Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ïóñòü>a1 , . . . , an ñòîëáöû ìàòðèöû A, à b>1 , . . . , bn ñòðîêè ìàòðèöû B . Òîãäà>AB = a1 b>1 + . . . + an b n .Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà, ëåãêî ïðîâåðÿåìûå ðàâåíñòâà ||ai b>i ||F||ai ||F ||bi ||F è íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà, íàõîäèì||AB||F ≤nX||ai b>i ||F=i=1nX≤!1/2||ai ||2Fi=1nXnX=||ai ||F ||bi ||Fi=1!1/2||bi ||2F= ||A||F ||B||F .2i=1Çàìå÷àíèå. Íîðìà Ôðîáåíèóñà íå ìîæåò áûòü îïåðàòîðíîé íîðìîé íà Cm×n íè ïðèêàêîì âûáîðå âåêòîðíûõ íîðì â ïðîñòðàíñòâàõ Cn è Cm äåëî â òîì, ÷òî îïåðàòîðíàÿíîðìà åäèíè÷íîé ìàòðèöû äîëæíà áûòü ðàâíà 1.Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîìc>1âåëè÷èíà||A|| = max{|a11 | + c|a12 |, |a22 | + c|a21 |},îïðåäåëÿåò â ïðîñòðàíñòâåëþáûõ27.62 × 2-ìàòðèö AèB.2 × 2-ìàòðèöíîðìó ñ íåðàâåíñòâîìaA = 11a21a12,a22||AB|| ≤ ||A||||B||,ñïðàâåäëèâûì äëÿßâëÿåòñÿ ëè îíà îïåðàòîðíîé íîðìîé?Ñîõðàíåíèå íîðìËèíåéíûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð A : V → V ñî ñâîéñòâîì||Ax|| = ||x|| ∀ x ∈ Víàçûâàåòñÿ èçîìåòðè÷åñêèì èëè ñîõðàíÿþùèì íîðìó.
Ñðàçó æå çàìåòèì, ÷òî ñîõðàíåíèå êàêîé-òî îäíîé íîðìû íå îçíà÷àåò ñîõðàíåíèå äðóãîé íîðìû.Ïóñòü â Cn çàäàíà êàêàÿ-òî íîðìà, à ìàòðèöà A ∈ Cn×n (êàê ëèíåéíûé îïåðàòîð èçnC â Cn ) åå ñîõðàíÿåò. Òàêóþ ìàòðèöó áóäåì íàçûâàòü èçîìåòðè÷åñêîé îòíîñèòåëüíîäàííîé íîðìû.Óòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ n × n-ìàòðèö, èçîìåòðè÷åñêèõ îòíî-ñèòåëüíî ãåëüäåðîâñêîé 2-íîðìû, ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì óíèòàðíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n.Äîêàçàòåëüñòâî.
Î÷åâèäíî, 2-íîðìà ïîðîæäàåòñÿ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â Cn . Èç íàøèõ èññëåäîâàíèé, ñâÿçàííûõ ñ òîæäåñòâîì ïàðàëëåëîãðàììà,Å. Å. Òûðòûøíèêîâ181âûòåêàåò, ÷òî ñîõðàíåíèå äëèí âëå÷åò çà ñîáîé ñîõðàíåíèå ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé:y ∗ (A∗ A)x = y ∗ x ∀ x, y ∈ Cn .⇔(Ax, Ay) = (x, y)Îòñþäà y ∗ (A∗ A − I)x = 0 äëÿ âñå x, y ∈ Cn . Âûáèðàÿ â êà÷åñòâå x è y âåêòîðû ñòàíäàðòíîãî áàçèñà, ïðèõîäèì ê âûâîäó î òîì, ÷òî âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû A∗ A − I ðàâíû íóëþ.Òàêèì îáðàçîì, ñîõðàíåíèå 2-íîðìû ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ A∗ A = I , îïðåäåëÿþùåìóíèòàðíóþ ìàòðèöó. 2Çàìå÷àíèå.
Ìíîæåñòâî ìàòðèö, ñîõðàíÿþùèõ p-íîðìó â ñëó÷àå p 6= 2, çíà÷èòåëüíîáåäíåå. Ïîïðîáóéòå äîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñåõ p 6= 2 îíî îäíî è òî æå è ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ìàòðèö âèäà DP , ãäå D äèàãîíàëüíàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, à P ìàòðèöàïåðåñòàíîâêè.27.7Óíèòàðíî èíâàðèàíòíûå íîðìûÌàòðè÷íàÿ íîðìà || · || íàçûâàåòñÿ óíèòàðíî èíâàðèàíòíîé, åñëè ||P AQ|| = ||A|| äëÿëþáîé ìàòðèöû A è ëþáûõ óíèòàðíûõ ìàòðèö P è Q, äîïóñêàþùèõ óìíîæåíèå.Óòâåðæäåíèå 1. Íîðìà Ôðîáåíèóñà ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíî èíâàðèàíòíîé.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü Q óíèòàðíàÿ ìàòðèö è A = [a1 , . . . , an ]. Òîãäà||Qaj ||2 = ||aj ||2 ,Îòñþäà||QA||2F=nX||Qaj ||22j=1=j = 1, . . . , n.nX||aj ||22 = ||A||2F .2j=1Çàìåòèì, ÷òî ïðè èçó÷åíèè ìåòîäà âðàùåíèé (â ñâÿçè ñ óïðîùåíèåì âèäà óðàâíåíèé äëÿ ïîâåðõíîñòåé 2-ãî ïîðÿäêà) ìû óæå èñïîëüçîâàëè ôàêò ñîõðàíåíèÿ ñóììûêâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ âåùåñòâåííîé ìàòðèöû ïðè óìíîæåíèè åå ñëåâà è ñïðàâà íà îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû.Ðàññìîòðèì åùå ìàòðè÷íóþ íîðìó, ïîä÷èíåííóþ ãåëüäåðîâñêîé 2-íîðìå:||A|| = sup ||Ax||2 .||x||2 =1Äàííàÿ íîðìà íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé íîðìîé ìàòðèöû (ñìûñë íàçâàíèÿ ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïðîÿñíèòñÿ). Îáîçíà÷åíèå: ||A||2 .Óòâåðæäåíèå 2. Ñïåêòðàëüíàÿ íîðìà ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíî èíâàðèàíòíîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Q óíèòàðíàÿ ìàòðèö è A = [a1 , . .
. , an ]. Ïî îïðåäåëåíèþ,||A||2 = sup ||Ax||2 = sup ||(QA)x||2 = ||QA||2 .||x||2 =1||x||2 =1Êðîìå òîãî,||AQ||2 = sup ||(AQ)x||2 =||x||2 =1sup||Q∗ x||2 =1||(AQ)(Q∗ x)||2 = sup ||(Ax)||2 = ||A||2 .||x||2 =1218227.8Ëåêöèÿ 27Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû 70-õ ãîäàõ 19-ãî âåêà íåçàâèñèìî è ïî÷òè îäíîâðåìåííî Áåëüòðàìè (1873) è Æîðäàí(1874) îòêðûëè, ÷òî ëþáóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê äèàãîíàëüíîìóâèäó ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ ñëåâà è ñïðàâà íà óíèòàðíûå ìàòðèöû. Ðàçëè÷íûå âîïðîñû,ñâÿçàííûå ñ äàííûì îòêðûòèåì, â òîì ÷èñëå åãî îáîáùåíèÿ, ñòàëè çàòåì ïðåäìåòîìöåëîãî ðÿäà èññëåäîâàíèé. Íå áóäåò ñèëüíûì ïðåóâåëè÷åíèåì ñêàçàòü, ÷òî äàííûé ôàêòîêàçàëñÿ ïîòðÿñàþùå ïîëåçíûì è îäíèì èç íàèáîëåå âîñòðåáîâàííûõ â òåîðèè ìàòðèöè ïðèëîæåíèÿõ ëèíåéíîé àëãåáðû. äåéñòâèòåëüíîñòè òî æå âåðíî è äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû. Ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ íà óíèòàðíûå ìàòðèöû îíà ïðèâîäèòñÿ ê ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöå òåõ æå ðàçìåðîâ, èìåþùåé âñþäó íóëè, êðîìå ýëåìåíòîâ ñ èíäåêñàìè i = j .
Òàêèå ìàòðèöû áóäåìíàçûâàòü äèàãîíàëüíûìè ïðÿìîóãîëüíûìè ìàòðèöàìè. Èòàê, ðå÷ü èäåò î ðàçëîæåíèèâèäàA = V ΣU ∗ ,(∗)ãäå A çàäàííàÿ m × n-ìàòðèöà, U è V óíèòàðíûå ìàòðèöû ñîîòâåòñòâåííî ïîðÿäêà m è n, à Σ äèàãîíàëüíàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ m × n-ìàòðèöà, èìåþùàÿ ïðè i = jíåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëàσ1 ≥ σ2 ≥ . . .
≥ σmin(m,n) .Ðàçëîæåíèå (∗) íàçûâàåòñÿ ñèíãóëÿðíûì ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû A. ×èñëà σi íàçûâàþòñÿ ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A.Òåîðåìà. Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå A = V ΣU ∗ ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîé êîìïëåêñíîéïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû A. Åñëè A âåùåñòâåííàÿ, òî ìàòðèöû U è V ìîæíî âûáðàòü âåùåñòâåííûìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì σ1 = ||A||2 = sup ||Ax||2 /||x||2 .  ñèëó êîìïàêòíîñòè åäèx6=0íè÷íîé ñôåðû â Cn , íåïðåðûâíîñòè íîðìû è òåîðåìû Âåéåðøðàññà, íàéäåòñÿ âåêòîð x1òàêîé, ÷òî ||Ax1 ||2 = ||A||2 è ||x1 ||2 = 1. Ïóñòü y1 = Ax1 /||Ax1 ||2 . Òàêèì îáðàçîì,Ax1 = σ1 y1 ,||x1 ||2 = ||y1 ||2 .(#)Äîïîëíèì x1 è y1 äî îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñîâ è îáðàçóåì óíèòàðíûå ìàòðèöûU1 = [x1 , x2 , .
. . , xn ],V1 = [y1 , y2 , . . . , ym ].Ñîãëàñíî (#), ìàòðèöà A1 ≡ V1∗ AU1 èìååò â ïåðâîì ñòîëáöå òîëüêî îäèí íåíóëåâîéýëåìåíò, ðàâíûé σ1 :hiσ1 z ∗∗A1 = V1 AU1 = 0 A2 . ñèëó óíèòàðíîé èíâàðèàíòíîñòè ñïåêòðàëüíîé íîðìû, ||A1 || = σ1 . Ïîýòîìóh ih ihσ1 σz1 ≥ A1 σz1 ≥ σ12 + ||z||22 ⇒ σ12 ≥ σ12 + ||z||22 ⇒ z = 0 ⇒ A1 = σ01220A2i.Äàëåå áóäåì ðàññóæäàòü ïî èíäóêöèè. Åñëè äëÿ A2 óæå èìååòñÿ ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå A2 = V2∗ Σ2 U2 , òî ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ A íàõîäèòñÿ ñ ëåãêîñòüþ. Äëÿýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòü1 01 0U = U1,V = V1,0 U20 V2Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ183çàìåòèòü, ÷òî ìàòðèöû U è V óíèòàðíûå (êàê ïðîèçâåäåíèå óíèòàðíûõ ìàòðèö), èóáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîσ1 0∗.V AU =0 Σ2Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî èíäóêöèÿ íà÷èíàåòñÿ ñ ïîñòðîåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ äëÿ ìàòðèö, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé îäèí ñòîëáåö ëèáî îäíó ñòðîêó.Ïóñòü A = [a] ∈ Cm×1 ìàòðèöà-ñòîëáåö.  ýòîì ñëó÷àå íàéäåì â Cm îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ v1 , . . .
, vm , íà÷èíàþùèéñÿ ñ v1 = a/||a||2 . ÒîãäàA = V ΣU ∗ ,Σ = [||a||2 , 0, . . . , 0]> ,V = [v1 , . . . , vm ],U = [1] ∈ C1×1 .Äëÿ ìàòðèöû-ñòðîêè ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ïîëó÷àåòñÿ òðàíñïîíèðîâàíèåì.2Ñëåäñòâèå 1. Ñïåêòðàëüíàÿ íîðìà ìàòðèöû ðàâíà åå ñòàðøåìó ñèíãóëÿðíîìó ÷èñëó.Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü ìàòðèöà A îáðàòèìà è σn åå ìëàäøåå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî.Òîãäà ||A−1 ||2 = 1/σn .Òåïåðü ÿñíî, ÷òî ñòàðøåå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû è ìëàäøåå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëîîáðàòèìîé ìàòðèöû îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.
Òî æå âåðíî äëÿ âñåãî íàáîðà ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë, íî ýòî ìû äîêàæåì ïîçæå. Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå âìåñòå åùå ñ ðÿäîìâàæíûõ ñëåäñòâèé çàñëóæèâàåò áîëåå îáñòîÿòåëüíîãî îáñóæäåíèÿ, êîòîðîå ìû âðåìåííî îòëîæèì ñ òåì, ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê íåìó íà áîëåå ïîäãîòîâëåííîé ïî÷âå.Çàäà÷à.Äîêàçàòü íåðàâåíñòâîÇàäà÷à.ÏóñòüA = [aij ]Aíå√rankA ||A||2 .D = [dij ] êîìïëåêñíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n, ïðè ýòîì D äèàãîdii = aii ïðè 1 ≤ i ≤ n.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ||A||2 = ||D||2 , òî íóëåâûõìåíüøå, ÷åì 2n − 2.èíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìèýëåìåíòîâ â ìàòðèöå||A||F ≤184Ëåêöèÿ 27Ëåêöèÿ 2828.1Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðàÐàññìîòðèì ëèíåéíûé îïåðàòîð A : Vn → Vm , ãäå Vn è Vm ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâàðàçìåðíîñòè n è m (íàä îáùèì ïîëåì P ).Ôèêñèðóåì êàêîé-íèáóäü áàçèñ e1 , . . . , en â Vn è êàêîé-íèáóäü áàçèñ f1 , . . . , fm â Vm . ñèëó ëèíåéíîñòè îïåðàòîðà A,A(x1 e1 + . . .
+ xn en ) = x1 (Ae1 ) + . . . + xn (Aen ).(1)Ïîýòîìó A ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì äåéñòâèåì íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ e1 , . . . , en .Ðàçëîæèì îáðàçû áàçèñíûõ âåêòîðîâ ïî áàçèñó ïðîñòðàíñòâà îáðàçîâ:Aej = a1j f1 + . . . + amj fm ,j = 1, . . . , n.(2)Èç (1) è (2) ïîëó÷àåìA(x1 e1 + . . . + xn en ) = (a11 x1 + . . . + a1n xn ) f1 + . . . + (am1 x1 + . . . + amn xn ) fm .Ñëåäîâàòåëüíî,A(x1 e1 + .
. . + xn en ) = y1 f1 + . . . + ym fm y1a11 . . . a1nx1... = ... ... .... . . .⇔ymam1 . . . amnxnÌàòðèöà, âîçíèêøàÿ ñïðàâà, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A â ïàðå áàçèñîâ {ej } è {fi }.Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ôèêñèðîâàííàÿ ïàðà áàçèñîâ ïîðîæäàåò òðè èçîìîðôèçìàVn ↔ P n ,Vm ↔ P m ,L(Vn , Vm ) ↔ P m×n ,ãäå L(Vn , Vm ) ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èçïðîñòðàíñòâà Vn â ïðîñòðàíñòâî Vm , à P m×n ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ m×n-ìàòðèöñ ýëåìåíòàìè èç ïîëÿ P .
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âèäíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâàëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ L(Vn , Vm ) ðàâíà mn.Ïðèìåð. ÏóñòüD:V →WW.V =Wf1 = 1, f2 = t, f3 = t2 â îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íà ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâñòåïåíè 2 è íèæå. Ðàññìîòðèì áàçèñe1 = 1 + t, e2 = 1 − t, e3 = t2âVè áàçèñÎ÷åâèäíî,D(1 + t) = 1,Ïîýòîìó â ïàðå áàçèñîâe = {ei }èf = {fi }D(t2 ) = 2t.D(1 − t) = −1,ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà1 −1 00 2 .Aef = 000 0185Dèìååò âèä186Ëåêöèÿ 28W = V âûáðàòü òîò æå áàçèñ e1 , e2 , e3 ?e1 , e2 , e3 ïî òåì æå âåêòîðàì e1 , e2 , e3 :Êàêîé áóäåò ìàòðèöà òîãî æå îïåðàòîðà, åñëè âíóæíî íàéòè ðàçëîæåíèÿ îáðàçîâ âåêòîðîâD(1 + t) =28.211(1 + t) + (1 − t),221D(1 − t) = − (1 + t) −21/2 −1/2Aee = 1/2 −1/2001(1 − t),21−1 .0Äëÿ ýòîãîD(t2 ) = (1 + t) − (1 − t)⇒Ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâÏðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ A : Vn → Vm è B : Vm → Vk îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîìïîçèöèÿ îòîáðàæåíèé: BA ýòî îïåðàòîð èç Vn â Vk , çàäàííûé ïðàâèëîì (BA)(x) =B(Ax).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
