Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòîÒåîðåìà. Äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé íîðìàëüíîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííûéîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîì îíà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîéñóììîéâåùåñòâåííûõhia báëîêîâ ïîðÿäêà 1 è âåùåñòâåííûõ áëîêîâ ïîðÿäêà 2 âèäà −b a .33.9Áëî÷íî äèàãîíàëüíàÿ ôîðìà îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöûÑîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû ïî ìîäóëþ ðàâíû 1. Ïîýòîìó àíàëîãæîðäàíîâîé ôîðìû â äàííîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ ñóììó áëîêîâ ïîðÿäêà 1, îòâå÷àþùèõ âåùåñòâåííûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, ðàâíûì 1 èëè −1, è áëîêîâïîðÿäêà 2, îòâå÷àþùèõ ïàðàì êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ = a+ibè λ = a − ib, b 6= 0.
Çàìåòèì, ÷òî a2 + b2 = 1 ⇒ ñîãëàñíî (∗), êàæäûé áëîê ïîðÿäêà 2â äàííîì ñëó÷àå åñòü âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà âðàùåíèÿ.Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîì îíà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì âåùåñòâåííûõ ìàòðèö îò-222Ëåêöèÿ 33ðàæåíèÿ è âåùåñòâåííûõ ìàòðèö âðàùåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñêàçàííîãî âûøå ÿñíî, ÷òî â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áà-çèñå ïîëó÷àåòñÿ áëî÷íî äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ âåùåñòâåííûìè áëîêàìè ïîðÿäêà 1 äëÿñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ±1 è áëîêàìè ïîðÿäêà 2, êîòîðûå îêàçûâàþòñÿ âåùåñòâåííûìèìàòðèöàìè âðàùåíèÿ.
Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òîM1 M1 I IM2I..=.MkM2...II......I... 2.MkÒåîðåìó ìîæíî ïðîèíòåðïðåòèðîâàòü òàêèì îáðàçîì: ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå â Rn ,ñîõðàíÿþùåå äëèíû, ñâîäèòñÿ ê êîìïîçèöèè îòðàæåíèé è âðàùåíèé.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà âðàùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì äâóõâåùåñòâåííûõ ìàòðèö îòðàæåíèÿ.Ëåêöèÿ 3434.1Ìàòðèöà ÔóðüåÈñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé êëàññ óíèòàðíûõ ìàòðèö â ìàòåìàòèêå è ïðèëîæåíèÿõ ýòîñïåöèàëüíûå ìàòðèöû Âàíäåðìîíäà, ïîñòðîåííûå íà êîðíÿõ èç åäèíèöû. Ïóñòü2πε = cos −n2π+ i sin −n.Ýòî ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü èç åäèíèöû ñòåïåíè n.
1 Ìàòðèöà Âàíäåðìîíäà äëÿ ÷èñåë ε0 , ε1 , . . . , εn−1 íàçûâàåòñÿ òàêæå ìàòðèöåé (ïðÿìîãî) äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå, èëè, êîðî÷å, ìàòðèöåé Ôóðüå ïîðÿäêà n. Îáîçíà÷åíèå:Fn= 1111·11εε1·2.........(n−2)·1(n−2)·21 εε(n−1)·11 εε(n−1)·2...11·(n−1)...ε......(n−2)·(n−1)... ε. .
. ε(n−1)·(n−1).Óòâåðæäåíèå. Ìàòðèöà Ôóðüå îáðàòèìà è ïðè ýòîì îáðàòíàÿ ìàòðèöà èìååò âèä1 ∗F .n nFn−1 =Äîêàçàòåëüñòâî. Ýëåìåíòû ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö Fn∗ Fn ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ êàê ñóììû ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè:(Fn∗ Fn )ij=n−1Xki kjε̄ ε=k=0n−1Xεk(j−i)k=0Òàêèì îáðàçîì, Fn∗ Fn = n I .=n−1XÇàäà÷à.Íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèèñ ýëåìåíòàìè=ε(j−i)n −1εj−i −1n,= 0, i 6= j,i = j.2Äîêàçàòü, ÷òîAk=0Çàäà÷à.ìàòðèöε(j−i) kFn4 = n2 I .f (A) = | det A|íà ìíîæåñòâå âñåõ êîìïëåêñíûõ|aij | ≤ 1.1 Ìèíóñ äàíü ñëîæèâøåéñÿ òðàäèöèè îïðåäåëåíèÿ ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå:ìèíóñ äëÿ ïðÿìîãî, ïëþñ äëÿ îáðàòíîãî.22322434.2Ëåêöèÿ 34Öèðêóëÿíòíûå ìàòðèöûÊðàñèâûé è ïîëåçíûé êëàññ íîðìàëüíûõ ìàòðèö ìàòðèöû âèäàA=a0a1a2...an−2an−1an−1a0a1...an−3an−2an−2an−1a0...an−4an−3..................a2a3a4...a0a1a1a2a3...an−1a0.Ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿíòíîé ìàòðèöåé èëè öèðêóëÿíòîì.
 ÷àñòíîñòè, ïðèn = 4 ïîëó÷àåì" a a a a #A=0321a1a2a3a0a1a2a3a0a1a2a3a0.Êàê âèäèì, öèðêóëÿíòíàÿ ìàòðèöà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ýëåìåíòàìè ëþáîé ñâîåéñòðîêè èëè ëþáîãî ñòîëáöà. Åå ïåðâûé ñòîëáåö åñòü a = [a0 , a1 , . . . , an−1 ]> .×òîáû íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû A, âîçüìåìïðîèçâîëüíûé êîðåíü ξ ñòåïåíè n èç åäèíèöû (ξ n = 1) è ðàññìîòðèì ÷èñëîλ = λ(ξ) ≡ a0 + ξa1 + .
. . + ξ n−1 an−1 .Ïîñëåäîâàòåëüíî óìíîæàÿ îáå ÷àñòè íà 1, ξ, ξ 2 , . . . , ξ n−1 , íàõîäèìλ·1λ·ξλ · ξ2λ · ξ n−1Ñëåäîâàòåëüíî,===...=a0+ ξ a1an−1 + ξ a0an−2 + ξ an−1+ . . . + ξ n−1 an−1 ,+ . . . + ξ n−1 an−2 ,+ . . . + ξ n−1 an−3 ,a1+ . . . + ξ n−1 a0 .+ ξ a2λ(ξ) [1, ξ, . . . , ξ n−1 ] = [1, ξ, . . . , ξ n−1 ]A.(∗)Âûáåðåì ε = cos(−2π/n) + i sin(−2π/n).
Ðàâåíñòâî (∗) ñïðàâåäëèâî ïðè ξ =1, ε, ε2 , . . . , εn−1 è, ñëåäîâàòåëüíî, äàåò ñèñòåìó ðàâåíñòâ, êîòîðàÿ â ìàòðè÷íîé çàïèñèèìååò âèäΛFn = Fn A,ãäå Fn ìàòðèöà Ôóðüå ïîðÿäêà n, Λ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà âèäàλ(1)λ(ε)Λ=..,.λ(εn−1 )Èòàê, AFn∗ = Fn∗ Λ ⇒ ñòîëáöû ìàòðèöû Fn∗ ñóòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöûA, îòâå÷àþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, ðàñïîëîæåííûì íà äèàãîíàëè ìàòðèöû Λ. Çàìåòèì, ÷òî Fn∗ ïîëó÷àåòñÿ èç Fn ïåðåñòàíîâêîé ñòîëáöîâ: ïåðâûé ñòîëáåö îñòàåòñÿ íàìåñòå, à ñòîëáöû ñî âòîðîãî ïî ïîñëåäíèé ñòàâÿòñÿ â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Ïîýòîìó ìîæíîóòâåðæäàòü, ÷òî áàçèñîì èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ öèðêóëÿíòíîé ìàòðèöû A ÿâëÿþòñÿñòîëáöû ìàòðèöû Ôóðüå Fn .
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñôîðìóëèðóåì â âèäå òåîðåìû.Òåîðåìà î öèðêóëÿíòàõ. Ïóñòü A öèðêóëÿíòíàÿ ìàòðèöà ñ ïåðâûì ñòîëáöîìa = [a0 , . . . , an−1 ]> . ÒîãäàA=1 ∗F ΛFn ,n n(#)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ225ãäå Fn ìàòðèöà Ôóðüå ïîðÿäêà n è Λ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé âèäà"λ# 1λ1a0..Λ=, . . .
= Fn . . . ..λnλnan−1Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ λ1 , . . . , λn ìàòðèöà â ïðàâîé ÷àñòè (#) ÿâëÿåòñÿ öèðêóëÿíòíîé ìàòðèöåé. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå öèðêóëÿíòíûõ ìàòðèöîñòàåòñÿ öèðêóëÿíòíîé ìàòðèöåé.Ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê íåâûðîæäåííîé öèðêóëÿíòíîé ìàòðèöå, òàêæå ÿâëÿåòñÿ öèðêóëÿíòíîé.34.3Àëãåáðû ìàòðèöËþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ öèðêóëÿíòîâ åñòü öèðêóëÿíò.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî öèðêóëÿíòîâ ïîðÿäêà n ÿâëÿåòñÿ n-ìåðíûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, íà êîòîðîìîïðåäåëåíà îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ âìåñòå ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ ïðåâðàùàåò äàííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî â êîëüöî.Ïóñòü â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå V îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ äåëàåò åãî òàêæå êîëüöîì ñ åäèíèöåé, è ïóñòü óìíîæåíèå ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâa è b è óìíîæåíèå íà ÷èñëî α ñâÿçàíû àêñèîìîé α(ab) = (αa)b = a(αb).
 òàêèõ ñëó÷àÿõïðîñòðàíñòâî V íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé.Çàìåòèì, ÷òî óìíîæåíèå öèðêóëÿíòîâ êîììóòàòèâíî ïîýòîìó îíè äàþò ïðèìåðêîììóòàòèâíîé àëãåáðû ìàòðèö. Âñå ìíîæåñòâî ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ïîðÿäêà n ïðèìåð íåêîììóòàòèâíîé àëãåáðû.Òåîðåìà. Ïóñòü M àëãåáðà ìàòðèö è A ∈ M íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. ÒîãäàA−1 ∈ M.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A ∈ M. Ïî òåîðåìå ÃàìèëüòîíàÊýëè, A àííóëèðóåòñÿ ñâîèìõàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì: a0 I + a1 A + . . . + an−1 An−1 + An = 0. Åñëè A íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî, óìíîæàÿ îáå ÷àñòè íà A−1 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî a0 = (−1)n det A 6= 0,ïîëó÷àåì1a1 I + a2 A + . . .
an−1 An−2 + An−1 ∈ M.2A−1 = −a0Ïî àíàëîãèè ñ öèðêóëÿíòàìè, ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîãî äðóãèõ êîììóòàòèâíûõ ìàòðè÷íûõ àëãåáð.Óòâåðæäåíèå. Äëÿ ëþáîé ôèêñèðîâàííîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû Q ∈ Cn×n âñåìàòðèöû âèäà QΛQ−1 , ãäå Λ ïðîèçâîëüíàÿ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, îáðàçóþò êîììóòàòèâíóþ àëãåáðó.Äîêàçàòåëüñòâî. Óêàçàííîå ìíîæåñòâî ìàòðèö îáîçíà÷èì ÷åðåç M. Åñëè A1 , A2 ∈ M,òî A1 = QΛ1 Q−1 , A2 = QΛ2 Q−1 äëÿ êàêèõ-òî äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö Λ1 è Λ2 . ÒîãäàαA1 + βA2 = Q(Λ1 + Λ2 )Q−1 ∈ M è A1 A2 = Q(Λ1 Λ2 )Q−1 ∈ M. 2Çàìå÷àíèå. Äàííîå óòâåðæäåíèå îïèñûâàåò íå âñå âîçìîæíûå êîììóòàòèâíûå àëãåá-226Ëåêöèÿ 34ðû ìàòðèö. Íàïðèìåð, ïóñòü M ñîñòîèò èç âñåõ n × n-ìàòðèö âèäàA=a0a1a2...an−2an−1a0a1...an−3an−2a0......an−3...a1...a0a1.(∗)a0Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî M ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé àëãåáðîé, íî â M èìåþòñÿíåäèàãîíàëèçóåìûå ìàòðèöû (äîêàæèòå!). Åùå îäèí ïðèìåð êîììóòàòèâíîé àëãåáðû ìíîæåñòâî ìàòðèö A òàêèõ, ÷òî A> ∈ M.Çàäà÷à.Äàíà æîðäàíîâà êëåòêàêîììóòèðóþùèõ ñ34.4J>Jïîðÿäêàn.Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ, ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ìàòðèö âèäàn × n-ìàòðèö,(∗).Îäíîâðåìåííîå ïðèâåäåíèå ê òðåóãîëüíîìó âèäóÒåîðåìà.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé êîììóòàòèâíîé àëãåáðû ìàòðèö M ñóùåñòâóåò îáðàòèìàÿ ìàòðèöà Q òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé A ∈ M ìàòðèöà Q−1 AQ ÿâëÿåòñÿ âåðõíåéòðåóãîëüíîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìàòðèöû A1 , . . . , Ak ∈ M ⊂ Cn×n îáðàçóþò áàçèñ â ëèíåéíîìïðîñòðàíñòâå M. Äîêàæåì, ÷òî îíè èìåþò îáùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð.Îáîçíà÷èì ÷åðåç L ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî ìàòðèöû A1 äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ1 . Ïóñòü A1 x = λ1 x, x 6= 0. ÒîãäàA1 (A2 x) = A2 (A1 x) = λ1 (A2 x).(∗)Ñëåäîâàòåëüíî, A2 x ∈ L. Áîëåå òîãî, Al2 x ∈ L äëÿ âñåõ l = 1, 2, ... .
Ïóñòü M ìèíèìàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå âñå âåêòîðû âèäà Al2 x. Î÷åâèäíî, ýòî ìèíèìàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî A2 è ñîäåðæàùåå x.  ñèëó (∗)çàêëþ÷àåì, ÷òî M ⊂ L.  M îáÿçàòåëüíî èìååòcÿ ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿ A2 , îí æåáóäåò ñîáñòâåííûì âåêòîðîì è äëÿ A1 .Äàëåå ïî èíäóêöèè. Ïóñòü L ñîäåðæàùåå x 6= 0 ïåðåñå÷åíèå ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ L1 , . . . , Lk , îòâå÷àþùèõ ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöàì A1 , .
. . , Ak−1 , à M ñîäåðæàùåå x ìèíèìàëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî Ak (î÷åâèäíî, îíî ñîñòîèò èç âåêòîðîâ âèäà p(Ak )x äëÿ âñåâîçìîæíûõ ìíîãî÷ëåíîâ p). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî M ÿâëÿåòñÿ (íåíóëåâûì!) ïîäïðîñòðàíñòâîì äëÿ êàæäîãî èç ñîáñòâåííûõïîäïðîñòðàíñòâ L1 , . . . , Lk . Ïîýòîìó M ⊂ L, à ñîäåðæàùèéñÿ â M ñîáñòâåííûé âåêòîðäëÿ Ak ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì òàêæå äëÿ A1 , . . . , Ak−1 .Èòàê, ïóñòü x îáùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿ A1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
