Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 45
Текст из файла (страница 45)
. . , xs èìåþò âûñîòó k è ïîðîæäàþò öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàL1i = L(xi , Bxi , . . . , B k−1 xi ),1 ≤ i ≤ s.(2) Ñóììà L11 + . . . + L1s ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé, ïîñêîëüêó âåêòîðûx1 , Bx1 , . . . , B k−1 x1 ,. . . , xs , Bxs , . . . , B k−1 xsëèíåéíî íåçàâèñèìû.  ñàìîì äåëå, ïóñòüs XkXαij B j−1 xi = 0.i=1 j=1Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ñëåâà íà B k−1 , íàõîäèìsXi=1αi1 B k−1 xi = 0 ⇒sXαi1 xi ∈ kerB k−1 ⇒ αi1 = 0, 1 ≤ i ≤ s.i=1Óìíîæèâ çàòåì îáå ÷àñòè ñëåâà íà B k−2 , ïî òîé æå ïðè÷èíå ïîëó÷èì αi2 = 0, 1 ≤ i ≤ s,è òàê äàëåå.(3) Ñóììà kerB k−2 + L(Bx1 , .
. . , Bxs ) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé.(4) Åñëè îíà íå ñîâïàäàåò ñ kerB k−1 , òî íàéäóòñÿ t ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîây1 , . . . , yt òàêèõ, ÷òîkerB k−1 = kerB k−2 + L(Bx1 , . . . , Bxs , y1 , . . . , yt ),ïðè÷åì ñóììà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé.(5) Âåêòîðû y1 , . . . , yt èìåþò âûñîòó k − 1 è ïîðîæäàþò öèêëè÷åñêèå ïîäïðîñòðàíñòâàL2i = L(yi , Byi , . . . , B k−2 yi ), 1 ≤ i ≤ t.(6) Ñóììà L11 + . . . + L1s + L21 + . . . + L2t ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé. Äîêàçàòåëüñòâîàíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ïðåäëîæåíèÿ (2).(7) Ñóììà kerB k−3 + L(B 2 x1 , . .
. , B 2 xs , By1 , . . . , Byt ) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé.212Ëåêöèÿ 32(8) Åñëè îíà íå ñîâïàäàåò ñ kerB k−2 , äåéñòâóåì ïî àíàëîãèè ñ øàãîì (4).È òàê äàëåå.Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïîñòðîåííûå âåêòîðû ðàñïîëîæèì â âèäå ñëåäóþùåé òàáëèöû:x1Bx1B 2 x1...B k−1 x1...............xsBxsB 2 xs...B k−1 xsy1By1...B k−2 y1............ytByt...B k−2 yt...z1...zrÂåêòîðû ïîñëåäíåé ñòðîêè îáðàçóþò áàçèñ â ÿäðå kerB . Ýòî ñîáñòâåííûå âåêòîðû, îòâå÷àþùèå ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λi . Ïîäïðîñòðàíñòâî kerB = ker(A − λi I) íàçûâàåòñÿñîáñòâåííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì äëÿ λi , à åãî ðàçìåðíîñòü ãåîìåòðè÷åñêîé êðàòíîñòüþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λi . Ïî ïîñòðîåíèþ, îáùåå ÷èñëî âåêòîðîâ òàáëèöû ðàâíîàëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè λi .Óòâåðæäåíèå.
Âñå âåêòîðû óêàçàííîé òàáëèöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îáðàçóþò áàçèñ â Ki .Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ðàâíóþ íóëþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âñåõ âåêòîðîâ òàá-ëèöû. Óìíîæèâ åå ñëåâà íà B k−1 , çàìåòèì, ÷òî âñå âåêòîðû, êðîìå ïåðâîé ñòðîêè, îáðàùàþòñÿ â íóëü. Îñòàåòñÿ ëèøü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ âåðõíåé ñòðîêè, êîòîðóþìàòðèöà B k−1 ïåðåâîäèò â íóëü.
Âûâîä: ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ âåðõíåé ñòðîêè ïðèíàäëåæèò kerB k−1 . Çíà÷èò, êîýôôèöèåíòû ïðè âåêòîðàõ âåðõíåé ñòðîêè ðàâíûíóëþ. Ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ íà B k−2 íàõîäèì, ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîââòîðîé ñâåðõó ñòðîêè ïðèíàäëåæèò kerB k−2 . Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòûðàâíû íóëþ. È òàê äàëåå. 2Âåêòîðû êàæäîãî ñòîëáöà äàííîé òàáëèöû îáðàçóþò áàçèñ öèêëè÷åñêîãî ïîäïðîñòðàíñòâà. Ñîîòâåòñòâóþùèå æîðäàíîâû öåïî÷êè ïîëó÷àþòñÿ ïðè íóìåðàöèè èõ â êàæäîì ñòîëáöå ñíèçó ââåðõ.32.6Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü æîðäàíîâîé ôîðìûÒåîðåìà. Ëþáàÿ ìàòðèöà A ∈ Cn×n ïîäîáíà ïðÿìîé ñóììå æîðäàíîâûõ êëåòîêJ = J1 ⊕ .
. . ⊕ JN ,ãäå ÷èñëî è ðàçìåðû æîðäàíîâûõ êëåòîê äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî ïî ìàòðèöå A.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû òîëüêî ÷òî óñòàíîâèëè, ÷òî êîðíåâîå ïðîñòðàíñòâî Ki åñòü ïðÿ-ìàÿ ñóììà öèêëè÷åñêèõ ïîäïðîñòðàíñòâ. Êàæäûé ñòîëáåö ïîëó÷åííîé âûøå òàáëèöûîòâå÷àåò îäíîé æîðäàíîâîé êëåòêå. Èç ýòîé æå òàáëèöû ìîæíî íàéòè ÷èñëî æîðäàíîâûõ êëåòîê çàäàííîãî ïîðÿäêà.Îáîçíà÷èì ÷åðåç mj ÷èñëî æîðäàíîâûõ êëåòîê äëÿ λi ïîðÿäêà j . Çàìåòèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî mk = s, mk−1 = t è m1 = r. Ðàçìåðíîñòü ÿäðà ìàòðèöû ÷àñòî íàçûâàåòñÿ ååäåôåêòîì è îáîçíà÷àåòñÿ def ≡ dim ker.  îáùåì ñëó÷àåmkmk−1 + mkm1 + .
. . + mk−1 + mk= defB k − defB k−1 ,= defB k−1 − defB k−2 ,...=defB.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ213Îòñþäà íàõîäèì (ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî defB 0 = 0)mj = 2defB j − defB j−1 − defB j+1 ,1 ≤ j ≤ k.Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî è ïîðÿäêè æîðäàíîâûõ êëåòîê äëÿ λi îïðåäåëÿþòñÿ ðàçìåðíîñòÿìè ÿäåð ker(A−λi I)j , à çíà÷èò, è ðàíãàìè ìàòðèö (A−λi I)j .
Òî æå âåðíî äëÿ æîðäàíîâûõêëåòîê êàæäîãî êîðíåâîãî ïðîñòðàíñòâà. 2Ñëåäñòâèå. Ìàòðèöû ïîäîáíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè èìåþò îäèíàêîâóþæîðäàíîâó ôîðìó ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè æîðäàíîâûõ êëåòîê.Çàäà÷à.Âñåãäà ëè ìîæíî ïîñòðîèòü æîðäàíîâ áàçèñ, ñîäåðæàùèé ïðîèçâîëüíî âûáðàííûå áàçèñûâ ñîáñòâåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ?Çàäà÷à.÷òî óðàâíåíèå32.7JX =JÏóñòü2 æîðäàíîâà êëåòêà ïîðÿäêàîòíîñèòåëüíîX∈Cn×nnñ íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Äîêàæèòå,íå èìååò ðåøåíèé, åñëèn ≥ 2.Èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà äëÿ âåùåñòâåííûõ ìàòðèöÅñëè ìàòðèöà A ïîðÿäêà n âåùåñòâåííàÿ, òî ìîæíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû åå èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà âûáèðàëèñü òîëüêî â Rn . Ïðè äàííîì îãðàíè÷åíèè ìîæåò íåíàéòèñü íè îäíîãî èíâàðèàíòíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà ðàçìåðíîñòè 1 (ïðèâåäèòå ïðèìåð!).Òåì íå ìåíåå, ñïðàâåäëèâîÓòâåðæäåíèå.
Ìàòðèöà A ∈ Rn×n ïðè n ≥ 2 èìååò èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâîL ⊂ Rn ðàçìåðíîñòè 2.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λ = a + ib ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñ ìíèìîé ÷àñòüþ b 6= 0.Ïðåäñòàâèì ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿ λ â âèäå x + iy , ãäå x, y ∈ Rn . ÒîãäàA(x + iy) = (a + ib)(x + iy)⇒Ax = ax − by, Ay = bx + ay.Îòñþäà ïîëó÷àåì òàêæå, ÷òî A(x − iy) = (a − ib)(x − iy). Âåêòîðû x + iy è x − iy ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òàê êàê îòâå÷àþò ðàçíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ìàòðèöû A. Ïóñòüαx+βy = 0 ⇒ (α−iβ)(x+iy)+(α+iβ)(x−iy) = 2(αx+βy) = 0 ⇒ α−iβ = α+iβ = 0⇒ α = β = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà L(x, y) ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî A. Åñëè êîìïëåêñíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéíåò, òî áàçèñ, î÷åâèäíî, ìîæíî ñîñòàâèòü èç âåùåñòâåííûõ âåêòîðîâ. 232.8Âåùåñòâåííûé àíàëîã æîðäàíîâîé ôîðìûÏóñòü A ∈ Rn×n èìååò æîðäàíîâó êëåòêó J ïîðÿäêà k äëÿ êîìïëåêñíîãî ñîáñòâåííîãîçíà÷åíèÿ λ = a + ib ñ ìíèìîé ÷àñòüþ b 6= 0.
Ýòî îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå æîðäàíîâîéöåïî÷êèAv1 = λv1 ,Avj = λvj + vj−1 , 2 ≤ j ≤ k.Ïðåäñòàâèì êàæäûé âåêòîð vj â âèäå vj = xj + iyj , ãäå xj , yj ∈ Rn . Òîãäà íàõîäèìA[x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xk , yk ] = [x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xk , yk ]M2k ,214Ëåêöèÿ 32ãäåM2ka−bba=10a−b01ba..10.....01...a−b..ba10a−b01ba ∈ R(2k)×(2k) .(∗)Çàìåòèì, ÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà L(x1 , y1 , . .
. , xk , yk ) ⊂ Rn ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ðàçìåðíîñòè 2k , ñîâïàäàþùèì ñ ïðÿìîé ñóììîé äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ êîðíåâîãî ïðîñòðàíñòâà ìàòðèöû A äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ = a + ib è êîðíåâîãîïðîñòðàíñòâà äëÿ ñîïðÿæåííîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λ = a−ib (â ñèëó âåùåñòâåííîñòè êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà, λ è λ îáà ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìèçíà÷åíèÿìè ìàòðèöû A îäèíàêîâîé êðàòíîñòè). Èç ñêàçàííîãî âûòåêàåòÒåîðåìà. Ëþáàÿ ìàòðèöà A ∈ Rn×n ñ ïîìîùüþ âåùåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäî-áèÿ ïðèâîäèòñÿ ê ïðÿìîé ñóììå âåùåñòâåííûõ æîðäàíîâûõ áëîêîâ è âåùåñòâåííûõáëîêîâ âèäà (∗).32.9Âû÷èñëåíèå æîðäàíîâîé ôîðìûÏÐÈÌÅÐ 1.Âûÿñíèòü äèàãîíàëèçóåìîñòü ìàòðèöû"−1 1 1 1#−100A=100111111. ñèëó áëî÷íî äèàãîíàëüíîãî âèäà çàäàííîé ìàòðèöû, åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìîæíî èñêàòü ïîîòäåëüíîñòè äëÿ áëîêîâêðàòíîñòè 1 èλ=0A1 =h−1−111ièA2 =h11i1.
Ìàòðèöà1Aèìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλ = 2êðàòíîñòè 3.Ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿλ = 2 åñòü íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (A − 2 · I)x = 0. Ðàíã ìàòðèöûêîýôôèöèåíòîâ ðàâåí 3, ïîýòîìó ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé ñîñòîèò èç îäíîãî âåêòîðà. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû äëÿλ=0 ýòî íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû(A − 0 · I)x = 0. äàííîì ñëó÷àåðàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí 2, ïîýòîìó â ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå 2 âåêòîðàñèñòåìà ðîâíî èç äâóõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äëÿñà èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ íå ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó ìàòðèöàAλ = 0.⇒èìååòñÿÒàêèì îáðàçîì, áàçè-íå ìîæåò áûòü ïîäîáíà äèàãîíàëüíîéìàòðèöå.ÏÐÈÌÅÐ 2.Íàéòè æîðäàíîâó ôîðìó è ñîîòâåòñòâóþùèé æîðäàíîâ áàçèñ äëÿ" 1 0 1 0#A=000Äàííàÿ ìàòðèöà èìååò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåêîðíåâûì äëÿ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿλ = 1.100010λ = 1101.Ñ ïîìîùüþ ñäâèãà ïåðåéäåì ê ìàòðèöåïîèíòåðåñóåìñÿ åå ñòåïåíÿìè:00B=000000100001,0000B2 = 00C4 ÿâëÿåòñÿB = A−1·I èêðàòíîñòè 4.
Âñå ïðîñòðàíñòâî0000000010,00B 3 = 0.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ215Çíà÷èò, ÷èñëî æîðäàíîâûõ êëåòîê ïîðÿäêà 3 ðàâíîdim kerB 3 − dim kerB 2 = 4 − 3 = 1.Èìååòñÿ òàêæåîäíà æîðäàíîâà êëåòêà ïîðÿäêà 1.Ïðèíàäëåæíîñòü âåêòîðàâçÿâ>x = [0, 0, 0, 1]x = [x1 , x2 , x3 , x4 ]>ÿäðókerB 2îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìx4 = 0. Ïîýòîìó,, ïîëó÷àåì ïðÿìóþ ñóììókerB 3 = kerB 2 + L(x).Âåêòîðxèìååò âûñîòó 3 è ïîðîæäàåò öèêëè÷åñêîå ïîäïðîñòðàíñòâî, íàòÿíóòîå íà âåêòîðûx, Bx = [0, 0, 1, 0]> , B 2 x = [0, 1, 0, 0]> .z = [z1 , z2 , z3 , z4 ]> ñîáñòâåííîìó ïîäïðîñòðàíñòâó kerB îïèñûâàåòñÿ ñèñ>òåìîé óðàâíåíèé z3 = z4 = 0. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, z = [1, 0, 0, 0]ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì,2>ëèíåéíî íåçàâèñèìûì ñ óæå íàéäåííûì ñîáñòâåííûì âåêòîðîì B x = [0, 1, 0, 0] .
Îêîí÷àòåëüíî,Ïðèíàäëåæíîñòü âåêòîðà0J =1010,X = [B 2 x, Bx, x, z].0Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî æîðäàíîâà ôîðìàJè ìàòðèöàXæîðäàíîâà áàçèñàäîëæíû ñîîò-âåòñòâîâàòü äðóã äðóãó: AX = XJ . Ýòî çíà÷èò, ÷òî äàæå èç ïðàâèëüíî íàéäåííûõ âåêòîðîâ èìååòñÿâîçìîæíîñòü ñîñòàâèòü íåïðàâèëüíóþ ìàòðèöó X (çà ñ÷åò íåâåðíîé èõ íóìåðàöèè).Íèëüïîòåíòíàÿ ìàòðèöà J ïîðÿäêà n = 10 èìååò äâå æîðäàíîâû êëåòêèïîðÿäêà 3 è äâå æîðäàíîâû êëåòêè ïîðÿäêà 2.
Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü æîðäàíîâó ôîðìóìàòðèöû A = J 2 .ÏÐÈÌÅÐ 3.λ = 0 êðàòíîñòè 10. Òî æå âåðíî èäëÿ ìàòðèöû A = J . Âû÷èñëÿåì ðàçìåðíîñòè ÿäåð: dim kerA = 8,dim kerA2 = 10. Ñëåäîâàòåëüíî,æîðäàíîâà ôîðìà ìàòðèöû A ñîñòîèò èç m2 = 10 − 8 = 2 êëåòîê ïîðÿäêà 2 è m1 = 2 · 8 − 10 = 6 êëåòîêÍèëüïîòåíòíîñòü îçíà÷àåò, ÷òîJèìååò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå2ïîðÿäêà 1.Çàäà÷à.Èçâåñòíî, ÷òîÇàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà ïîðÿäêàAk+1 = A, k > 0.Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàn>1Aäèàãîíàëèçóåìà.èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñò-ðàíñòâ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà êàæäîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ñîîòâåòñòâóåò ðîâíî îäíàæîðäàíîâà êëåòêà.216Ëåêöèÿ 32Ëåêöèÿ 3333.1Íîðìàëüíûå ìàòðèöûÎñíîâó ìàòðè÷íîé òåõíèêè ñîñòàâëÿþò ïðåîáðàçîâàíèÿ è ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö îáùåãîâèäà, ïîëó÷àåìûå ïðè ïîìîùè ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ ìàòðèö.Êâàäðàòíàÿ êîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé, åñëè A∗ A = AA∗ .Òåîðåìà.
Ìàòðèöà A ∈ Cn×n íîðìàëüíàÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ íåêîòîðîéóíèòàðíîé ìàòðèöû Q ∈ Cn×n ìàòðèöà Q∗ AQ ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Øóðà, ñóùåñòâóåò óíèòàðíàÿ ìàòðèöà Q, ïðèâîäÿùàÿ Aê âåðõíåìó òðåóãîëüíîìó âèäó B = QAQ∗ . Ðàâåíñòâî A∗ A = AA∗ ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó B ∗ B = BB ∗ . Îñòàåòñÿ ïîñìîòðåòü, ÷òî îíî îçíà÷àåò â ñëó÷àå âåðõíåé òðåóãîëüíîéìàòðèöû B :"# "#b11 b12...b1nb11b22...b2n......bnnb12b22.........b1nb2n...bnnb11=b12b22.........b1nb2n...bnnb11 b12...b1nb22...b2n.......bnnÏðèðàâíèâàÿ ýëåìåíòû â ïîçèöèè (1, 1), ïîëó÷àåì|b11 |2 = |b11 |2 + |b12 |2 + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
