Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ïóñòü M = N,ρ(m, n) = 1 + min{1/m, 1/n}à ðàññòîÿíèå ìåæäó íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìèïðèm 6= nè0ïðèm = n.Äîêàæèòå, ÷òîm, nM îïðåäåëÿåòñÿ êàêïîëíîå ìåòðè÷åñ-êîå ïðîñòðàíñòâî. Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî çàìêíóòûå øàðûM (1, 1 + 1/2) ⊃ M (2, 1 + 1/3) ⊃ M (3, 1 + 1/4) ⊃ ...âëîæåíû, íî èìåþò ïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.Ìíîæåñòâî S íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì, åñëè èç ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åêxk ∈ S ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå x ∈ S .ßñíî, ÷òî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî îáÿçàíî áûòü çàìêíóòûì.
Îáðàòíîå íå âåðíî: íàïðèìåð, S = M âñåãäà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì, íî ìîæåò è íå áûòü êîìïàêòíûì. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ëþáîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî S ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì(ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå ìîæåò áûòü ñõîäÿùåéñÿ, òàê êàê íå ìîæåò áûòü îãðàíè÷åííîé). íà÷àëüíûõ êóðñàõ àíàëèçà ðàññìàòðèâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî R ñ ðàññòîÿíèåì ρ(x, y) = |x − y|, à êîìïàêòíûì ïðèíÿòî íàçûâàòü ëþáîå çàìêíóòîå è îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî òî÷åê èç R.  äàííîì ñëó÷àå ýòî îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíî íàøåìó149150Ëåêöèÿ 23îïðåäåëåíèþ êîìïàêòíîñòè.
Áîëåå òîãî, ìû ñêîðî äîêàæåì, ÷òî ýòè äâà îïðåäåëåíèÿðàâíîñèëüíû è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ êîíå÷íîìåðíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ.Îäíàêî, â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ çàìêíóòîñòü è îãðàíè÷åííîñòü íåäîñòàòî÷íû äëÿ âûäåëåíèÿ ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Ãîâîðÿ î ðàññòîÿíèè â ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ìû âñåãäà áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî îíîââîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ êàêîé-ëèáî íîðìû.Çàäà÷à.Âåðíî ëè, ÷òî çàìûêàíèå âûïóêëîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì? Âåðíî ëè, ÷òîìíîæåñòâî âíóòðåííèõ òî÷åê âûïóêëîãî ìíîæåñòâà áóäåò âûïóêëûì?23.2Êîìïàêòíîñòü è íåïðåðûâíîñòüÂåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåëåííàÿ äëÿ òî÷åê x ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâàM , íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x ∈ M , åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xk ,ñõîäÿùåéñÿ ê x, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé f (xk ) ñõîäèòñÿ ê f (x).Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà. Äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ôóíêöèè f (x), íåïðåðûâíîé âîâñåõ òî÷êàõ êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà S , ñóùåñòâóþò òî÷êè xmin , xmax ∈ S òàêèå,÷òî f (xmin ) ≤ f (x) ≤ f (xmin ) äëÿ âñåõ x ∈ S .Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî f (xk ) > k äëÿ íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëü-íîñòè òî÷åê xk ∈ S , òî âîçíèêàåò ïðîòèâîðå÷èå ñ âîçìîæíîñòüþ âûäåëåíèÿ ñõîäÿùåéñÿïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè: åñëè xki → x, òî f (xki ) → f (x), íî f (xki ) íå ìîæåò ñõîäèòüñÿ,òàê êàê íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Ïîýòîìó f (x) îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Ïóñòü cmax òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà çíà÷åíèé {f (x), x ∈ S}. Òîãäà äëÿ êàæäîãî k íàéäåòñÿòî÷êà xk ∈ S òàêàÿ, ÷òî cmax − 1/k ≤ f (xk ) ≤ cmax . Âûáåðåì ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xki → x è ïåðåéäåì â ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâàõ ê ïðåäåëó ⇒ f (x) = cmax .Îãðàíè÷åííîñòü ñíèçó è ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ìèíèìóìà äîêàçûâàåòñÿ ïåðåõîäîì êg(x) = −f (x). 223.3Êîìïàêòíîñòü åäèíè÷íîé ñôåðûÐàññìîòðèì åäèíè÷íóþ ñôåðó â ïðîñòðàíñòâå Cn îòíîñèòåëüíî 2-íîðìû:>nS2 = {x ∈ C : ||x||2 = 1} = {x = [x1 , .
. . , xn ] :nX|x|2i = 1}.i=1Ëåììà 1. Åäèíè÷íàÿ ñôåðà S2 â ïðîñòðàíñòâå Cn êîìïàêòíà îòíîñèòåëüíî 2-íîðìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâxk = [xk1 , . . . , xkn ]> ∈ S2 .Ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì|xk1 | ≤ 1, |xk2 | ≤ 1, . . .
, |xkn | ≤ 1.Ñîãëàñíî ëåììå îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ (ñì. Ëåêöèþ 19), ñóùåñòâóåòïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ k1 < k2 < . . . òàêàÿ, ÷òî êàæäàÿ èç êîîðäèíàòíûõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé xki l áóäåò ñõîäèòüñÿ è óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâónXi=1|xki l |2 = 1.(∗)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ151Ïóñòü xi = lim xki l è x = [x1 , . . . , xn ]> . Òîãäàl→∞nX||xkl − x||2 =!1/2|xki l − xi |2→ 0.i=1Ïåðåõîäÿ â (∗) ïðåäåëó, ïîëó÷àåì x ∈ S2 .2Ëåììà 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íîðìû || · || â ïðîñòðàíñòâå Cn ôóíêöèÿ f (x) = ||x||ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëüíî 2-íîðìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü xk = [xk1 , .
. . , xkn ]> → x = [x1 , . . . , xn ]> . Òîãäà, èñïîëüçóÿ íåðà-âåíñòâî òðåóãîëüíèêà äëÿ íîðì, íàõîäèì|f (xk ) − f (x)| = | ||xk || − ||x|| | ≤ ||xk − x|| ≤X|xki − xi | ||ei ||,1≤i≤nãäå ei = [0, . . . , 1, . . . 0]> âåêòîð èç íóëåé, êðîìå i-é êîìïîíåíòû, ðàâíîé 1.
Ïðàâàÿ÷àñòü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè||xk − x||2 =nX!1/2|xki − xi |2→ 0.2i=1Ëåììà 3. Äëÿ ëþáîé íîðìû || · || íà Cn ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû c1 , c2 > 0 òàêèå, ÷òîc1 ≤ ||x|| ≤ c2∀ x ∈ S2 .Ïðè ýòîì c1 = ||x1 ||, c2 = ||x2 || äëÿ íåêîòîðûõ âåêòîðîâ x1 , x2 ∈ S2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = ||x|| íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî 2-íîðìû íà ìíîæåñòâå S2 , êîìïàêòíîì îòíîñèòåëüíî 2-íîðìû.23.42Ýêâèâàëåíòíûå íîðìûÄâå íîðìû || · ||(a) è || · ||(b) íà îäíîì è òîì æå ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàþòñÿýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû c1 , c2 > 0 òàêèå, ÷òîc1 ||x||(a) ≤ ||x||(b) ≤ c2 ||x||(a)∀ x ∈ V.Òåîðåìà.
Åñëè V êîíå÷íîìåðíî, òî ëþáûå íîðìû íà íåì ýêâèâàëåíòíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî, çàìåòèì, ÷òî ëþáàÿ íîðìà || · || íà Cn ýêâèâàëåíòíà|| · ||2 . Ïóñòü x ∈ Cn⇒ x/||x||2 ∈ S2 . Ïî ëåììå 3, c1 ≤ kx/||x||2 k ≤ c2c1 ||x||2 ≤ ||x|| ≤ c2 ||x||2⇒∀ x ∈ Cn .Îòñþäà ëåãêî âûâåñòè ýêâèâàëåíòíîñòü ëþáûõ äâóõ íîðì íà Cn . ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà V ñ íîðìîé || · ||V ôèêñèðóåìâ íåì ïðîèçâîëüíûé áàçèñ e1 , .
. . , en è ðàññìîòðèì âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå>v ↔ [x1 , . . . , xn ] ,v=nXi=1xi ei .152Ëåêöèÿ 23Èñïîëüçóÿ åãî, ââåäåì íîðìó íà Cn ñëåäóþùèì îáðàçîì:nX>||[x1 , . . . , xn ] ||V ≡ xi ei .i=1VÑâîéñòâà íîðìû ïðîâåðÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Ââåäåì òàêæå åùå îäíó íîðìó íà V :nXxi ei ≡ ||[x1 , .
. . , xn ]> ||2 .i=12Óæå óñòàíîâëåííàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ëþáûõ äâóõ íîðì íà Cn äîêàçûâàåò, î÷åâèäíî,ýêâèâàëåíîñòü äàííûõ (à çíà÷èò, è ëþáûõ) íîðì â ïðîñòðàíñòâå V . 2Ñëåäñòâèå. Ñõîäèìîñòü ïî ëþáîé íîðìå â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ðàâíîñèëüíàïîîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè.Çàìåòèì, ÷òî íàì óæå âñòðå÷àëèñü íîðìû, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü ýêâèâàëåíòíûìè:ýòî C -íîðìà è C 1 -íîðìà â ïðîñòðàíñòâå C 1 [a, b] ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b]âìåñòå ñ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé:||f ||C = max |f (x)|,a≤x≤b||f ||C 1 = max (|f (x)| + |f 0 (x)|).a≤x≤b√ ñàìîì äåëå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé f k (x) = sin kx/ k ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿâ íîðìå C , íî ðàñõîäèòñÿ â íîðìå C 1 . Îòñþäà, êñòàòè, ïîëó÷àåì (íå î÷åíü ïðÿìîå!)äîêàçàòåëüñòâî áåñêîíå÷íîìåðíîñòè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b].23.5Êîìïàêòíîñòü çàìêíóòûõ îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâÒåîðåìà.
 êîíå÷íîìåðíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ êîì-ïàêòíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû óæå çíàåì, ÷òî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì è îãðàíè÷åííûì. Ïóñòü ìíîæåñòâî S çàìêíóòî èîãðàíè÷åíî îòíîñèòåëüíî êàêîé-òî íîðìû â Cn .  ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòè íîðì â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, S òàêæå çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî îòíîñèòåëüíî 2-íîðìû.Ïîýòîìó ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ èç S èìååò îãðàíè÷åííûå êîîðäèíàòíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïî ëåììå îá îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõ, ìû ìîæåì âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ â 2-íîðìå ê êàêîìó-òî âåêòîðó x ∈ S . Ýòàæå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò ñõîäèòüñÿ è îòíîñèòåëüíî ëþáîé äðóãîé íîðìû.
2Îòñþäà âûòåêàåò, íàïðèìåð, êîìïàêòíîñòü åäèíè÷íîé ñôåðû è êîìïàêòíîñòü çàìêíóòîãî øàðà â ëþáîì êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíî ëþáîé íîðìû.23.6Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿÏóñòü x ∈ V è L íåïóñòîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ èç V . Âåëè÷èíóγ = inf ||x − z||z∈Líàçûâàþò ðàññòîÿíèåì ìåæäó x è L. Âåêòîð z0 ∈ L íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì íàèëó÷øåãîïðèáëèæåíèÿ äëÿ x íà L, åñëè γ = ||x − z0 ||.Ëåììà î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè. Ïóñòü L êîíå÷íîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâîÅ.
Å. Òûðòûøíèêîâ153â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå V . Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ V ñóùåñòâóåò âåêòîð z0 ∈ Lòàêîé, ÷òî ||x − z0 || ≤ ||x − z|| ∀ z ∈ L.Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì ε > 0 è ðàññìîòðèì ëþáîé âåêòîð z òàêîé, ÷òî ||x − z|| ≤γ + ε. Îòñþäà ||z|| ≤ R ≡ γ + ε + ||x||. Ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òîγ =infz∈L, ||z||≤R||x − z||.Ôóíêöèÿ f (z) = ||x − z|| íåïðåðûâíà íà çàìêíóòîì øàðå ||z|| ≤ R êîíå÷íîìåðíîãîïðîñòðàíñòâà L. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, γ = ||x − z0 || äëÿ íåêîòîðîãî z0 ∈ L. 2Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ýëåìåíòà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ î÷åâèäíî òàêæåäëÿ êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ L.Èç ëåììû î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè âûòåêàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî äëÿ âñÿêîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a, b] ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí pn (x) ñòåïåíè íå âûøå nòàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà gn (x) ñòåïåíè íå âûøå n èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî||f (x) − pn (x)||C[a,b] ≤ ||f (x) − gn (x)||C[a,b] .Ìíîãî÷ëåíû òàêîãî òèïà íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè íàèëó÷øåãî ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ f (x) è âïåðâûå áûëè èçó÷åíû Ï.
Ë. ×åáûøåâûì (êñòàòè, â ñâÿçè ñ ïðàêòè÷åñêîé çàäà÷åé ìåõàíèêè). 1Çàäà÷à.ñòåïåíènnTn (x) = cos(n arccos x) ïðè −1 ≤ x ≤ 1 ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîìn−1ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 2. Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà pn (x) ñòåïåíèÄîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿñ òåì æå ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî1 ÷àñòíîñòè, ìíîãî÷ëåí pn−1 (x) äëÿ ôóíêöèè21−n cos(n arccos x), −1 ≤ x ≤ 1.2 Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåíû||Tn (x)||C[−1,1] ≤ ||pn (x)||C[−1,1] .f (x) = xn ∈ C[−1, 1]èìååò âèä2pn−1 (x) = xn −Tn (x) íàèìåíåå óêëîíÿþòñÿ îò íóëÿ (ñðåäè âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ òîé æåTn (x) íàçûâàþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ×åáûøåâà.ñòåïåíè è ñ òåì æå ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì).
Ìíîãî÷ëåíû154Ëåêöèÿ 23Ëåêöèÿ 2424.1Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâîÏóñòü V âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîì êàæäîé óïîðÿäî÷åííîéïàðå âåêòîðîâ x, y ∈ V ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííîå ÷èñëî (x, y) òàêèì îáðàçîì, ÷òî:(1) (x, x) ≥ 0 ∀ x ∈ V ; (x, x) = 0 ⇔ x = 0;(2) (x, y) = (y, x) ∀ x, y ∈ V ;(3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ∀ x, y, z ∈ V ;(4) (αx, y) = α(x, y) ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ V .×èñëî (x, y) íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ x è y . Âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì. Rn ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ x = [x1 , .
. . , xn ]> , y = [y1 , . . . , yn ]> ÷àñòîââîäèòñÿ êàê ñóììà ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé êîîðäèíàò:(x, y) =nXxi yi = y > x.(∗)i=1Îíî íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íà Rn . Íî íà Rn ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå ìîæíî ââåñòè è ìíîãèìè äðóãèìè ñïîñîáàìè: íàïðèìåð, åñëè ôèêñèðîâàòü÷èñëà λ1 , . . . , λn > 0, òî âûðàæåíèå"λ#n1X..(x, y) =λi x i y i = y >x.λni=1îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (1)(4) è, ñëåäîâàòåëüíî, çàäàåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.24.2Óíèòàðíîå ïðîñòðàíñòâî Cn âûðàæåíèå (∗), î÷åâèäíî, óæå íå ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì: ïóñòü n = 2è x = [1, i]> , òîãäà (x, x) = 12 + i2 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
