = 0.Çàìå÷àíèå.  ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ìàòðèöû P , ðàâåíñòâî Λ = P > AP âûïîëíÿåòñÿâ òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà AP = P Λ. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî j -é ñòîëáåö pjÅ. Å.
Òûðòûøíèêîâ135ìàòðèöû P óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Apj = λj pj ⇔ (A − λj I)pj = 0. Ó÷èòûâàÿ,÷òî pj 6= 0, íàõîäèì det(A − λj I) = 0. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà λ1 , λ2 , λ3 ýòî êîðíèêóáè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà f (λ) = det(A − λI). Åñëè îíè óæå íàéäåíû, òî ñòîëáåö pjìîæíî ïîëó÷èòü êàê ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé(A − λj I)pj = 0.20.6Äèàãîíàëèçàöèÿ âåùåñòâåííûõ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö äåéñòâèòåëüíîñòè òîò æå ìåòîä âðàùåíèé ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü áîëåå îáùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà î äèàãîíàëèçàöèè âåùåñòâåííûõ ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö. Âåùåñòâåí-íàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà n ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîéìàòðèöå Λ ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû P :Λ = P > AP.Äîêàçàòåëüñòâî.
Íà÷èíàÿ ñ A0 = A, ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö Ak = [a(k)ij ],k = 0, 1, . . . , â êîòîðîé Ak ïîëó÷àåòñÿ èç Ak−1 ïóòåì óìíîæåíèÿ ñëåâà è ñïðàâà íàìàòðèöû âðàùåíèÿ:Ak = Rk> Ak−1 Rk ,(∗)ãäå Rk îòëè÷àåòñÿ îò åäèíè÷íîé ìàòðèöû I ëèøü ÷åòûðüìÿ ýëåìåíòàìè 2 × 2ïîäìàòðèöû, ðàïîëîæåííîé íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîê è ñòîëáöîâ ñ íîìåðàìè i < j èðàâíîécos φ − sin φ.sin φcos φÌàòðèöà Rk îñóùåñòâëÿåò ïîâîðîò íà óãîë φ â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, îïðåäåëÿåìîéíîìåðàìè i 6= j . Ëþáàÿ ìàòðèöà âðàùåíèÿ òàêîãî âèäà ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, îðòîãîíàëüíîé.ßñíî, ÷òî ñèììåòðè÷íîñòü ìàòðèöû A0 = A íàñëåäóåòñÿ âñåìè ìàòðèöàìè Ak . Èçïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé ìû óæå çíàåì, ÷òî φ ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî(k)(k)aij = aji = 0.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç dk è hk ñóììû êâàäðàòîâ äèàãîíàëüíûõ è âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ak . Òîãäà2 222 2 2 (k)(k)(k−1)(k−1)(k−1)(k−1)aii+ ajj= aii+ ajj+ 2 aij⇒ dk − dk−1 = 2 aij.Äëÿ êàæäîãî k áóäåì âûáèðàòü ïëîñêîñòü âðàùåíèÿ (íîìåðà i < j ) òàêìè îáðàçîì,(k−1)÷òîáû èñêëþ÷àåìûé ýëåìåíò aijáûë ìàêñèìàëüíûì ïî ìîäóëþ ñðåäè âñåõ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ak−1 . Îáùåå ÷èñëî âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ðàâíîn2 − n. Ïîýòîìó2hk−1(k−1).aij≥ 2n −nÎòñþäà, ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî dk + hk = dk−1 + hk−1 , ïîëó÷àåìk22hk ≤ hk−1 − 2hk−1 ≤ 1 − 2h0 → 0 ïðè k → ∞.n −nn −nÈç ñîîòíîøåíèé (∗) âûòåêàåò, ÷òîAk = Pk> APk ,k = 1, 2, .
. . ,136Ëåêöèÿ 20(k)ãäå äëÿ âñåõ k ìàòðèöû Pk = [pij ] ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè (êàê ïðîèçâåäåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö).(k)(k)Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ i, j ïîñëåäîâàòåëüíîñòè aij , pij ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè. Ïî ëåììå îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü(k )(k )íîìåðîâ k1 < k2 < . . .
òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ èç ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòåé aij l , pij l áóäåò(k )ñõîäÿùåéñÿ. Çàìåòèì, ÷òî aij l → 0 ïðè i 6= j . Ïóñòü(k )lim aii l = λi ,l→∞Ââåäåì ìàòðèöû(k )lim pij l = pij ,i = 1, . . . , n,λ1Λ=l→∞i, j = 1, . . . , n....,P = [pij ].λnÄëÿ âñåõ l = 1, 2, . . . èìååì Akl = Pk>l APkl . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ïîýëåìåíòíûõðàâåíñòâàõ, ïîëó÷àåìΛ = P > AP.Èç óñëîâèé îðòîãîíàëüíîñòè Pk>l Pkl = I âûòåêàåò, ÷òî â ïðåäåëå P > P = I . Çíà÷èò,ìàòðèöà P ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé. 2Ìû òîëüêî ÷òî ïîëó÷èëè îäèí èç âàæíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ êàê äëÿ ñàìîé òåîðèèìàòðèö, òàê è äëÿ åå ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèëîæåíèé.  íàøåì êóðñå ìû åùå âåðíåìñÿ êåãî îáñóæäåíèþ â ñâÿçè ñ ðÿäîì ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ëèíåéíîé àëãåáðû.
Íàøåäîêàçàòåëüñòâî çàìå÷àòåëüíî ñâîåé êîíñòðóêòèâíîñòüþ: îíî äàåò îäíîâðåìåííî è ìåòîäïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ìàòðèö Λ è P . Ýòî îäèí èç ðàííèõ ïðàêòè÷åñêèõ ìåòîäîââû÷èñëèòåëüíîé àëãåáðû, ïðåäëîæåííûé Ê. ßêîáè â 1846 ãîäó. 1Çàäà÷à.A ∈ Rn×n ñ íåíóëåâîé ñóììîé ýëåìåíòîâ ãëàâíîé äèàãîíàëè.n×n>ìàòðèöû Q ∈ Ròàêîé, ÷òî â ìàòðèöå Q AQ âñå ýëåìåíòûÄàíà ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöàÄîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå îðòîãîíàëüíîéãëàâíîé äèàãîíàëè îäèíàêîâû.1 Ïîñëåäíèå ðåçóëüòàòû ïî èçó÷åíèþ ìåòîäà âðàùåíèé ïðèíàäëåæàò ñîâñåì íåäàâíåìó ïðîøëîìó:â 1990-õ ãîäàõ áûëè îáíàðóæåíû åãî îñîáûå âîçìîæíîñòè, ñâÿçàííûå ñ âûñîêîòî÷íûì âû÷èñëåíèåììàëûõ ïî ìîäóëþ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûΛ.Ëåêöèÿ 2121.1Ïðèâåäåííûå óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêàÏðè èçó÷åíèè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ëþáàÿ èç íèõ â êàêîé-ëèáîäåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îïèñûâàåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ (êàê èíîãäà ãîâîðÿò,ïðèâåäåííûõ) óðàâíåíèé(1) λ1 x2 + λ2 y 2 + c = 0,(2) λ2 y 2 + 2bx = 0,(3) λ2 y 2 + c = 0,â êîòîðûõ âñå êîýôôèöèåíòû íåíóëåâûå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, c.
 ñëó÷àåïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èñõîäíîé òî÷êîé äëÿ âûâîäà ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ âîçíèêàþùåå â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå óðàâíåíèå âèäàλ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + a = 0.Åñëè λ1 , λ2 , λ3 6= 0, òî ñ ïîìîùüþ ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò (ñäâèãà) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå âèäàλ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + c = 0.Ïóñòü λ3 6= 0.
Òîãäà â ëèíåéíîé ÷àñòè ñ ïîìîùüþ ñäâèãà ìîæíî óáðàòü ÷ëåíû,ñîäåðæàùèå x è y .  ðåçóëüòàòå ïîÿâèòñÿ óðàâíåíèå âèäà λ1 x2 + λ2 y 2 + 2bz + c = 0. Åñëèb 6= 0, òî ñäâèã ïîçâîëÿåò ïåðåéòè áîëåå ïðîñòîìó óðàâíåíèþ λ1 x2 + λ2 y 2 + 2bz = 0. Åñëèæå b = 0, òî ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå âèäà λ1 x2 + λ2 y 2 + c = 0.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ2 = λ3 = 0. Ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ÷ëåíà ñ x â ëèíåéíîé÷àñòè (ïóòåì ñäâèãà) ïîëó÷èì óðàâíåíèå λ1 x2 + 2b2 y + 2b3 z + c = 0. Äàëåå, ñ ïîìîùüþïîâîðîòà â ïëîñêîñòè êîîðäèíàò y è z â ëèíåéíîé ÷àñòè ìîæíî èçáàâèòüñÿ îò ÷ëåíà,ñîäåðæàùåãî z : cos φ − sin φb2 b3= b 0 .sin φ cos φ ñàìîì äåëå, âûáåðåì φ òàê, ÷òîáû −b2 sin φ + b3 cos φ = 0. Òàêèì îáðàçîì,èìååòñÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé çàäàííàÿ ïîâåðõíîñòü îïèñûâàåòñÿóðàâíåíèåì λ1 x2 + 2by + c = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
