Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Îòñþäà |f (xk )| → 0. Çíà÷èò,ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí ïðè x = 0. 2Çàäà÷à.x∈Rm26.2f>f (Ax) = y AxËèíåéíûé ôóíêöîíàë. Äîêàæèòå, ÷òîAx,x.îïðåäåëåí íà ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ âèäàäëÿ íåêîòîðîãîy∈Rm, íå çàâèñÿùåãî îòãäåA ∈ Rm×nèÑîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâîÎïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî äëÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ îïðåäåëÿþòñÿåñòåñòâåííûì îáðàçîì.Ïóñòü f (x) è g(x) ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû íà V .
Òîãäà èõ ñóììîé íàçûâàåòñÿôóíêöèÿ h = f + g : V → C, îïðåäåëåííàÿ ïðàâèëîì h(x) ≡ f (x) + g(x). Äëÿ α ∈ Côóíêöèÿ h = αf : V → C îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëîì h(x) ≡ αf (x).Ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî f + g è αf îñòàþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèîíàëàìè.Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî âñåõ âñåõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà V ïðåâðàùàåòñÿ âëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî.Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ìíîæåñòâî âñåõ îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ.
Îíî òîæå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, ïîñêîëüêó ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà÷èñëî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñîõðàíÿþò ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè.Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà V íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ïðîñòðàíñòâîì äëÿ V . Îáîçíà÷åíèå: V ∗ .Íîðìîé ôóíêöèîíàëà f ∈ V ∗ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà||f || =sup |f (x)|.||x||V =1Êîíå÷íîñòü ||f || âûòåêàåò èç îãðàíè÷åííîñòè f . Àêñèîìû âåêòîðíîé íîðìû ïðîâåðÿþòñÿî÷åâèäíûì îáðàçîì.Çàäà÷à.Ïóñòüíîãî ïðîñòðàíñòâàçàâèñÿùèé îò26.3φφV. ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâåφ(f ) = f (x0 ),f ∈ V ∗.Äîêàæèòå, ÷òîè íå çàâèñÿùèé îòãäåx0 ∈ VV∗äëÿ êîíå÷íîìåð- íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé âåêòîð,Ïðèìåðû ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ(1) Ïóñòü P ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ìíîãî÷ëåíîâ íà îòðåçêå[−1, 1] ñ C -íîðìîé ||p||C = sup |p(x)|.
Ïóñòü p0 (x) îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ìíî−1≤x≤1ãî÷ëåíà p(x) (ÿñíî, ÷òî p0 ∈ P ). Ôóíêöèîíàë f : P → R, çàäàííûé ïðàâèëîìf (p) ≡ p0 (1),p ∈ P,ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, ëèíåéíûì, íî íå îãðàíè÷åííûì: åñëè pn (x) = xn , òî ||pn ||C = 1è f (pn ) = n.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèîíàëf (p) = p0 (0)òàêæå íå áóäåò îãðàíè÷åííûì.(2)  òîì æå ïðîñòðàíñòâå P ôóíêöèîíàë f (p) = p(0) ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ(3) Ôóíêöèîíàë f (p) =173R1p(x)dx ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì è îãðàíè÷åííûì íà P .−1(4) Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Cn ñ ëþáîé íîðìîé, è ïóñòü äàíû ÷èñëà c1 , .
. . , cn .Ïóñòü x = [x1 , . . . , xn ]> ∈ Cn è f (x) = c1 x1 + . . . + cn xn . Ýòî îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà Cn .26.4Ðàçìåðíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâàÌíîæåñòâî L = {x ∈ V : f (x) = 0} íàçûâàåòñÿ ÿäðîì èëè íóëü-ïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà f : V → C.
Îáîçíà÷åíèå: L = kerf . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî L ïîäïðîñòðàíñòâî. Åñëè dim V = n è ôóíêöèîíàë íå ðàâåí íóëþ òîæäåñòâåííî, òî dim L = n − 1(äîêàæèòå!). Ìû ñîáèðàåìñÿ äîêàçàòü, ÷òî â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå êîíå÷íîé (è ðàâíîé 1) îêàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòü òàê íàçûâàåìîãî äîïîëíèòåëüíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà.Ïîäïðîñòðàíñòâî L0 â ïðîñòðàíñòâå V íàçûâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâà L, åñëè ðàçëîæåíèå V = L + L0 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ñóììîé.
Ðàçìåðíîñòü äîïîëíèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ êîðàçìåðíîñòüþ ïîäïðîñòðàíñòâà L.Åñëè V êîíå÷íîìåðíî, òî åãî áàçèñ ìîæíî ïîëó÷èòü îáúåäèíåíèåì áàçèñîâ â L è0L . Ïîýòîìó dim L0 = dim V − dim L ⇒ êîðàçìåðíîñòü îäíà è òà æå äëÿ ëþáîãîäîïîëíèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà. Òî æå âåðíî è â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå.Ñêàæåì, ÷òî a ∼ b, åñëè a − b ∈ L. Ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà V . ÏîýòîìóV ðàçáèâàåòñÿ íà ìíîæåñòâî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè.Ïóñòü êëàññû [a] è [b] ïîðîæäåíû âåêòîðàìè a è b. Åñòåñòâåííûå îïðåäåëåíèÿ îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî[a] + [b] = [a + b],α[a] = [αa]êîððåêòíû, òàê êàê èõ ðåçóëüòàòû íå çàâèñÿò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé â êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïðåâðàùàåòñÿ â ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä òåì æå ïîëåì, ÷òî è ïðîñòðàíñòâî V . Îíî íàçûâàåòñÿ ôàêòîðïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷åíèå: V /L.Óòâåðæäåíèå. Ëþáîå äîïîëíèòåëüíîå äëÿ L ïîäïðîñòðàíñòâî èçîìîðôíî ôàêòîðïðîñòðàíñòâó V /L.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ a ∈ L0 ïóñòü Φ(a) = [a]. Î÷åâèäíî, îòîáðàæåíèå Φ : L0 → V /Lñîõðàíÿåò îïåðàöèè è Φ(L) = V /L.
Êðîìå òîãî, åñëè Φ(a) = Φ(b), òî a ∼ b ⇒a − b ∈ L è îäíîâðåìåííî a − b ∈ L0 ⇒ a − b = 0. Çíà÷èò, Φ ñîõðàíÿþùåå îïåðàöèèâçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå L0 íà V /L äðóãèìè ñëîâàìè, èçîìîðôèìçì. 2Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëîæåíèé â ïðÿìóþ ñóììó V = L + L0 = L + L00ðàçìåðíîñòè äîïîëíèòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ L0 è L00 îäèíàêîâû.26.5Ëèíåéíûå ôóíêöèîíàëû è ãèïåðïëîñêîñòèÏóñòü L = kerf . Åñëè L = V , òî ôóíêöèîíàë òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ (è ïîýòîìóíàçûâàåòñÿ íóëåâûì èëè òðèâèàëüíûì).Ïóñòü L 6= V . Òîãäà ñóùåñòâóåò âåêòîð x0 , äëÿ êîòîðîãî f (x0 ) 6= 0. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x ∈ V íàõîäèìf (x − αx0 ) = 0 ïðè α = f (x)/f (x0 )⇒x = z + αx0 , z ∈ L.174Ëåêöèÿ 26Î÷åâèäíî, α îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì z ∈ L. Ïîýòîìó V åñòü ïðÿìàÿ ñóììàïîäïðîñòðàíñòâ L è L(x0 ). Òàêèì îáðàçîì, ÿäðî íåòðèâèàëüíîãî ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà èìååò êîðàçìåðíîñòü, ðàâíóþ 1.Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Mc = {x ∈ V : f (x) = c}.
Åñëè f (x0 ) = c, òî, î÷åâèäíî, Mc = x0 + L. Òàêèì îáðàçîì, Mc åñòü ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå ñ íàïðàâëÿþùèìïðîñòðàíñòâîì L êîðàçìåðíîñòè 1.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿãèïåðïëîñêîñòüþ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îòîáðàæåíèå f (x) 7→ M (f ) = {x ∈ V : f (x) = 1}ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì ñîîòâåòñòâèåì ìåæäó ëèíåéíûìè ôóíêöèîíàëàìè è ãèïåðïëîñêîñòÿìè.Ïóñòü dim V = n è e1 , . . . , en áàçèñ â V .  äàííîì ñëó÷àå ÿñíî, ÷òî ëþáîé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë èìååò âèä f (x1 e1 + . . .
+ xn en ) = c1 x1 + . . . + cn xn , ãäå ci = f (ei ). Òàêèìîáðàçîì, ëþáàÿ ãèïåðïëîñêîñòü â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèäc1 x1 + . . . + cn xn = c,(∗)ãäå x1 , . . . , xn êîîðäèíàòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî âûáðàííîìó áàçèñó.ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÀß ×ÀÑÒÜ26.6Îïîðíûå ãèïåðïëîñêîñòèÓðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè (∗) â Rn óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå(x, h) = c,ãäå h = [c1 , . . . , cn ]> .Ãèïåðïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó x0 , çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (x, h) = (x0 , h). Ïîäñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì çäåñü ïîíèìàåòñÿ åñòåñòâåííîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Rn .Ïóñòü M ⊂ Rn íåêîòîðîå ìíîæåñòâî.
Òî÷êà x0 ∈ M íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé äëÿ M ,åñëè â ëþáîé åå îêðåñòíîñòè èìåþòñÿ òî÷êè u ∈ M è v ∈/ M . Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîäîêðåñòíîñòüþ òî÷êè ìîæíî ïîíèìàòü øàð îòíîñèòåëüíî 2-íîðìû (âàæíî, ÷òî ìåòðèêàäîëæíà ïîðîæäàòüñÿ íîðìîé, à âñå íîðìû íà Rn ýêâèâàëåíòíû).Ãèïåðïëîñêîñòü π : (x, h) = (x0 , h), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ãðàíè÷íóþ òî÷êó x0 ∈ M ,íàçûâàåòñÿ îïîðíîé ãèïåðïëîñêîñòüþ äëÿ M , åñëè (x, h) ≤ (x0 , h) ∀ x ∈ M .Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê âûïóêëîãî ìíîæåñòâà â íîðìèðîâàííîìïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà çàìûêàíèÿ âûïóêëîãî ìíîæåñòâàìåðíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ïðèíàäëåæèòSâ êîíå÷íî-S . Âåðíî ëè ýòî â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâàS?Çàäà÷à.ÏóñòüM âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî ãèïåðïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç åãîãðàíè÷íóþ òî÷êó, ÿâëÿåòñÿ îïîðíîé äëÿâíóòðåííåé òî÷êè ìíîæåñòâàMòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà íå ñîäåðæèò íè îäíîéM.Ëåììà î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå.
Ïóñòü M ⊂ Rn çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈/ M ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà z0 ∈ M òàêàÿ, ÷òî|x − z0 | = ρ ≡ inf |x − z|.z∈MÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ175Ïðè ýòîì (x − z0 , z − z0 ) ≤ 0 ∀ z ∈ M .Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü |x − zk | → ρ, zk ∈ M .  ñèëó îãðàíè÷åííîñòè äëèí |zk |,íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü zkl → z0 ∈ M . Ïîëîæèì h = x − z0 .
Ñ ïîìîùüþïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïîëó÷àåì |h| = ρ. Äàëåå, åñëè z ∈ M è v ≡ z − z0 , òî, â ñèëóâûïóêëîñòè M , z0 + εv ∈ M äëÿ âñåõ 0 ≤ ε ≤ 1. Ñëåäîâàòåëüíî,2ρ2 ≤ |x − (z0 + εv)|2 = (h − εv, h − εv) = ρ2 − 2ε(h, v) + ε2 |v|2 ⇒(h, v) ≤ ε|v|2 /2 ∀ 0 < ε ≤ 1Åñëè |x − (z0 + v)| = ρ, òî |v|2 = 2(h, v) ≤ 0 ⇒⇒(h, v) ≤ 0.v = 0. 2Òåîðåìà 1. ×åðåç ëþáóþ ãðàíè÷íóþ òî÷êó çàìêíóòîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà M ⊂Rn ïðîõîäèò õîòÿ áû îäíà îïîðíàÿ ãèïåðïëîñêîñòü äëÿ M .Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáàÿ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà x0 ∈ M åñòü ïðåäåë íåêîòîðîé ïîñëåäî-âàòåëüíîñòè âíåøíèõ äëÿ M òî÷åê: xk → x0 , xk ∈/ M .  ñèëó ëåììû, äëÿ êàæäîéòî÷êè xk ñóùåñòâóåò ýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ zk ∈ M : |xk − zk | ≤ |xk − z|è (xk −zk , z−zk ) ≤ 0 ∀ z ∈ M . Îòñþäà (pk , z) ≤ (pk , zk ), ãäå pk = hk /|hk |, hk = xk −zk .
Èçïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòîðîâ pk âûáåðåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîìó âåêòîðó p; î÷åâèäíî, |p| = 1. Êðîìå òîãî, |zk −x0 | ≤ |zk −xk |+|xk −x0 | ≤ 2|xk −x0 |⇒ zk → x0 . Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé òî÷êè z ∈ M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (z, p) ≤ (x0 , p).2Òåîðåìà 2. Ïóñòü L, M ⊂ Rn âûïóêëûå ìíîæåñòâà è ïðè ýòîì ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ òî÷åê äëÿ L íå ïóñòîêîñòü (x, h) = c òàêàÿ, ÷òî3è íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
