Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 36
Текст из файла (страница 36)
. , xn íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè(xi , xj ) = 0,i 6= j,(∗)è îðòîíîðìèðîâàííîé, åñëè, äîïîëíèòåëüíî, |x1 | = . . . = |xn | = 1. Òàêèì îáðàçîì,ìàòðèöà Ãðàìà äëÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé ñ ïîëîæèòåëüíûìèäèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè, à äëÿ îðòîíîðìèðîâàííîé åäèíè÷íîé ìàòðèöåé.166Ëåêöèÿ 25Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Cn ñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó âåêòîð-ñòîëáöîâ x11x1nx 1 = .
. . , . . . , x n = . . . ∈ Cn .xn1xnnÑîñòàâèì èç íèõ n × n-ìàòðèöóX = [x1 , . . . , xn ] =x11...xn1.........x1n...xnnè çàìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (∗) ðàâíîñèëüíû ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâó(x1 , x1 ) . . . (xn , x1 )∗.........X X == I.(x1 , xn )...(xn , xn )Ìàòðèöà X ∈ Cn×n ñî ñâîéñòâîì X ∗ X = I íàçûâàåòñÿ óíèòàðíîé. Òàêèì îáðàçîì,ëþáàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé ñòîëáöîâ ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíîé, à ëþáàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà èìååò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ñòîëáöîâ. ßñíîòàêæå, ÷òî äëÿ óíèòàðíîñòè ìàòðèöû íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà èìåëà îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ñòðîê (äîêàæèòå!).Âåùåñòâåííàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé. Ðàíåå ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö.
Òî æå ñïðàâåäëèâî è ïî îòíîøåíèþ ê ìíîæåñòâóâñåõ óíèòàðíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n.25.5Ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèèÈç òåîðåìû î ïåðïåíäèêóëÿðå ñðàçó æå âûòåêàåò, ÷òî â ëþáîì êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå V ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. ñàìîì äåëå, âîçüìåì â V ïðîèçâîëüíûé áàçèñ v1 , . . . , vn è ïðåäïîëîæèì, ÷òî âëèíåéíîé îáîëî÷êå Ln−1 = L(v1 , . . . , vn−1 ) óæå ïîñòðîåí îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ èçâåêòîðîâ q1 , . . .
, qn−1 (êîíå÷íî, Ln−1 = L(q1 , . . . , qn−1 )). Ïóñòü hn ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåêòîðà vn íà Ln−1 . ßñíî, ÷òî hn 6= 0 (èíà÷å vn ∈ Ln−1 ⇒ ñèñòåìà v1 , . . . , vnëèíåéíî çàâèñèìà). Ïîëîæèì qn = hn /|hn |. Òîãäà ñèñòåìà q1 , . . . , qn è áóäåò èñêîìûìîðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîâ â V .Çàìåòèì, ÷òî â ïîñòðîåííîì áàçèñå äëÿ ëþáîãî k = 1, . . . , n ïåðâûå k âåêòîðîâq1 , .
. . , qk îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ëèíåéíîé îáîëî÷êå Lk = L(v1 , . . . , vk ).Òàêèì îáðàçîì,L(q1 , . . . , qk ) = L(v1 , . . . , vk ), k = 1, . . . , n.Ðåàëüíûå âû÷èñëåíèÿ íà÷èíàþòñÿ ñ ïîëó÷åíèÿ âåêòîðà q1 = v1 /|v1 |. Çàòåì èç âåêòîðà v2 îïóñêàåòñÿ íà L1 ïåðïåíäèêóëÿð h2 è íîðìèðóåòñÿ: q2 = h2 /|h2 |. È òàê äàëåå.Îïóñêàÿ ïåðïåíäèêóëÿð íà Lk , ðàçóìíî èñêàòü ðàçëîæåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîåêöèèíå ïî èñõîäíîé ñèñòåìå v1 , . .
. , vk , à ïî óæå ïîñòðîåííîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìåq1 , . . . , qk . Âûãîäà î÷åâèäíà: ìàòðèöà Ãðàìà äëÿ q1 , . . . , qk ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîé!Äàííûé àëãîðèòì íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì îðòîãîíàëèçàöèè ÃðàìàØìèäòà. Âîò åãîôîðìàëüíîå îïèñàíèå:hk = vk −k−1Xi=1(vk , qi ) qi ,qk = hk /|hk |,k = 1, . . . , n.Å. Å. ÒûðòûøíèêîâÇàäà÷à.167 ïðîñòðàíñòâå âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, íî òàê, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîãî÷ëåíîâf (x)èg(x)(f, g)îïðåäåëåíîâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî3(xf (x), g(x)) = (f (x), xg(x)),èïóñòüïðè1, x, x2 , ..., xnïðèìåíåíèèïîëó÷åíûïðîöåññàìíîãî÷ëåíûîðòîãîíàëèçàöèèÃðàìàØìèäòàL0 (x), L1 (x), ..., Ln (x).Äîêàæèòå,êñèñòåìå÷òîèìåþòìíîãî÷ëåíîâìåñòîòðåõ-÷ëåííûå ñîîòíîøåíèÿLk (x) = ak xLk−1 (x) + bk Lk−1 (x) + ck Lk−2 (x),25.62 ≤ k ≤ n,ak , bk , ck ∈ R.Äîïîëíåíèå äî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñàÏóñòü V ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.Ëåììà î äîïîëíåíèè äî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà.
Ëþáàÿ îðòîãîíàëüíàÿ (îðòî-íîðìèðîâàííàÿ) ñèñòåìà âåêòîðîâ v1 , . . . , vk ∈ V ìîæåò áûòü äîñòðîåíà êàêèìè-òîâåêòîðàìè èç V äî îðòîãîíàëüíîãî (îðòîíîðìèðîâàííîãî) áàçèñà â V .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïîëíèì v1 , . . . , vk êàêèìè-íèáóäü âåêòîðàìè äî áàçèñà â V , à çàòåìê ïîëó÷åííîìó áàçèñó ïðèìåíèì ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè.2Ñëåäñòâèå. Åñëè Lk ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k , òî dim L⊥k = n − k . ÏðèýòîìV = Lk ⊕ L⊥k.Äîêàçàòåëüñòâî.  V ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ q1 , .
. . , qn òàêîé, ÷òîLk = L(q1 , . . . , qk ). Ïðè ýòîì î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé Lk , åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ qk+1 , . . . , qn . 225.7Áèîðòîãîíàëüíûå ñèñòåìûÏóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (· , ·). Ñèñòåìû âåêòîðîâ u1 , . . .
, um è v1 , . . . , vm íàçûâàþòñÿ áèîðòîãîíàëüíûìè, åñëè(ui , vj ) =1, i = j,0, i =6 j.Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî êàæäàÿ èç ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ áèîðòîãîíàëüíîé äëÿ äðóãîé ñèñòåìû.Åñëè ûi è v̂j âåêòîðû-ñòîëáöû èç êîîðäèíàò âåêòîðîâ ui è vj â êàêîì-ëèáî ôèêñèðîâàííîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå, òî áèîðòîãîíàëüíîñòü ðàâíîñèëüíà ìàòðè÷íîìóðàâåíñòâóV̂ ∗ Û = I,Û = [û1 , ..., ûm ], V̂ = [v̂1 , ..., v̂m ].(∗)3 Ïðîâåðüòå, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ, íàïðèìåð, åñëè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàíî ôîðìóëîé(f, g) =R1−1f (x)g(x)dx,íàìè Ëåæàíäðà. ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷åííûå îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû íàçûâàþòñÿìíîãî÷ëå-168Ëåêöèÿ 25 ñëó÷àå dim L(u1 , ..., um ) = dim L(v1 , ..., vm ) = m îòñþäà ÿñíî, ÷òî V̂ = (Û −1 )∗ .Óòâåðæäåíèå 1.  ñëó÷àå áèîðòîãîíàëüíîñòè êàæäàÿ èç ñèñòåì u1 , .
. . , um èv1 , . . . , vm ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z ≡ α1 u1 + . . . + αm um = 0. Èñïîëüçóÿ áèîðòîãîíàëüíîñòü,íàõîäèì (z, vi ) = αi = 0. 2Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü L, M ⊂ V ïîäïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòè m òàêèå, ÷òîL⊥ ∩ M = {0}. Òîãäà äëÿ ëþáîé ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû u1 , . . . , um ∈ L ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ áèîðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà v1 , . . . , vm ∈ M .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôèêñèðóåì êàêîé-ëèáî îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâåL+M . Òîãäà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ìàòðèöû V̂ èç óðàâíåíèÿ (∗). Ïóñòü ìàòðèöà Q̂ èìååò ñòîëáöû, ñîñòàâëåííûå èç êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèé âåêòîðîâ êàêîãî-ëèáîáàçèñà â M ïî äàííîìó ôèêñèðîâàííîìó áàçèñó â L + M . Òîãäà V̂ = Q̂Z äëÿ íåêîòîðîéìàòðèöû Z ïîðÿäêà m, êîòîðàÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ìàòðè÷íîìó óðàâíåíèþZ ∗ Q̂∗ Û = I.Ñòîëáöû êâàäðàòíîé ìàòðèöû Q̂∗ Û ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
 ñàìîì äåëå, åñëè Q̂∗ Û x = 0,òî Û x ∈ L⊥ ∩ M ⇒ Û x = 0.  ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñòîëáöîâ ìàòðèöû Û ,x = 0. Ïîýòîìó ìàòðèöà Q̂∗ Û íåâûðîæäåííàÿ ⇒ Z ∗ = (Q̂∗ Û )−1 . 225.8QR-ðàçëîæåíèå ìàòðèöûÏóñòü A ∈ Cn×m èìååò ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòîëáöû a1 , .
. . , am ∈ Cn è ê íèì ïðèìåíÿåòñÿ ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè ÃðàìàØìèäòà ñ èñïîëüçîâàíèåì åñòåñòâåííîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.. Ïóñòü â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûå âåêòîðûq1 , . . . , q m ∈ C m .Ñîîòíîøåíèÿ ak ∈ L(q1 , . . . , qk ) âûïîëíÿþòñÿ ïðè k = 1, .
. . , m è îçíà÷àþò, ÷òî äëÿêàêèõ-òî ÷èñåë rik èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâàak =kXrik qi ,k = 1, . . . , m,i=1èëè, â ìàòðè÷íîì âèäå,A = QR,Q = [q1 , . . . , qm ],r11 r12 . . . r1mr22 . . . r2m R=.... ... rmmÎïðåäåëåíèå. Ðàçëîæåíèå A = QR, ãäå Q èìååò îðòîíîðìèðîâàííûå ñòîëáöû, à R âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà, íàçûâàåòñÿ QR-ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû A.Òàêèì îáðàçîì, ìû òîëüêî ÷òî äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ëþáîé ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöûñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè ñóùåñòâóåò QR-ðàçëîæåíèå.  ÷àñòíîñòè, îíîÅ.
Å. Òûðòûøíèêîâ169ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû.  äåéñòâèòåëüíîñòè ñïðàâåäëèâà áîëååîáùàÿÒåîðåìà. Ëþáàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, â êîòîðîé ÷èñëî ñòðîê íå ìåíüøå ÷èñëàñòîëáöîâ, îáëàäàåò QR-ðàçëîæåíèåì ñ âåðõíåé ñòóïåí÷àòîé ìàòðèöåé R.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ai1 ïåðâûé íåíóëåâîé ñòîëáåö ìàòðèöû A, ai2 ïåðâûéñòîëáåö òàêîé, ÷òî ai2 ∈/ L(ai1 ), ai3 ïåðâûé ñòîëáåö òàêîé, ÷òî ai3 ∈/ L(ai1 , ai2 ), è òàêäàëåå.
 èòîãå ïîëó÷àåì â A áàçèñíóþ ñèñòåìó ñòîëáöîâai1 , . . . , air ,i1 < i2 < . . . < ir ,îáëàäàþùóþ òàêèìè ñâîéñòâàìè:aj = 0 ïðè j < i1 ;aj ∈ L(ai1 , . . . , ail ) ïðè il < j < il+1 ,l = 1, . . . , r − 1;aj ∈ L(ai1 , . . . , air ) ïðè ir < j .Íàéäåì QR-ðàçëîæåíèå[ai1 , . . . , air ] = [qi1 , . . . , qir ]Rr .Ñèñòåìó ñòîëáöîâ qi1 , . .
. , qir äîïîëíèì äî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà â n-ìåðíîìïðîñòðàíñòâå ñòîëáöîâ è èç ïîëó÷åííûõ ñòîëáöîâ ñîñòàâèì ìàòðèöó Q, ñîõðàíèâïåðâîíà÷àëüíûå ñòîëáöû â ïîçèöèÿõ i1 , . . . , ir .Çàïèñàâ A = QR, âèäèì, ÷òî â ìàòðèöå R ïåðâûå r ýëåìåíòîâ il -ãî ñòîëáöà òå æå,÷òî â l-ì ñòîëáöå ìàòðèöû Rr .  òî æå âðåìÿ, j -é ñòîëáåö ïðè il < j < il+1 èìååò íóëèâ ïîçèöèÿõ íèæå il -é. 2Çàäà÷à.ÏóñòüA ∈ Cn×nèìååò ñòîëáöûa1 , . . . , an ∈ C n .| det A| ≤nYÄîêàæèòå íåðàâåíñòâî||aj ||2 .j=1Çàäà÷à.ÏóñòüAn ñ ýëåìåíòàìè aij = ±1.
Äîêàæèòå,ìàòðèöàìè Àäàìàðà) è n ≥ 3, òî n äåëèòñÿ íà 4. ìàòðèöà ïîðÿäêà(òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ÷òî åñëè| det A| = nn/2170Ëåêöèÿ 25Ëåêöèÿ 2626.1Ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëûÏóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ÷èñëîâûì ïîëåì P è f (x) ôóíêöèÿ îò âåêòîðàx ∈ V ñ ÷èñëîâûìè çíà÷åíèÿìè. Òàêèå ôóíêöèè ïðèíÿòî íàçûâàòü ôóíêöèîíàëàìè.Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî ëèíåéíîñòèf (αx + βy) = αf (x) + βf (y) ∀ α, β ∈ P, ∀ x, y ∈ V,òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì èëè ëèíåéíîé ôîðìîé.Ïóñòü òåïåðü V íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî1 . Ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íàçûâàåòñÿîãðàíè÷åííûì, åñëè äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû c > 0|f (x)| ≤ c||x||V∀ x ∈ V.(∗)Óòâåðæäåíèå 1. Äëÿ îãðàíè÷åííîñòè ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà íåîáõîäèìà è äîñòàòî÷íà åãî íåïðåðûâíîñòü.Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ (∗), òî èç ñõîäèìîñòè ||xk − x||V → 0 ïðè k → ∞ñëåäóåò, ÷òî |f (xk ) − f (x)| = |f (xk − x)| ≤ c||xk − x||V → 0.Åñëè ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë f (x) íåïðåðûâåí, òî ïîêàæåì, ÷òî îí îãðàíè÷åí íà åäèíè÷íîé ñôåðå S = {x : ||x||V = 1}. Åñëè ýòî íå òàê, òî äëÿ êàêîé-òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòèâåêòîðîâ xk ∈ S èìååì |f (xk )| → ∞.Îòñþäà ||xk /|f (xk )| ||V → 0 ⇒ xk /|f (xk )| → 0.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè,f (xk /|f (xk )|) → f (0) = 0, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê |f (xk /|f (xk )|)| = |f (xk )|/|f (xk )| = 1.Èòàê, |f (x)| ≤ c äëÿ âñåõ x òàêèõ, ÷òî ||x||V = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî,|f (x/||x||V )| ≤ c⇒|f (x)| ≤ c||x||V ∀ x ∈ V.2Çàìå÷àíèå. Äëÿ ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà íåïðåðûâíîñòü â êàêîé-òî îäíîé òî÷êå ðàâíîñèëüíà íåïðåðûâíîñòè âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà.Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè V êîíå÷íîìåðíî, òî ëþáîé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà V ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v1 , . . . , vn áàçèñ â V . Åñëè x = x1 v1 + . . . + xn vn , òî|f (x)| ≤nXi=11 Çíà÷èò,P =Cèëè|xi | |f (vi )| ≤ cnXi=1P = R.171|xi |,c ≡ max |f (vi )|.1≤i≤n172Ëåêöèÿ 26 êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èç ñõîäèìîñòè ïî íîðìå âûòåêàåò ïîêîîðäèíàòíàÿ ñõîäèìîñòü. Ïîýòîìó åñëè xk → 0 ïðè k → ∞, òî xki → 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
