Главная » Просмотр файлов » Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра

Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 34

Файл №1112313 Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра) 34 страницаЕ.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313) страница 342019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Âîîáùå â íåíóëåâîì êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâåàêñèîìû (1), (4) íå ñîâìåñòèìû ñ àêñèîìîé (2): (ix, ix) = −(x, x) ⇒ åñëè (x, x) > 0,òî (ix, ix) < 0.Ïóñòü V êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Òåïåðü ïðè îïðåäåëåíèè ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ (x, y) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èñëî (x, y) â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíîå, àíàáîð àêñèîì ìîäèôèöèðóåòñÿ òàêèì îáðàçîì:155156Ëåêöèÿ 24(10 ) (x, x) ≥ 0 ∀ x ∈ V ; (x, x) = 0 ⇔ x = 0;(20 ) (x, y) = (y, x) ∀ x, y ∈ V(÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå);(30 ) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ∀ x, y, z ∈ V ;(40 ) (αx, y) = α(x, y) ∀ α ∈ C, ∀ x ∈ V .Êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì.Àêñèîìû åâêëèäîâà è óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâ îòëè÷àþòñÿ ëèøü êîìïëåêíûì ñîïðÿæåíèåì âî âòîðîé àêñèîìå è, êîíå÷íî, òåì, ÷òî â âåùåñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå âñå÷èñëà è ñàìî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåùåñòâåííû.

Çàìåòèì, ÷òî òî â ëþáîì ñëó÷àåñêàëÿðíûé êâàäðàò (x, x) îáÿçàí áûòü íåîòðèöàòåëüíûì âåùåñòâåííûì ÷èñëîì. îòëè÷èå îò (∗), â Cn åñòåñòâåííîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ x =[x1 , . . . , xn ]> , y = [y1 , . . . , yn ]> ââîäèòñÿ òàê:(x, y) =nXxi yi = y ∗ x.i=124.3Áèëèíåéíûå è ïîëóòîðàëèíåéíûå ôîðìû àêñèîìàõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñâîéñòâà (3), (4) îòðàæàþò ëèíåéíîñòü ôóíêöèè(x, y) îò âåêòîðîâ x è y ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó.  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå àêñèîìà (2)äàåò íàì ëèíåéíîñòü è ïî âòîðîìó àðãóìåíòó.Ôóíêöèÿ f (x, y) íàçûâàåòñÿ áèëèíåéíîé ôîðìîé, åñëè îíà ëèíåéíà ïî êàæäîìó èçàðãóìåíòîâ:(αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z),(z, αx + βy) = α(z, x) + β(z, y) ∀ x, y, z ∈ V, ∀ α, β.Òàêèì îáðàçîì, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé ôîðìîé ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè (1) è (2).Ôóíêöèÿ f (x, y) íàçûâàåòñÿ ïîëóòîðàëèíåéíîé ôîðìîé, åñëè(αx+βy, z) = α(x, z)+β(y, z),(z, αx+βy) = α(z, x)+β(z, y) ∀ x, y, z ∈ V, ∀ α, β ∈ C.Î÷åâèäíî, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ïîëóòîðàëèíåéíîé ôîðìîé ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè (10 ) è (20 ).24.4Äëèíà âåêòîðàÏóñòü V ïðîèçâîëüíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.

Âåëè÷èíàp|x| = (x, x)íàçûâàåòñÿ äëèíîé âåêòîðà x ∈ V .Íåðàâåíñòâî ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x, y ∈ V|(x, y)| ≤ |x| |y|,(∗)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ157ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà x è y ëèíåéíîçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî (x, y) çàïèøåì â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå(x, y) = |(x, y)| ξ,ξ = cos φ + i sin φ.Åñëè y = 0, òî â (∗) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî. Ïóñòü y 6= 0. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t ∈ Rðàññìîòðèì âûðàæåíèå(x + tξy, x + tξy) = (x, x) + tξ(x, y) + tξ(x, y) + ξξ(y, y) = t2 |y|2 + 2t|(x, y)| + |x|2 ≥ 0.Íåîòðèöàòåëüíîñòü êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà îò ïåðåìåííîé t îçíà÷àåò íåïîëîæèòåëüíîñòü åãî äèñêðèìèíàíòà:D = |(x, y)|2 − |x|2 |y|2 ≤ 0 ⇒ |(x, y)| ≤ |x| |y|.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè y 6= 0 â (∗) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîíåêîòîðîãî âåùåñòâåííîãî t ïîëó÷àåì⇒⇒D =0äëÿ(x + tξy, x + tξy) = 0 ⇒ x + tξy = 0.Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî åñëè y = 0 èëè x = αy , òî (∗) îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî.

2Ñëåäñòâèå. Äëèíà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé íîðìîé íà V .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûå äâà ñâîéñòâà íîðìû î÷åâèäíû, à íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêàâûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà:|x + y|2 = |x|2 + |y|2 + (x, y) + (y, x) ≤ |x|2 + |y|2 + 2|x| |y| = (|x| + |y|)2 .2Ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, ïîëíîå îòíîñèòåëüíî íîðìû || · || = | · |,îáû÷íî íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.Çàäà÷à.xèïðèy ëèíåéíîp 6= 2?Çàäà÷à.Äëÿ äâóõ âåêòîðîâx, y ∈ Rnçàâèñèìû. Âåðíî ëè ýòî â ñëó÷àå ðàâåíñòâàÄëÿ ìàòðèöA, B ∈ Rn×n||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 .

Äîêàæèòå, ÷òî||x + y||p = ||x||p + ||y||p äëÿ íîðìû Ãåëüäåðàâûïîëíåíî ðàâåíñòâîêâàäðàò ñóììû äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûïðîèçâåäåíèþ ñóìì äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö>A Aè>B B.Äîêàæèòå, ÷òîAèBA> Bðàâåíîòëè÷àþòñÿëèøü ñêàëÿðíûì ìíîæèòåëåì.Çàäà÷à.ÏóñòüV ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âåùåñòâåííûõ íåïðåðûâíûõ íàêàæèòå, ÷òî âûðàæåíèåïîëíûì.24.5(f, g) =R1f (t)g(t)dt[0, 1]åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è ïðè ýòîìôóíêöèé. Äî-Víå ÿâëÿåòñÿ0Òîæäåñòâî ïàðàëëåëîãðàììàÈòàê, ëþáîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì îáëàäàåò ñïåöèàëüíîé íîðìîé,ïîðîæäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Çàäàäèì âîïðîñ: êàêèå íîðìû íà V ìîãóòïîðîæäàòüñÿ êàêèì-íèáóäü ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì?Îòâåò ñâÿçàí ñî ñëåäóþùèì òîæäåñòâîì ïàðàëëåëîãðàììà:||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ) ∀ x, y ∈ V.158Ëåêöèÿ 24Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëèíà âåêòîðà ||x|| = |x| (òî åñòü, íîðìà, ïîðîæäåííàÿ ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì) óäîâëåòâîðÿåò äàííîìó òîæäåñòâó. Íî âåðíî è îáðàòíîå.Òåîðåìà.

Íîðìà ||·|| ïîðîæäàåòñÿ êàêèì-òî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî ïàðàëëîãðàììà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü V ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Çàïèøåì(x, y) = a + ib, ãäå a, b ∈ R. Òîãäà åñëè ||x|| = |x|, òî||x + y||2 = (x, x) + (x, y) + (y, z) + (y, y) = ||x||2 + ||y||2 + 2a,||x + iy||2 = (x, x) + i(y, x) − i(x, y) + (y, y) = ||x||2 + ||iy||2 + 2b.Îòñþäà a = f (x, y) è b = g(x, y), ãäå1f (x, y) = (||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2 ),21g(x, y) = (||x + iy||2 − ||x||2 − ||iy||2 ).2Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî V íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Åñëè íîðìà ïîðîæäàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, òî ïîñëåäíåå îáÿçàíî èìåòü âèä(x, y) = f (x, y) + ig(x, y).(∗)Ðàññìîòðèì (∗) êàê îïðåäåëåíèå ôóíêöèè (x, y) è äîêàæåì, ÷òî îíà îáëàäàåò âñåìèñâîéñòâàìè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî (x, x) = ||x||2 .

Ïîýòîìó ïåðâàÿ àêñèîìà î÷åâèäíà. Òàê æå ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî (x, y) = (y, x): ðàâåíñòâî f (x, y) = f (y, x) î÷åâèäíî, à ðàâåíñòâîg(x, y) = −g(y, x) ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî íîðìà óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó ïàðàëëåëîãðàììà è äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ (x, y) ëèíåéíà ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó (òðåòüÿ è ÷åòâåðòàÿ àêñèîìû).Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ëèíåéíîñòü ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ôóíêöèè f (x, y) (ëèíåéíîñòü g(x, y) ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó áóäåò î÷åâèäíûì ñëåäñòâèåì).Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî f (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z).

Èç îïðåäåëåíèÿ f è òîæäåñòâàïàðàëëåëîãðàììà âèäíî, ÷òî1f (x, z) = (||x + z||2 − ||x − z||2 ),41f (y, z) = (||y + z||2 − ||y − z||2 ).4Çàïèøåì x + z = u + v, y + z = u − v ⇒ u = 21 (x + y + 2z), v = 12 (x − y).  ñèëóòîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ âåêòîðîâ u è v ,||x + z||2 + ||y + z||2 =11(||(x + y + z) + z||2 + ||x − y||2 .22||x − z||2 + ||y − z||2 =11(||(x + y − z) − z||2 + ||x − y||2 .22Àíàëîãè÷íî,Ïî òîìó æå òîæäåñòâó ïàðàëëåëîãðàììà äëÿ x + y + z è z ,11(||(x + y + z) + z||2 = ||x + y + z||2 + ||z||2 − ||x + y||2 ,2211(||(x + y − z) − z||2 = ||x + y − z||2 + ||z||2 − ||x + y||2 .22Å. Å.

Òûðòûøíèêîâ159Îòñþäà1f (x, z) + f (y, z) = (||x + y + z||2 − ||x + y − z||2 ) = f (x + y, z).4Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî f (αx, y) = α f (x, y) äëÿ ëþáîãî α ∈ R. Ïóñòü α =íàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà, ïîëüçóÿñü óæå äîêàçàííûì ñâîéñòâîì, íàõîäèì1n f(nx, y) = f (n ( n1 x), y) = f (x, y) ⇒ f ( n1 x, y) =f ( mn x, y) = f (m( n1 x, y) = m f ( n1 x, y) =mn1nmn ðàöèî-f (x, y) ⇒f (x, y).Ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå α ïðåäñòàâèì êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàöèîíàëüíûõ αk → α. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) íåïðåðûâíà ïî x.

Ïîýòîìóâ ðàâåíñòâàõ f (αk x, y) = αk f (x, y) ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè k → ∞.Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ðàâåíñòâî (αx, y) = (αx, y) ïîêà òîëüêî äëÿ âåùåñòâåííûõ α. Îíî áóäåò âåðíî äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ α, åñëè ìû óñòàíîâèì, ÷òî (ix, y) =i(x, y). Ýòî âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ (∗), âèäà ôóíêöèé f (x, y) è g(x, y)è òîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà.

2Çàäà÷à.C[a, b]Ïî îïðåäåëåíèþ,||f (x)||C[a,b] ≡ max |f (x)|.ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íàÇàäà÷à.Íàéäèòå âñåa≤x≤b[a, b],Äîêàæèòå, ÷òî ýòà íîðìà â ïðîñòðàíñòâåíå ïîðîæäàåòñÿ íèêàêèì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.p ≥ 1, ïðè êîòîðûõ íîðìà Ãåëüäåðà ||·||pïîðîæäàåòñÿ íåêîòîðûì ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì.24.6Îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðîâÑêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîçâîëÿåò ââåñòè îáùåå ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ: xè y íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè (x, y) = 0. Îáîçíà÷åíèå: x⊥y .Çàìåòèì, ÷òî â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî ââåñòè ìíîãèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè, è âåêòîðû, îðòîãîíàëüíûå äëÿ êàêîãî-òî ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ, ìîãóò áûòü íå îðòîãîíàëüíûìè ïî îòíîøåíèþ ê äðóãîìó ñêàëÿðíîìóïðîèçâåäåíèþ. åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè òàêæå îáùåå ïîíÿòèå óãëà φ = φ(x, y)ìåæäó âåêòîðàìè x è y . Ïî îïðåäåëåíèþ,cos φ =(x, y).|x| |y|Íóæíî çàìåòèòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ïî ìîäóëþ íå áîëüøå 1 (â ñèëó íåðàâåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà).

Äëÿ îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ φ = π/2. Ïî ïîíÿòíîé ïðè÷èíåäàííîå îïðåäåëåíèå óãëà íå ïåðåíîñèòñÿ íà ñëó÷àé óíèòàðíûõ ïðîñòðàíñòâ. Íî ïîíÿòèåîðòîãîíàëüíîñòè ðàáîòàåò, êîíå÷íî, è òàì.Òåîðåìà Ïèôàãîðà. Åñëè x⊥y , òî |x + y|2 = |x|2 + |y|2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (x, y) = 0. Òîãäà (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) =(x, x) + (y, y). 2Çàìå÷àíèå.  åâêëèäîâîì (íî íå â óíèòàðíîì!) ïðîñòðàíñòâå òåîðåìó Ïèôàãîðàìîæíî îáðàòèòü: åñëè |x + y|2 = |x|2 + |y|2 , òî (x, y) = 0 ýòî î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó (x, y) + (y, x) = 2(x, y). Îäíàêî, ïîñëåäíåå íå âåðíî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ âóíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå.16024.7Ëåêöèÿ 24Îðòîãîíàëüíîñòü ìíîæåñòâÏóñòü V ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è L ⊂ V ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîåïîäìíîæåñòâî âåêòîðîâ.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,77 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее