Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Òîãäà M − λi I âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ íóëåâîéãëàâíîé äèàãîíàëüþ ⇒ (M − λi I)ki = 0 ⇒ (A − λi I)ki x = 0 ∀ x ∈ L ⇒ L ⊂ Ki .Ïîñêîëüêó dim L = dim Ki , ïîëó÷àåì L = Ki . 231.3Íèëüïîòåíòíûå îïåðàòîðûÎïåðàòîð A : V → V íàçûâàåòñÿ íèëüïîòåíòíûì, åñëè Ak = 0 äëÿ êàêîãî-òî k . Òàêæå íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà A òàêàÿ, ÷òî Ak = 0.Óòâåðæäåíèå.
Ìàòðèöà A ïîðÿäêà n íèëüòîòåíòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàåå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èìååò âèä det(A − λI) = (−λ)n .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Ak = 0, Ax = λx, x 6= 0 ⇒ Ak x = λk x = 0 ⇒ λ = 0. ÅñëèA èìååò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå íóëü êðàòíîñòè n, òî, ïî òåîðåìå î âåðõíåé òðåóãîëüíîéôîðìå, îíà ïîäîáíà âåðõíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöå B ñ íóëÿìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè⇒ B n = 0. 2Ñëåäñòâèå. Ñóæåíèå A−λi I íà êîðíåâîå ïðîñòðàíñòâî Ki ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíûìîïåðàòîðîì íà Ki .Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöàäëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõÇàäà÷à.ìàòðèöàAAkÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà trA=0k.Äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèöíèëüïîòåíòíàÿ.AèBâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîAB − BA = A1955 .Äîêàçàòü, ÷òîÅ.
Å. Òûðòûøíèêîâ31.4207Êîðíåâîå ðàçëîæåíèåÒåîðåìà î êîðíåâîì ðàçëîæåíèè. Ïóñòü ìàòðèöà A ∈ Cn×n èìååò m ïîïàðíîðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè k1 , . . . , km , à K1 , . . . , Km îòâå÷àþùèå èì êîðíåâûå ïðîñòðàíñòâà. Òîãäà Cn ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììóCn = K1 + . . . + Km .(∗)Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî ñóììà K1 + . . . + Km ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé. Ïóñòüx1 + . .
. + xm = 0,xi ∈ Ki , 1 ≤ i ≤ m. ⇒(A − λ2 I)k2 . . . (A − λm I)km (x1 + . . . + xm ) = (A − λ2 I)k2 . . . (A − λm I)km x1 = 0.Çäåñü ìû èñïîëüçóåì òî, ÷òî ëþáûå ìàòðè÷íûå ìíîãî÷ëåíû îò A êîììóòèðóþò.  ñèëóËåììû 1, ñóæåíèå êàæäîé èç ìàòðèö (A − λi I)ki , 2 ≤ i ≤ m, íà K1 ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûìîïåðàòîðîì ⇒ x1 = 0. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî x2 = . . .
= xm = 0. Îñòàåòñÿó÷åñòü, ÷òîdim K1 + . . . + dim Km = n.2Ðàçëîæåíèå (∗) èíîãäà íàçûâàåòñÿ êîðíåâûì ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû A.Ïóñòü A ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A : Vn → Vn íà êîìïëåêñíîì n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå Vn . Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λi è èõ àëãåáðàè÷åñêèå êðàòíîñòè ki íå çàâèñÿò îò âûáîðà áàçèñà äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðà A.
Ïîä êîðíåâûìèïðîñòðàíñòâàìè îïåðàòîðà A ïîíèìàþòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâà ker(A − λi I)ki ⊂ Vn (çäåñüI òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð). Ïîëó÷åííîé íàìè òåîðåìå ìîæíî äàòü è îïåðàòîðíóþôîðìóëèðîâêó.Îïåðàòîðíàÿ ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû î êîðíåâîì ðàçëîæåíèè. Cóììà m êîðíåâûõ ïðîñòðàíñòâ îïåðàòîðà A ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé è ñîâïàäàåò ñ Vn :Vn = ker(A − λ1 I)k1 + . . . + ker(A − λm I)km31.5Áëî÷íî äèàãîíàëüíàÿ ôîðìà ìàòðèöûÑîãëàñíî òåîðåìå î êîðíåâîì ðàçëîæåíèè, áàçèñ â Cn ìîæíî âûáðàòü êàê îáúåäèíåíèå áàçèñîâ â êîðíåâûõ ïðîñòðàíñòâàõ Ki , 1 ≤ i ≤ m.
Ïóñòü ýòîò áàçèñ ïðåäñòàâëåíñòîëáöàìè ìàòðèöû X . Òîãäà, âñëåäñòâèå òåîðåìû î êîðíåâîì ðàçëîæåíèè,B1..X −1 AX = ..BmÏîðÿäîê áëîêà Bi ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λi .Çàìåòèì, ÷òî, â ñèëó òåîðåìû î âåðõíåé òðåóãîëüíîé ôîðìå, X ìîæíî âûáðàòüòàêèì îáðàçîì, ÷òî êàæäûé áëîê Bi áóäåò âåðõíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé.Çàäà÷à.áëîêèÏóñòü âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêàA11 ∈ Cn1 ×n1èA22 ∈ Cn2 ×n2n = n1 +n2 èìååò âèäA110A12A22è ïðè ýòîìíå èìåþò îáùèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò208Ëåêöèÿ 31ìàòðèöàX ∈ Cn1 ×n2òàêàÿ, ÷òîI031.6XIA110A12A22I0XI−1A11=00.A22Òåîðåìà ÃàìèëüòîíàÊýëèÒåîðåìà ÃàìèëüòîíàÊýëè. Ïóñòü A ∈ Cn×n ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà è f (λ) =det(A − λI) åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí. Òîãäà f (A) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.λ1 , . . . , λmÏóñòü èìååòñÿ m ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéàëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè k1 , . . . , km . Òîãäàf (A) = (−1)n (A − λ1 I)k1 . .
. (A − λm I)km .Ëþáîé âåêòîð x ∈ Cn èìååò âèä x = x1 + . . . + xm , ãäå (A − λi I)ki xi = 0. Îñòàåòñÿçàìåòèòü, ÷òî ìàòðèöû (A − λi I)ki è (A − λj I)kj êîììóòèðóþò. 2Çàìå÷àíèå. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ÃàìèëüòîíàÊýëè áûëî èñïîëüçîâàíî êàíî-íè÷åñêîå ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíîãî ìíîãî÷ëåíà (õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ìàòðèöû A) è ñâÿçàííûé ñ íèì ðåçóëüòàò î ðàñùåïëåíèè Cn â ïðÿìóþ ñóììó êîðíåâûõïðîñòðàíñòâ ìàòðèöû A.
Îäíàêî, õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èìååò ñìûñë äëÿ ìàòðèöû íàä ëþáûì ïîëåì, ïðè÷åì ýòî áóäåò ìíîãî÷ëåí ñ êîýôôèöèåíòàìè èìåííî èç ýòîãîïîëÿ.  îáùåì ñëó÷àå, ïðàâäà, îí ìîæåò íå èìåòü íè îäíîãî êîðíÿ â çàäàííîì ïîëå.Òåì íå ìåíåå, òåîðåìà ÃàìèëüòîíàÊýëè îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è â îáùåì ñëó÷àå. ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ ìîæíî ïðåäëîæèòü, íàïðèìåð, òàêîå ðàññóæäåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåçB(λ)ìàòðèöó, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû îòàëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ê ýëåìåíòó â ïîçèöèèj, iìàòðèöû(A − λI)B(λ) = B(λ)(A − λI) = f (λ)I,Äàííûå ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàâåíñòâà íåêîòîðûõîòλ,λ è ïðè ýòîìA − λI . Òîãäàâ ïîçèöèèf (λ) = det(A − λI).ìàòðè÷íûõ ìíîãî÷ëåíîâi, jíàõîäèòñÿ(∗) ìíîãî÷ëåíîââ êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû ÿâëÿþòñÿ ìàòðèöàìè îáùèõ ðàçìåðîâ.
Ñòåïåíüþ ìàòðè÷íîãî ìíîãî-F (λ) = Ak λk + Ak−1 λk−1 + ... + A0 , ãäå Ak 6= 0, íàçûâàåòñÿ ÷èñëî k . Êàêdeg F = k . Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïðåäñòàâëåíèå÷ëåíàè ðàíüøå, áóäåì ïèñàòüF (λ) = (λI − A)Q(λ) + R(λ),ãäå ëèáî(∗)deg R ≤ k − 1. ßñíî òàêæå, ÷òî F (A) = R(A). Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî â ñèëóìíîãî÷ëåí F (λ) = f (λ)I äåëèòñÿ íàöåëî íà λI − A, ïîýòîìó F (A) = 0⇒ f (A) = 0.R(λ) = 0,ìàòðè÷íûéëèáîËåêöèÿ 3232.1Ìèíèìàëüíîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâîÏîïðîáóåì ñäåëàòü áîëåå ñïåöèàëüíûé âûáîð áàçèñà â êîðíåâîì ïðîñòðàíñòâå Ki , ïîçâîëÿþùèé ðàñùåïèòü Ki â ïðÿìóþ ñóììó èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ ñ ìàêñèìàëüíîâîçìîæíûì ÷èñëîì ñëàãàåìûõ.Ïîñêîëüêó èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà íå ìåíÿþòñÿ ïðè ñäâèãå, èõ ìîæíî ñòðîèòü äëÿ B = A−λi I .
Åñëè A èìååò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1 , . . . , λm ,òî B ïîëó÷àåò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ µ1 = λ1 − λi , . . . , µm = λm − λiñ òåìè æå àëãåáðàè÷åñêèìè êðàòíîñòÿìè.  ÷àñòíîñòè, B èìååò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåµi = 0 àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè ki .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî L ⊂ Ki èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî B , è ïóñòü x 6= 0, x ∈ L. ÒîãäàL ñîäåðæèò âñå âåêòîðû âèäà x, Bx, B 2 x, . . . . Ïîñêîëüêó Ki = kerB ki , çàêëþ÷àåì, ÷òîB l x = 0 ïðè l ≥ ki .Îáîçíà÷èì ÷åðåç k = k(x) íàèìåíüøèé íîìåð òàêîé, ÷òî B k x = 0. Áóäåì íàçûâàòü kâûñîòîé âåêòîðà x â êîðíåâîì ïðîñòðàíñòâå Ki .Ëåììà î ìèíèìàëüíîì èíâàðèàíòíîì ïîäïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü x ∈ Ki âåêòîðâûñîòû k . ÒîãäàLk = L(x, Bx, .
. . , B k−1 x) ⊂ Kiÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì, ñîäåðæàùèì x. Ïðè ýòîìâåêòîðû x, Bx, . . . , B k−1 x ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Èíâàðèàíòíîñòü î÷åâèäíà. Ïóñòüα1 x + α2 Bx + . . . + αk B k−1 x = 0.(#)Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ñëåâà íà B k−1 , íàõîäèì B k−1 Bx = B k−1 B 2 x = . . . = B k−1 B k−1 x = 0⇒ α1 B k−1 x = 0 ⇒ α1 = 0.
Äàëåå, óìíîæèâ îáå ÷àñòè (#) ñëåâà íà B k−2 , íàõîäèìα2 = 0, è òàê äàëåå. Òàêèì îáðàçîì, dim Lk = k . 232.2Æîðäàíîâû öåïî÷êèÇàíóìåðóåì âåêòîðû x, Bx, . . . , B k−1 x â îáðàòíîì ïîðÿäêå: x1B k−2 x, . . . , xk−1 = Bx, xk = x. ÒîãäàBx1 = 0,Bxj = xj−1 , 2 ≤ j ≤ k.209= B k−1 x, x2 =(∗)210Ëåêöèÿ 32Ñèñòåìà âåêòîðîâ x1 , . . . , xk , îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè (∗), íàçûâàåòñÿ æîðäàíîâîé öåïî÷êîé äëèíû k , íà÷èíàþùåéñÿ ñ âåêòîðà x1 .  ñèëó îïðåäåëåíèÿ B , ðàâåíñòâà (∗)ýêâèâàëåíòíû ðàâåíñòâàìAxj = λi xj + xj−1 , 2 ≤ j ≤ k.Ax1 = λi x1 ,(∗∗)Ïóñòü X = [x1 , . . . , xk ] è Jk ìàòðèöà ïîðÿäêà k , îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (ìàòðèöà ñóæåíèÿ A íà Lk â áàçèñå x1 , .
. . , xk )AX = XJk . ñèëó (∗∗),Jkλi 1λi 1..= .λi.1λiÌàòðèöà âèäà Jk íàçûâàåòñÿ æîðäàíîâîé êëåòêîé (æîðäàíîâûì áëîêîì, æîðäàíîâûìÿùèêîì), îòâå÷àþùåé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λi .32.3Æîðäàíîâà ôîðìà ìàòðèöûÏîäïðîñòðàíñòâî Lk , íàòÿíóòîå íà æîðäàíîâó öåïî÷êó âåêòîðîâ âèäà (∗) èëè (∗∗), èíîãäà íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêèì ïîäïðîñòðàíñòâîì â Ki , îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λi .
Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü ïîêàçàòü, ÷òî Ki ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðÿìîéñóììû öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâ.Òîãäà, îáúåäèíèâ áàçèñû öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâ, ïîëó÷àåì â Ki òàêîé áàçèñ,â êîòîðîì ìàòðèöà ñóæåíèÿ A íà Ki èìååò áëî÷íî äèàãîíàëüíûé âèä, ãäå êàæäûé áëîêåñòü æîðäàíîâà êëåòêà. Ñäåëàâ òî æå äëÿ êàæäîãî êîðíåâîãî ïðîñòðàíñòâà, â ðåçóëüòàòå îáúåäèíåíèÿ áàçèñîâ âñåõ öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâ ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìûéæîðäàíîâ áàçèñ: â íåì ìàòðèöà A ïîëó÷àåò ñâîþ æîðäàíîâó ôîðìó ñòàíîâèòñÿ áëî÷íîäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé, â êîòîðîé êàæäûé áëîê ãëàâíîé äèàãîíàëè ÿâëÿåòñÿ æîðäàíîâîé êëåòêîé äëÿ êàêîãî-òî åå ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ.Ìàòðèöà J áëî÷íî äèàãîíàëüíîãî âèäà ñ áëîêàìè J1 , .
. . , JN íàçûâàåòñÿ ïðÿìîéñóììîé ñâîèõ áëîêîâ J1 , . . . , JN . Îáîçíà÷åíèå:"JJ =#1..= J1 ⊕ . . . ⊕ JN ..JN ýòîé òåðìèíîëîãèè æîðäàíîâà ôîðìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ ñóììó æîðäàíîâûõêëåòîê.32.4Èíäåêñ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿÎ÷åâèäíî, kerB ⊂ kerB 2 ⊂ . . . .
 êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ïîäïðîñòðàíñòâà íåìîãóò ðàñøèðÿòüñÿ íåîãðàíè÷åííî, ïîýòîìó äëÿ íåêîòîðîé ñòåïåíè kerB k = kerB k+1 .Å. Å. Òûðòûøíèêîâ211Ìèíèìàëüíûé íîìåð k ñ òàêèì ñâîéñòâîì íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿλi (íàïîìíèì, ÷òî B = A − λi I ).Óòâåðæäåíèå. Åñëè kerB k = kerB k+1 , òî kerB l = kerB l+1 ïðè âñåõ l ≥ k .Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü x ∈ kerB l+1 ⇒ B k+1 (B l−k x) = 0 ⇒ B k (B l−k x) = 0 ⇒x ∈ kerB l . 2Ñëåäñòâèå. Èíäåêñ íå áîëüøå àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè äàííîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ.Äîñòàòî÷íî ó÷åñòü, ÷òî k ≤ dim kerB k è kerB k = kerB k+1 = . . . = kerB ki .32.5Æîðäàíîâ áàçèñ â êîðíåâîì ïðîñòðàíñòâåÏóñòü k èíäåêñ λi . Òîãäà s ≡ dim kerB k − dim kerB k−1 > 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóþò sëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ x1 , . . . , xs , äîïîëíÿþùèõ êàêîé-íèáóäü áàçèñ â kerB k−1äî áàçèñà â kerB k :kerB k = kerB k−1 + L(x1 , . . . , xs ).(1) Âåêòîðû x1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
