Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà n ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííàÿìàòðèöà P òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöà B = P AP −1 ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ197Ìàòðèöó P ìîæíî âûáðàòü â âèäå P = Pn−2 . . . P1 , ãäå Pk = Zk Πk ïðîèçâåäåíèåìàòðèöû ïåðåñòàíîâêè Πk è ìàòðèöû ìîäèôèêàöèè ñòðîê Zk .Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè a21 6= 0, òî Π1 = I . Åñëè a21 = 0, íî ai1 6= 0 ïðè i ≥ 3, òî 2-þ èi-þ ñòðîêè ñëåäóåò ïåðåñòàâèòü ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòðèöóïåðåñòàíîâêè Π1 .  ñëó÷àå a21 6= 0 ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ìîäèôèêàöèè ñòðîê Z1 èñêëþ÷àåì âñå ýëåìåíòû ïåðâîãî ñòîëáöà â ïîçèöèÿõ (i, 1) ïðè 3 ≤ i ≤ n.

Ïðîèëëþñòðèðóåìïåðâûé øàã äëÿ n = 4:1000010 0a110 0 a211 0 a31a410 1−a31a21−a41a21b11b2100b12b22b32b42b13b23b33b43a12a22a32a421b14b24  0b34  0b440a13a23a33a43a14b11a24 b21= 0a34 a440010 0c110 0c211 0 =  00 10a31a21a41a21b12b22b32b42c12c22c32c42b13b23b33b43c13c23c33c43b14b24 ,b34 b44c14c24 .c34 c44Âàæíî, ÷òî ïðè óìíîæåíèè ñïðàâà íà P1−1 ýëåìåíòû ïåðâîãî ñòîëáöà íå èçìåíÿþòñÿ⇒ íóëè, ïîëó÷åííûå òàì ðàíåå, ñîõðàíÿòñÿ.Âòîðîé øàã íàïðàâëåí íà ïîëó÷åíèå íóëåé âî âòîðîì ñòîëáöå. Åñëè c32 6= 0, òîèñêëþ÷åíèå ïðîâîäèòñÿ òàêèì îáðàçîì:100 10 00d11d21000001−c42c32d12d22d3200c110 c210  010d13d23d33d43c12c22c32c421d14d24  0d34  00d440100c13c23c33c43c14d11c24 d21= 0c34 0c440010h110h210 =  010c42c32d12d22d320d13d23d33d43d14d24 ,d34 d44h12h22h320h13h23h33h43h14h24 .h34 h44 ñëó÷àå n ≥ 5 òî÷íî òàê æå íà òðåòüåì øàãå ïîëó÷àåì íóëè â ïîçèöèÿõ òðåòüåãîñòîëáöà (i, 3) ïðè i ≥ 5.

È òàê äàëåå. 2ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÀß ×ÀÑÒÜ29.8Ìàòðèöû ÔðîáåíèóñàÇàäà÷à î âû÷èñëåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ êîðíåéíåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà (õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà äàííîé ìàòðèöû). Âåðíî ëèîáðàòíîå? Ìîæíî ëè çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè êîðíåé ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè n ñâåñòè ê âû÷èñëåíèþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íåêîòîðîé ìàòðèöû? Îòâåò ïîëîæèòåëüíûé.

Ïóñòü ìíîãî÷ëåí èìååò âèäf (λ) = λn + an−1 λn−1 + . . . + a0 .Òîãäà èíòåðåñóþùàÿ íàñ ìàòðèöà ìîæåò áûòü, â ÷àñòíîñòè, òàêîé:Af= 001001... ...0000000...00..................000...01−a0−a1−a2...−an−2−an−1.198Ëåêöèÿ 29Ìàòðèöà Af íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Ôðîáåíèóñà èëè ñîïðîâîæäàþùåé ìàòðèöåé ìíîãî÷ëåíà f (x).Óòâåðæäåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû Ôðîáåíèóñà Af äëÿ ìíîãî-÷ëåíà f (λ) èìååò âèä det(Af − λI) = (−1)n f (λ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåëèòåëÿ det(Af − λI) ïðèáàâèì ê ïåðâîéñòðîêå 2-þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà λ, çàòåì 3-þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà λ2 , è òàê äàëåå.Âîò ÷òî ïîëó÷àåòñÿ ïðè n = 4:2det −λ001 −λ001 −λ00100 −λ3 1 −λ0= det  01 −λ001−a0−a1 = det −a2−a3 − λ0 −λ1 −λ0100−a0 − a1 λ − a2 λ2000−a1 1 −λ0 = det  0−a21 −λ−a3 − λ001= a0 + a1 λ + a2 λ 2 + a3 λ 3 + λ 4 .29.900−λ1−a0 − a1 λ−a1−a2−a3 − λ−a0 − a1 λ − a2 λ2 − a3 λ3 − λ4−a1−a2−a3 − λ2Âû÷èñëåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàÊàê ìû çíàåì, ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ëþáóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöóìîæíî ïðèâåñòè ê ïîäîáíîé åé âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ìàòðèöå H .

Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí äëÿ H .Äëÿ ýòîãî âëîæèì âåðõíþþ ïî÷òè òðåóãîëüíóþ ìàòðèöó H −λI â âåðõíþþ òðåóãîëüíóþ ìàòðèöó è ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé(ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû n = 4): 1 h11 − λh12h13h14f1 (λ)00h21h22 − λh23h24  f2 (λ)00 0h32h33 − λh34  f3 (λ) = 0 .0000h43h44 − λf4 (λ)00001f5 (λ)1Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîääèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû H îòëè÷íû îò íóëÿ. Òîãäàìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ äàííîé ñèñòåìû îáðàòèìà ⇒ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå, â êîòîðîì, î÷åâèäíî, fk (λ) áóäåò ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n+1−k îò λ. Ñîãëàñíîïðàâèëó Êðàìåðà,(−1)n+1 det(H − λI).f1 (λ) =h21 .

. . hn+1 n äàííîì ìåòîäå äëÿ âû÷èñëåíèÿ âñåõ êîýôôèöèåíòîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàìàòðèöû ïîðÿäêà n âûïîëíÿåòñÿ O(n3 ) àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé (ïðîâåðüòå!).Ëåêöèÿ 3030.1Îäíîìåðíûå èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâàÏóñòü L èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A è dim L = 1.

Ïóñòü x ∈ L è x 6= 0. Èíâàðèàíòíîñòüîçíà÷àåò, ÷òî Ax = λx äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà λ.  òàêèõ ñëó÷àÿõ λ è x 6= 0 íàçûâàþòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì è ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðà A.Åñëè x ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿ A, òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà L(x) áóäåò èíâàðèàíòíûìïîäïðîñòðàíñòâîì ðàçìåðíîñòè 1: z ∈ L(x) ⇒ z = αx ⇒ Az = (αλ)x ∈ L(x). äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îïåðàòîð A äåéñòâóåò íà êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè n è çàäàí ñâîåé ìàòðèöåé A ∈ Cn×n â ïðîèçâîëüíîì ôèêñèðîâàííîìáàçèñå. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü î ïîäïðîñòðàíñòâàõ â Cn , èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íà ìàòðèöó A (èëè, êîðî÷å, îòíîñèòåëüíî ìàòðèöû A). Ñîõðàíèìîáîçíà÷åíèÿ L è x äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâà è ñòîëáöà èç Cn , èìåþùèõ ñìûñë óïîìÿíóòûõâûøå L è x.

Ìû óæå çíàåì, ÷òî ñîáñòâåííûå çía÷åíèÿ λ ìàòðèöû A è òîëüêî îíè ñóòüêîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ det(A − λI) = 0. Èç îñíîâíîé òåîðåìû àëãåáðû âûòåêàåò, ÷òî ìàòðèöà A (îïåðàòîð A) èìååò êîìïëåêñíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå.Îòñþäà ïîëó÷àåì íóæíîå íàìÓòâåðæäåíèå. Ëþáàÿ ìàòðèöà A ∈ Cn×n èìååò èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâîðàçìåðíîñòè 1.Çàäà÷à.λ1 , .

. . , λ n .X ∈ Cn×n .ÌàòðèöàAïîðÿäêànèìååò íåíóëåâûå ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿÍàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðàÇàäà÷à.X 7→ AXA−1 ,A ïîðÿäêà n èìååò ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1 , . . .

, λn . ÍàéòèX 7→ AX > A, X ∈ Cn×n .A BÇàäà÷à. Ìàòðèöà A = A∗ ïîðÿäêà n è åå îêàéìëåíèåñ ïîìîùüþ n × r -ìàòðèöû BB∗ 0Ìàòðèöàñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðàÿâëÿþòñÿ îáðàòèìûìè ìàòðèöàìè. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàZ=èìååò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ 1 è30.2(1 ±√−1 A0A0 B ∗ A−1 BB∗5)/2B0àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè, ñîîòâåòñòâåííî,n−rèr.Ãåîìåòðè÷åñêàÿ êðàòíîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿÔèêñèðóåì ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ îïåðàòîðà A è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî L âñåõ âåêòîðîâ x òàêèõ, ÷òî Ax = λx.Óòâåðæäåíèå. Ìíîæåñòâî L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì, èíâàðèàíòíûì îòíîñè199200Ëåêöèÿ 30òåëüíî A.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü x, y ∈ L ⇒ Ax = λx, Ay = λy ⇒ A(αx+βy) = λ(αx+βy)⇒ αx + βy ∈ L. Èíâàðèàíòíîñòü L î÷åâèäíà: åñëè x ∈ L, òî Ax = λx ∈ L. 2Îïðåäåëåíèå. Ïîäïðîñòðàíñòâî L íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäïðîñòðàíñòâîì, à åãîðàçìåðíîñòü ãåîìåòðè÷åñêîé êðàòíîñòüþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ Λ.30.3Ìàòðè÷íîå âûðàæåíèå èíâàðèàíòíîñòèÒåîðåìà. Ïóñòü L ⊂ Cn èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A ∈ Cn×n è dim L = k . Òîãäàñóùåñòâóþò ìàòðèöû X ∈ Cn×k è B ∈ Ck×k òàêèå, ÷òî ñòîëáöû X îáðàçóþò â Láàçèñ è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî AX = XB . Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöûB ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ìàòðèöû A.Äîêàçàòåëüñòâî.

Îáðàçóåì X èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ x1 , . . . , xk äëÿ L. Èíâàðèàíò-íîñòü îçíà÷àåò, ÷òî Axj åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ x1 , . . . , xk . Îïðåäåëèììàòðèöó B òàêèì îáðàçîì, ÷òî åå j -é ñòîëáåö bj ñîäåðæèò êîýôôèöèåíòû äàííîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè. Òîãäà Axj = Xbj ⇒ AX = XB .e ∈ Cn×n . ÒîãäàÄîïîëíèì X êàêèìè-òî ñòîëáöàìè äî íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû Xe = Xe B CAX0 Däëÿ êàêèõ-òî áëîêîâ C è D. Îòñþäàe −1 AXe − λI) = det(B − λIk ) det(D − λIn−k ).det(A − λI) = det(X2Ñëåäñòâèå.

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ êðàòíîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ íå âûøå åãî àëãåáðàè÷åñêîé êðàòíîñòè.30.4Ñóæåíèå îïåðàòîðà íà ïîäïðîñòðàíñòâîÅñëè ïîäïðîñòðàíñòâî L èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A, òî ìîæíî îïðåäåëèòüëèíåéíûé îïåðàòîð B : L → L ïðàâèëîìBx = Ax,x ∈ L.Îïåðàòîð A èìååò áîëåå øèðîêóþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ, ÷åì B . Íî B äåéñòâóåò íàâåêòîðû èç L òàê æå, êàê A ïîýòîìó åãî íàçûâàþò ñóæåíèåì îïåðàòîðà A íà L.Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî A èíäóöèðóåò íà L îïåðàòîð B è íàçûâàþò B èíäóöèðîâàííûìîïåðàòîðîì.Åñëè A ìàòðèöà îïåðàòîðà A â êàêîì-òî áàçèñå, x1 , . .

. , xk áàçèñ â L è X =[x1 , . . . , xk ], òî ðàâåíñòâî AX = XB îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà B ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ñóæåíèÿ îïåðàòîðà A íà L â áàçèñå x1 , . . . , xk .30.5Èíâàðèàíòíûå ïðîñòðàíñòâà è ñäâèãèÓòâåðæäåíèå. Ìàòðèöû A è A − λI èìåþò îáùèå èíâàðèàíòíûå ïðîñòðàíñòâà äëÿëþáîãî λ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü L èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A. Åñëè x ∈ L, òî Ax ∈ L ⇒Ax − λx ∈ L ⇒ L èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A − λI .

Çàìåòèì òàêæå, ÷òî A = B − λ0 I ,ãäå B = A − λI , λ0 = −λ. 2Å. Å. Òûðòûøíèêîâ30.6201Òðåóãîëüíàÿ ôîðìà ìàòðèöûËåììà 1. Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A ∈ Cn×n cóùåñòâóåò èíâàðèàíòíîå ïðîñòðàíñòâîðàçìåðíîñòè n − 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû óæå çíàåì, ÷òî îáðàç imA ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðîñòðàíñò-âîì. Åñëè åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà n − 1, òî âñå äîêàçàíî.Åñëè îíà ðàâíà k < n − 1, òî imA çàâåäîìî ïðèíàäëåæèò êàêîìó-òî áîëåå øèðîêîìóïîäïðîñòðàíñòâó L ðàçìåðíîñòè n − 1, ïðèòîì åñëè x ∈ L, òî Ax ∈ imA ⊂ L. Çíà÷èò, Lèíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A. Åñëè dim imA = n, òî ïåðåéäåì ê ìàòðèöå B = A − λI ,ãäå λ êàêîå-òî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû A. ßñíî, ÷òî dim kerB ≥ 1 ⇒dim imB ≤ n − 1 ⇒ B èìååò èíâàðèàíòíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè n − 1. Îíî æåèíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A.

2Ëåììà 2. Ïóñòü L èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A ∈ Cn×n è dim L = k > 1. Òîãäà â Lèìååòñÿ èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî A ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k − 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ìàòðè÷íîìó âûðàæåíèþ èíâàðèàíòíîñòè, AX = XB , ãäåñòîëáöû X îáðàçóþò â L áàçèñ è B ∈ Ck×k . Ïî ëåììå 1, ìàòðèöà B èìååò èíâàðèàíòíîåïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k − 1. Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç M è ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Nâåêòîðîâ âèäà Xz, z ∈ M . Êîíå÷íî, N ⊂ Cn åñòü ïîäïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k − 1.Ïðè ýòîì A(Xz) = X(Bz) ⇒ N èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A. 2Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A ∈ Cn×n ñóùåñòâóåò öåïî÷êà âëîæåííûõ ïîä-ïðîñòðàíñòâL1 ⊂ .

. . ⊂ Ln = Cn ,êàæäîå èç êîòîðûõ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A è ïðèòîì dim Lk = k .Òåîðåìà î âåðõíåé òðåóãîëüíîé ôîðìå. Ëþáàÿ ìàòðèöà A ∈ Cn×n ïîäîáíà âåðõíåéòðåóãîëüíîé ìàòðèöå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì áàçèñ x1 , . . . , xn òàêèì îáðàçîì, ÷òî Lk = L(x1 , . . . , xk )(äîñòàòî÷íî âçÿòü x1 ∈ L1 , äîïîëíèòü åãî äî áàçèñà â L2 âåêòîðîì x2 , è òàê äàëåå).Ïóñòü X = [x1 , . .

. , xn ]. Òîãäà Axj åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ x1 , . . . , xj ⇒Axj = Xbj äëÿ ñòîëáöà bj ñ íóëÿìè â ïîçèöèÿõ íèæå j -é. Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöàB = [b1 , . . . , bn ] âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ, è ïðè ýòîì AX = XB ⇒ B = X −1 AX . 2Çàìåòèì, ÷òî åñëè B = X −1 AX , òî B è A èìåþò îäèí è òîò æå õàðàêòåðèñòè÷åñêèéìíîãî÷ëåí. Ïîýòîìó B è A èìåþò îäèí è òîò æå íàáîð n ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ ó÷åòîìêðàòíîñòåé. Åñëè ìàòðèöà B òðåóãîëüíàÿ, òî åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñóòü ýëåìåíòûãëàâíîé äèàãîíàëè.Çàäà÷à.nλ + an−1 λÇàäà÷à.= 0, à õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû A çàïèñàí â âèäå det(λI − A) =+ an−2 λ+ ...

Характеристики

Список файлов книги