Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Âçÿâ y = Ax, ïîëó÷àåìy ∗ Ax = (Ax)∗ (Ax) = |Ax|2 = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ x ∈ kerA ⇒ (imA∗ )⊥ ⊂ kerA.Èòàê, kerA = (imA∗ )⊥ . Ìû óæå çíàåì, ÷òî ðàçìåðíîñòü îðòîãîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ ê imA∗ ðàâíà n − dim imA∗ = n − rankA = n − dim imA. 2 äåéñòâèòåëüíîñòè íàìè îáíàðóæåíî èíòåðåñíîå îáùåå ñâîéñòâî ÿäðà ìàòðèöû èîáðàçà ñîïðÿæåííîé ìàòðèöû.Òåîðåìà. Ïóñòü A ∈ Cm×n . Òîãäà Cn è Cm ïðåäñòàâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè ñóììàìè âèäàCn = kerA ⊕ imA∗ ,Cm = kerA∗ ⊕ imA.Îòìåòèì äâà î÷åâèäíûõ ñëåäñòâèÿ. Îíè èíòåðåñíû, ïðåæäå âñåãî, òåì, ÷òî â òåõ æåôîðìóëèðîâêàõ ïåðåíîñÿòñÿ íà âàæíûå êëàññû îïåðàòîðíûõ óðàâíåíèé â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ è ïîìîãàþò ïîëó÷àòü òàì ôàêòû î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòèðåøåíèé.Òåîðåìà Ôðåäãîëüìà.
Äëÿ ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû Ax = b íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïðàâàÿ ÷àñòü b áûëà îðòîãîíàëüíà êî âñåì ðåøåíèÿì y îäíîðîäíîé ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû A∗ y = 0.Àëüòåðíàòèâà Ôðåäãîëüìà. Ëèáî ñèñòåìà Ax = b èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåäëÿ ëþáîé ïðàâîé ÷àñòè b, ëèáî îäíîðîäíàÿ ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà A∗ y = 0 èìååòíåíóëåâîå ðåøåíèå.Çàäà÷à.Ïóñòü âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿâî âåùåñòâåííûõ íåïðåðûâíûõ íà[0, 1]a(t, τ )íåïðåðûâíà ïðè0 ≤ t, τ ≤ 1,ôóíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìàV ïðîñòðàíñò-(f, g) =R10f (t)g(t)dt.Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ191Äîêàæèòå, ÷òî êàæäûé èç îïåðàòîðîâZ1A : f (t) 7→ f (t) −a(t, τ )f (τ )dτ,A0 : f (τ ) 7→ f (τ ) −0ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì èÇàäà÷à.Z1f (t)a(t, τ )dt0(Af, g) = (f, A0 g) äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé f, g ∈ V . Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî kerA⊥imA0 .Ôóíêöèÿa(t, τ ) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó −1 < a(t, τ ) < 1 ïðè 0 ≤ t, τ ≤ 1.Äîêàæèòå, ÷òî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåZ1x(t) −a(t, τ )x(τ )dτ = 0,0 ≤ t ≤ 1,0èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå â ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèéx(t) ∈ C[0, 1].192Ëåêöèÿ 28Ëåêöèÿ 2929.1Äèàãîíàëèçóåìûå ìàòðèöûÌàòðèöû, ïîäîáíûå äèàãîíàëüíûì ìàòðèöàì, íàçûâàþò äèàãîíàëèçóåìûìè èëè ìàòðèöàìè ïðîñòîé ñòðóêòóðû.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î äèàãîíàëèçàöèè 3 × 3-ìàòðèöû: a11 a12 a13p11 p12 p13p11 p12 p13λ1.λ2AP = P Λ ⇔ a21 a12 a23 p21 p22 p23 = p21 p22 p23 a31 a32 a33p31 p32 p33p31 p32 p33λ3Äàííîå ðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî òðåì ðàâåíñòâàì a11 a12 a13p1jp1ja11 a12 a23 p2j = λj p2j ,a31 a32 a33p3jp3jj = 1, 2, 3.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çíà÷åíèå λj èçâåñòíî.
Òîãäà ýëåìåíòû j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû P óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîé ñèñòåìå 0p1ja11 − λja12a13 a11p2j = 0 .a12 − λja23(∗)p3ja31a32a33 − λj0Äàííàÿ ñèñòåìà äîëæíà èìåòü íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ⇔ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, λj óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþîòíîñèòåëüíî λ:a11 − λa12a13a12 − λa23 = 0.det a11(#)a31a32a33 − λÝòî êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå âèäà λ3 − s2 λ2 + s1 λ − s0 = 0, ãäå, êàê ëåãêî âèäåòü,s2 = a11 + a22 + a33 ,s1a11 a12a11 a13a22 a23= det+ det+ det,a21 a22a31 a33a32 a33a11 a12 a13s0 = det a11 a12 a23 .a31 a32 a33193194Ëåêöèÿ 29Ìîæíî âñïîìíèòü, ÷òî âîïðîñîì î äèàãîíàëèçàöèè ìàòðèö ïîðÿäêà 3 ìû çàíèìàëèñüïðè èçó÷åíèè ëèíèé è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè ïîèñêå òàêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, â êîòîðîé ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè (âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöàïîðÿäêà 3) ñòàíîâèòñÿ äèàãîíàëüíîé.
129.2Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðûÏóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n è P îáðàòèìàÿ ìàòðèöà ñî ñòîëáöàìè p1 , . . . , pn .Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðàâåíñòâî AP = P Λ ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå ðàâåíñòâApj = λj pj ,j = 1, . . . , n.Ýòè ðàâåíñòâà ïîäâîäÿò íàñ ê âàæíûì ïîíÿòèÿì ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ìàòðèöû èñîáñòâåííîãî âåêòîðà.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n. ×èñëî λ ∈ C è íåíóëåâîé ñòîëáåöx ∈ Cn , ñâÿçàííûå ñîîòíîøåíèåì Ax = λx, íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì èñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A.
Ïàðà λ, x èíîãäà íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé ïàðîéìàòðèöû A.Òåîðåìà. Ìàòðèöà A ïîðÿäêà n äèàãîíàëèçóåìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíàîáëàäàåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìîé n ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü p1 , . . . , pn ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ âåòêîðîâ ìàòðèöû A, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì λ1 , . . . , λn :Apj = λj pj , j = 1, . . . , n.⇔λ1..AP = P .,P = [p1 , . . . , pn ].λnÌàòðèöà A îáðàòèìà êàê ìàòðèöà ñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè.hiÏðèìåð íåäèàãîíàëèçóåìîé ìàòðèöû: A = 00 10 .
Äîïóñòèì, ÷òî−1 λ1 00 1 p11 p12p11 p12=0 λ2p21 p220 0 p21 p22⇒2 p11 p12 λ1 00 1 p11 p12.=p21 p220 λ20 0 p21 p22Îòñþäà p21 p22p11 λ1 p12 λ2=.00p21 λ1 p22 λ2Õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë λ1 , λ2 äîëæíî îòëè÷àòüñÿ îò íóëÿ. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòèλ1 6= 0 ⇒ p21 = 0 ⇒ p11 = 0. Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå, ïîñêîëüêó ìàòðèöà ñ íóëåâûìñòîëáöîì íå ìîæåò áûòü îáðàòèìîé. 21  Ëåêöèè 20 áûëî äîêàçàíî, ÷òîïîäîáíà äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå Dëþáàÿ âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíîA = P DP −1 , ãäå P îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. ýòî îçíà÷àåò, ÷òîÝòî æå óòâåðæäåíèå ñêîðî ïîÿâèòñÿ êàê ñëåäñòâèå áîëåå îáùèõ ðåçóëüòàòîâ.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ29.3195Ñîáñòâåííûå âåêòîðû äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèéÒåîðåìà. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîïàðíî ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì ìàòðèöû, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè.Ïóñòü x1 , .
. . , xm ñîáñòâåííûå âåêòîðû äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ1 , . . . , λm ìàòðèöû A. Ïóñòü α1 x1 + . . . + αm xm = 0. Óìíîæèì îáå ÷àñòè ñëåâàíà ìàòðèöó A:α1 λ1 x1 + . . . + αm λm xm = 0.Èç äàííîãî ðàâåíñòâà âû÷òåì ïðåäûäóùåå, óìíîæåííîå íà λm :α1 (λ1 − λm )x1 + .
. . + αm−1 (λm−1 − λm )xm−1 = 0.Îòñþäà ÿñíî, ÷òî èç ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ x1 , . . . , xm−1 âûòåêàëà áû ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ x1 , . . . , xm . Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøàåòñÿ ïðèìåíåíèåìèíäóêöèè. 2Ñëåäñòâèå. Åñëè ìàòðèöà ïîðÿäêà n èìååò n ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, òîîíà äèàãîíàëèçóåìà.29.4Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèåÏóñòü λ ïðîèçâîëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A.
Ïðè ôèêñèðîâàííîì λ âñåñîîòâåòñòâóþùèå åìó ñîáñòâåííûå âåêòîðû x óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîé ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé(A − λI)x = 0.×èñëî λ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì ìàòðèöû Aíåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ⇔ det(A − λI) = 0.⇔äàííàÿ ñèñòåìà èìååòÎïðåäåëåíèå. Óðàâíåíèå det(A − λI) = 0 îòíîñèòåëüíî λ íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè-÷åñêèì óðàâíåíèåì ìàòðèöû A. Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ åñòü ìíîãî÷ëåí ñòåïåíèn îò λ, íàçûâàåìûé õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ìàòðèöû A.Óòâåðæäåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí f (λ) = det(A−λI) ìàòðèöû A èìååòâèäf (λ) = (−1)n (λn − sn−1 λn−1 + sn−2 λn−2 − . . .
+ (−1)n s0 ),ãäå sk åñòü ñóììà âñåõ ìèíîðîâ ìàòðèöû A ïîðÿäêà n − k , ðàñïîëîæåííûõ íà ïåðåñå÷åíèè ñòîëáöîâ è ñòðîê ñ îäèíàêîâûìè íîìåðàìè.Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíò sk , íóæíî ñðåäè n! ÷ëåíîâ îïðåäåëèòåëÿdet(A − λI) =Xdσσ∈Snâûáðàòü òå è òîëüêî òå ÷ëåíû dσ , êîòîðûå ñîäåðæàò ïðîèçâåäåíèå ðîâíî k äèàãîíàëüíûõ ÷ëåíîâ âèäà aii − λ (îíè è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíàìè ñòåïåíè k îò λ), âêàæäîì èç íèõ âûäåëèòü ñëàãàåìîå ñòàðøåé ñòåïåíè âèäà (−λ)k cσ è ïðîñóììèðîâàòüïîëó÷åííûå êîýôôèöèåíòû cσ .
Î÷åâèäíî, ÷òî ñóììà âñåõ cσ , îòâå÷àþùèõ k äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòàì â ôèêñèðîâàííûõ ïîçèöèÿõ i1 < . . . < ik , áóäåò ðàâíà ìèíîðó ìàòðèöû196Ëåêöèÿ 29A, ðàñïîëîæåííîìó íà ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ, äîïîëíèòåëüíûõ ê ñòðîêàì è ñòîëáöàì ñíîìåðàìè i1 , . . . , ik . 2 ÷àñòíîñòè, sn−1 = a11 + . .
. + ann âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ ñëåäîì ìàòðèöû A.Îáîçíà÷åíèå: tr A.  ñèëó ôîðìóë Âèåòà, ñëåä ðàâåí ñóììå âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéñ ó÷åòîì êðàòíîñòåé. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî s0 = det A.Ïðè n ≤ 4 ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (êàê êîðíè ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè n ≤ 4) ìîãóòáûòü âûðàæåíû â ðàäèêàëàõ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà è,ñëåäîâàòåëüíî, ÷åðåç ýëåìåíòû ìàòðèöû. Ïðè n ≥ 5 òàêèõ ôîðìóë óæå íå ñóùåñòâóåò(çíàìåíèòûé ðåçóëüòàò Àáåëÿ, Ðóôôèíè è Ãàëóà).29.5Àëãåáðàè÷åñêàÿ êðàòíîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿÊðàòíîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ êàê êîðíÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà íàçûâàåòñÿ åãî àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòüþ. Èç îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû ñðàçó æå âûòåêàåòñëåäóþùàÿÒåîðåìà.
Ëþáàÿ êîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà A ïîðÿäêà n èìååò n êîìïëåêñíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ ó÷åòîì àëãåáðàè÷åñêèõ êðàòíîñòåé.29.6Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí è ïîäîáèåÒåîðåìà. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû ïîäîáíûõ ìàòðèö ñîâïàäàþò.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü B = P −1 AP , ãäå P îáðàòèìàÿ ìàòðèöà. Òîãäàdet(B − λI)===det(P −1 AP − λP −1 P ) = det(P −1 (A − λI)P )det P −1 det P det(A − λI) = det(P −1 P ) det(A − λI)det(A − λI). 2Ñëåäñòâèå.
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è èõ àëãåáðàè÷åñêèå êðàòíîñòè äëÿ ïîäîáíûõìàòðèö ñîâïàäàþò.Çàäà÷à.Çàäà÷à.Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöûÏóñòüAèBA=1...1.n×n êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäíîãî è òîãî æå ïîðÿäêà. Äîêàæèòå, ÷òîABèBAèìåþò îäèíàêîâûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû.29.7Ïðèâåäåíèå ê ïî÷òè òðåóãîëüíîé ìàòðèöåÒàêèì îáðàçîì, ïðè âû÷èñëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû A ìîæíî èñïîëüçîâàòüïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ äëÿ ïåðåõîäà ê ìàòðèöå áîëåå ïðîñòîãî âèäà, èìåþùåé òå æåñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.Íàïðèìåð, îò A ìîæíî ïåðåéòè ê ïîäîáíîé åé âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ìàòðèöå.Òàê íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà H = [hij ], â êîòîðîé hij = 0 ïðè i ≥ j + 2. Òàêàÿ ìàòðèöàíàçûâàåòñÿ òàêæå âåðõíåé õåññåíáåðãîâîé.Óòâåðæäåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
