Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 46
Текст из файла (страница 46)
. + |b1n |2⇒ b12 = . . . = b1n = 0.Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïðèðàâíèâàåì ýëåìåíòû â ïîçèöèè (2, 2):|b22 |2 = |b22 |2 + |b23 |2 + . . . + |b2n |2⇒ b23 = . . . = b2n = 0.È òàê äàëåå. Âûâîä òàêîé: âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé. Çíà÷èò, ðàâåíñòâî A∗ A = AA∗ âûïîëíÿåòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà B äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.
2Ñëåäñòâèå. Ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà îíàîáëàäàåò îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.Ïóñòü Λ = Q∗ AQ - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ñòîëáöû óíèòàðíîé ìàòðèöû Q îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ è, â ñèëó ðàâåíñòâà AQ = QΛ, ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìèâåêòîðàìè ìàòðèöû A.
2Êàê âèäèì, ëþáàÿ íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé, ïðè÷åì ïðåîáðàçîâàíèå ïîäîáèÿ ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ óíèòàðíîé ìàòðèöû.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿòîá óíèòàðíîì ïîäîáèè.Åñëè A∗ = f (A) äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà f (λ), òî ìàòðèöà A, î÷åâèäíî, íîðìàëüíàÿ. Âåðíî è îáðàòíîå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A èìååò m ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ217218Ëåêöèÿ 33çíà÷åíèé λ1 , . . . , λm è âîçüìåì â êà÷åñòâå f (λ) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè íå âûøå m − 1, ïðèíèìàþùèé ïðè λi çíà÷åíèå λi . Òîãäà Λ∗ = f (Λ) ⇒ A∗ = QΛ∗ Q∗ = Qf (Λ)Q∗ = f (A).Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ (ìàêñèìàëüíûé ìîäóëü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé) íîð-ìàëüíîé ìàòðèöû33.2Aäîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèåρ(A) = max |x∗ Ax|/|x∗ x|.x6=0Óíèòàðíûå ìàòðèöû"λ#1Ïóñòü A íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà, Λ =..= Q∗ AQ äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà èç.λnåå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è Q óíèòàðíàÿ ìàòðèöà èç åå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ óíèòàðíîé, åñëè A∗ A = I .
Èçîïðåäåëåíèÿ ÿñíî, ÷òî ëþáàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé.Óòâåðæäåíèå. Íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âñå åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïî ìîäóëþ ðàâíû 1.Äîêàçàòåëüñòâî. A∗ A = 1 ⇔ Λ∗ Λ = I ⇔ |λi | = 1, 1 ≤ i ≤ n. 2Çàäà÷à.÷òîÓíèòàðíàÿ ìàòðèöàQ=Q11Q21Q12Q22ïîðÿäêà2nðàçáèòà íà áëîêè ïîðÿäêàn.Äîêàçàòü,| det Q12 | = | det Q21 |.33.3Ìàòðèöû îòðàæåíèÿ è âðàùåíèÿÓíèòàðíûå ìàòðèöû çàíèìàþò, áåññïîðíî, îñîáîå ìåñòî â âû÷èñëèòåëüíîé àëãåáðå: âîïåðâûõ, îíè çàäàþò îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû; âî-âòîðûõ, ïðè óìíîæåíèè íà íèõñîõðàíÿþòñÿ äëèíû ñòîëáöîâ (è äàæå èõ ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ).
Ñðåäè íèõ âûäåëÿþòñÿ äâà î÷åíü ïîëåçíûõ äëÿ âû÷èñëåíèé ïîäêëàññà: ìàòðèöû îòðàæåíèÿ è ìàòðèöûâðàùåíèÿ.Ìàòðèöåé îòðàæåíèÿ (ìàòðèöåé Õàóñõîëäåðà), ïîðîæäåííîé âåêòîðîì v ∈ Cn åäèíè÷íîé äëèíû, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà âèäàH = H(v) = I − 2vv ∗ ,|v| = 1.Î÷åâèäíî, H ∗ = H è H ∗ H = H 2 = I − 4vv ∗ + 4v(v ∗ v)v ∗ = I .Íàçâàíèå âïîëíå îïðàâäàíî. Ïóñòü x⊥v ⇒ v ∗ x = 0. Òîãäà Hx = x − 2v(v ∗ x) = x⇒ ïîäïðîñòðàíñòâî (L(v))⊥ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ = 1 êðàòíîñòè n − 1. Êðîìå òîãî, Hv = v − 2v(v ∗ v) = −v ⇒âåêòîð v îòðàæàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâà (L(v))⊥ è îïðåäåëÿåò îäíîìåðíîåñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ = −1 êðàòíîñòè 1.Òàêèì îáðàçîì, â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå ìàòðèöà îòðàæåíèÿ èìååòâèä11Λ=...1−1Âåùåñòâåííîé ìàòðèöåé âðàùåíèÿ (ìàòðèöåé Ãèâåíñà) ïîðÿäêà n, îïðåäåëÿåìîéóãëîì φ è íîìåðàìè 1 ≤ k < l ≤ n, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà W = W (φ, k, l), îòëè÷àþùàÿñÿÅ.
Å. Òûðòûøíèêîâ219îò åäèíè÷íîé ëèøü ýëåìåíòàìè 2 × 2-ïîäìàòðèöû íà ïåðåñå÷åíèè ñòðîê è ñòîëáöîâ ñíîìåðàìè k è l; äàííàÿ ïîäìàòðèöà èìååò âèäcos φ − sin φsin φcos φ.Ïîä êîìïëåêñíîé ìàòðèöåé âðàùåíèÿ ìîæíî ïîíèìàòü ìàòðèöó òàêîãî æå âèäà, âêîòîðîé óêàçàííàÿ 2 × 2-ïîäìàòðèöà ìîæåò áûòü óìíîæåíà ñïðàâà è ñëåâà íà ïðîèçâîëüíûå äèàãîíàëüíûå óíèòàðíûå ìàòðèöû.Óíèòàðíîñòü âåùåñòâåííûõ è êîìïëåêñíûõ ìàòðèö âðàùåíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî.33.4Ýðìèòîâû ìàòðèöûÍàïîìíèì, ÷òî ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâîé, åñëè A∗ = A.
Î÷åâèäíî, ëþáàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé.Óòâåðæäåíèå. Íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà âñå åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû.Äîêàçàòåëüñòâî. A∗ = A ⇔ Λ∗ = Λ ⇔ λi = λi , 1 ≤ i ≤ n. 2Çàäà÷à.Èçâåñòíî, ÷òîA2 = Añêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Äîêàæèòå,Çàäà÷à.èÄàíî ïîäïðîñòðàíñòâîkerA ⊥ im A∗÷òî A = A .èL ⊂ Cn .(îðòîãîíàëüíîñòü îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãîÄîêàæèòå, ÷òî ñðåäè âñåõ ìàòðèöAòàêèõ, ÷òîimA = L2A = A, íàèìåíüøåå çíà÷åíèå 2-íîðìû äîñòèãàåòñÿ äëÿ íåêîòîðîé ýðìèòîâîé è ïðèòîì òîëüêî îäíîéA.ìàòðèöûÇàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîé ýðìèòîâîé ìàòðèöûHìàòðèöàQ = (I −iH)−1 (I +iH) ÿâëÿåòñÿóíèòàðíîé.
Ëþáóþ ëè óíèòàðíóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêèì îáðàçîì?Çàäà÷à.||A − B||2 < 1,33.5Ýðìèòîâû ìàòðèöûòîA, B ∈ Cnòàêîâû, ÷òîA2 = AèB2 = B.Äîêàæèòå, ÷òî åñëèrankA = rankB .Ýðìèòîâî ðàçëîæåíèåÇàïèñü ìàòðèöû A â âèäå A = H +iK , ãäå H ∗ = H , K ∗ = K , íàçûâàåòñÿ åå ýðìèòîâûìðàçëîæåíèåì.Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A ∈ Cn×n ýðìèòîâî ðàçëîæåíèå ñóùåñòâóåò èåäèíñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíñòâåííîñòü: A = H + iK ⇒ A∗ = H − iK ⇒1H = (A + A∗ ),2K=1(A − A∗ ).2i(∗)Ñóùåñòâîâàíèå: ïóñòü H è K îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (∗); îíè, î÷åâèäíî, ýðìèòîâûè ïðè ýòîì A = H + iK . 2Çàìåòèì, ÷òî ìàòðèöà B = iK ÿâëÿåòñÿ êîñîýðìèòîâîé òàê íàçûâàþòñÿ ìàòðèöûB ñî ñâîéñòâîì B ∗ = −B .220Ëåêöèÿ 3333.6Íåîòðèöàòåëüíàÿ è ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòüÌàòðèöà A ∈ Cn×n íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíî (ïîëîæèòåëüíî) îïðåäåëåííîé, åñëèx∗ Ax ≥ 0 (x∗ Ax > 0) ∀ x ∈ Cn , x 6= 0.
Îáîçíà÷åíèå: A ≥ 0 (A > 0). Íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåííûå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ òàêæå ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåëåííûìè.Òåîðåìà. Äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé (ïîëîæèòåëüíîé) îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöû A ∈Cn×n íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà ýðìèòîâîé ìàòðèöåé ñ íåîòðèöàòåëüíûìè (ïîëîæèòåëüíûìè) ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè.Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ýðìèòîâî ðàçëîæåíèå A = H + iK , íàõîäèìx∗ Ax = (x∗ Hx) + i(x∗ Kx).×èñëî x∗ Ax âåùåñòâåííî äëÿ ëþáîãî x ⇒ x∗ Kx = 0 äëÿ âñåõ x. Îòñþäà âûòåêàåò,÷òî ýðìèòîâà ìàòðèöà K èìååò òîëüêî íóëåâûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ: Kx = λx, x 6= 0⇒ x∗ Kx = λ(x∗ x) = 0 ⇒ λ = 0. Áóäó÷è ïîäîáíà íóëåâîé ìàòðèöå, ìàòðèöà Kìîæåò áûòü òîëüêî íóëåâîé ⇒ A = H .
Åñëè Hx = λx, x 6= 0, òî x∗ Hx = λ(x∗ x) ≥ 0⇒ λ ≥ 0. Åñëè X ∗ Hx > 0, òî, êîíå÷íî, λ > 0.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî A ýðìèòîâà ìàòðèöà ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ñîáñòâåííûìèçíà÷åíèÿìè λ1 , . . . , λn è îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ v1 , . . . , vn .Ïóñòü x = α1 v1 + . . . + αn vn .
Òîãäà Ax = α1 λ1 v1 + . . . + αn λn vn . Îòñþäàx∗ Ax = (Ax, x) = λ1 |α1 |2 + . . . + λn |αn |2 ≥ 0. ñëó÷àå λi > 0 íàõîäèì x∗ Ax > 0 ïðè x 6= 0.Çàäà÷à.ÏóñòüA = H + iK2 ýðìèòîâî ðàçëîæåíèå ìàòðèöû÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöûA.Äîêàæèòå, ÷òî âåùåñòâåííûåA çàêëþ÷åíû ìåæäó ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåíH , à ìíèìûå ÷àñòè ìåæäó ìèíèìàëüíûì è ìàêñèìàëüíûììàòðèöû K .íûìè çíà÷åíèÿìè ýðìèòîâîé ìàòðèöûñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ýðìèòîâîéÇàäà÷à.Äàíû êâàäðàòíûå ìàòðèöûAèBîäíîãî ïîðÿäêà, ïðè ýòîì ìàòðèöàÄîêàæèòå, ÷òî èç íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ìàòðèöûðàäèóñ ìàòðèöûÇàäà÷à.b∈RnB −1 A∗B B−A Aíåâûðîæäåííàÿ.âûòåêàåò, ÷òî ñïåêòðàëüíûéâ êîòîðîénAf (x) = (Ax, x) + (b, x) ïðè x ∈ R îãðàíè÷åíf (x0 ) åñòü åãî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå..
Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèîíàëx0 ,Bíå áîëüøå 1.Ïóñòü çàäàíû âåùåñòâåííàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöàåäèíñòâåííàÿ òî÷êà33.7∗ïîðÿäêànè âåêòîðñíèçó è ñóùåñòâóåòÊâàäðàòíûé êîðåíüÅñëè A = S 2 , òî S åñòåñòâåííî íàçûâàòü êâàäðàòíûì êîðíåì èç ìàòðèöû A.Òåîðåìà.
Äëÿ ëþáîé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû A ∈ Cn×n ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà S ∈ Cn×n òàêàÿ, ÷òî S 2 = A.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìàòðèöà A ýðìèòîâà è ïîýòîìó óíèòàðíî ïîäîáíà âåùåñòâåííîéäèàãîíàëüíîé ìàòðèöå Λ ñ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè λi ≥ 0 (âñëåäñòâèå íåîòðèöàòåëüíîéîïðåäåëåííîñòè): A = QΛQ∗ . Ïóñòü D äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè√λi . Òîãäà D2 = Λ è, î÷åâèäíî, S = QDQ∗ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé êâàäðàòíûé êîðåíü èç A.Ïðèâåäåííîå ïîñòðîåíèå äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå. Íî åäèíñòâåííîñòü òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî ðàññóæäåíèÿ. Åñëè SQ = QD, òî AQ = QD2 .
Ïóñòü Q = [q1 , . . . , qn ] èÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ221D èìååò äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû di . Ïóñòü x - ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A äëÿñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ. Òîãäà äëÿ íåêîòîðûõ êîýôôèöèåíòîâ αiXX √√x=αi qi ⇒ Sx =αi λqi = λx.√di = λ√di = λÒàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå S îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî íà âåêòîðàõ ëþáîãî áàçèñà èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A.
2Äëÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîãî êâàäðàòíîãî êîðíÿ S èç íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû A óïîòðåáëÿåòñÿ îáîçíà÷åíèå S = A1/2 .Çàäà÷à.ÌàòðèöûAèBñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö33.8îáå ýðìèòîâû, ïðè ýòîìABèBAAïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ. Äîêàæèòå, ÷òîâåùåñòâåííûå.Áëî÷íî äèàãîíàëüíàÿ ôîðìà âåùåñòâåííîé íîðìàëüíîéìàòðèöûÏóñòü A âåùåñòâåííàÿ íîðìàëüíàÿ ìàòðèöà.  ñèëó íîðìàëüíîñòè, âñå æîðäàíîâûêëåòêè ïîðÿäêà 1.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ = a + ib ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñ íåíóëåâîé ìíèìîé ÷àñòüþ b,è ïóñòüA(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = (ax − by) + i(bx + ay),a bA[x, y] = [x, y].−b ax, y ∈ Rn .⇒(∗)Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåííîå ÷èñëî λ = a − ib òîæå áóäåò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó âåêòîðó x − iy . Äëÿ íîðìàëüíîé ìàòðèöû ñîáñòâåííûå âåêòîðûäëÿ ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îðòîãîíàëüíû ⇒(x + iy, x − iy) = (x, x) − (y, y) + i2(x, y) = 0⇒(x, y) = 0, |x| = |y|.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàâåíñòâî (∗) ñîõðàíèòñÿ ïðè çàìåíå x è y íà íîðìèðîâàííûå èîðòîãîíàëüíûå âåêòîðû x/s è y/s, s = |x| = |y|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
