Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Åñëè b 6= 0, òî ñ ïîìîùüþ ñäâèãà ëåãêî ïåðåéòè êóðàâíåíèþ λ1 x2 + 2by = 0. Åñëè b = 0, òî ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå λ1 x2 + c = 0.  èòîãåäîêàçàíî ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåòñÿ ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå îäíîãî èç ïÿòè òèïîâ:(1) λ1 x2 +λ2 y 2 +λ3 z 2 +c = 0,(4)(2) λ1 x2 +λ2 y 2 +2bz = 0,λ1 x2 + 2by = 0,(5)(3) λ1 x2 +λ2 y 2 +c = 0,λ1 x2 + c = 0.Âñå êîýôôèöèåíòû íåíóëåâûå, êðîìå, âîçìîæíî, ñâîáîäíîãî ÷ëåíà c.13713821.2Ëåêöèÿ 21ÝëëèïñîèäÏóñòü â ïðèâåäåííîì óðàâíåíèè òèïà (1) êîýôôèöèåíòû λ1 , λ2 , λ3 èìåþò îäèíàêîâûéçíàê, ïðîòèâîïîëîæíûé çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà c. Òîãäà óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê âèäóy2z2x2++= 1,a2b2c2a, b, c > 0.Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó óðàâíåíèþ, íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîèäîìñ ïîëóîñÿìè a, b, c.Çàìåòèì, ÷òî ýëëèïñîèä öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â ïàðàëëåëåïèïåäå|x| ≤ a,|y| ≤ b,|z| ≤ c.ßñíî, ÷òî â ñå÷åíèè ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ïëîñêîñòüþ ïîëó÷àåòñÿ íåêîòîðàÿ ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî äëÿ ýëëèïñîèäà â ëþáîì ñå÷åíèèïëîñêîñòüþ âîçíèêàåò ýëëèïñ (âûðîæäàþùèéñÿ â òî÷êó, êîãäà ïëîñêîñòü êàñàåòñÿ ýëëèïñîèäà).Çàäà÷à.22z /c = 1êîñòüþ).è èìåþùåé ñ íèì ðîâíî îäíó îáùóþ òî÷êó (òàêàÿ ïëîñêîñòü íàçûâàåòñÿÇàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ãåîìåòðè÷åñîå ìåñòî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ êàñàòåëü-íûõ ïëîñêîñòåé ê ýëëèïñîèäó21.3x2 /a2 +y 2 /b2 +êàñàòåëüíîé ïëîñ-Íàïèñàòü îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ýëëèïñîèäàx2 /a2 + y 2 /b2 + z 2 /c2 = 1åñòü ñôåðàx2 + y 2 + z 2 = a2 + b2 + c2 .Îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèäÏóñòü ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå èìååò òèï (1) ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çíàê îäíîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõ ðàâåí çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà è ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó äâóõ äðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ. Òîãäà â íåêîòîðîéäåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå âèäà:x2y2z2+−= 1,a2b2c2a, b, c > 0.Ìíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿþùèõ åìó òî÷åê (x, y, z) íàçûâàåòñÿ îäíîïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì. ëþáîì ñå÷åíèè îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà ïëîñêîñòüþ x + D = 0 èëè y + D = 0âîçíèêàåò ãèïåðáîëà.Ïî îòíîøåíèþ ê îäíîïîëîñòíîìó ãèïåðáîëîèäó ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâàðàçáèâàåòñÿ íà òðè ÷àñòè:x2a2x2a2x2a2+++y2b2y2b2y2b2−−−z2c2z2c2z2c2= 1< 1> 1(òî÷êè ïîâåðõíîñòè),(âíóòðåííèå òî÷êè),(âíåøíèå òî÷êè).Ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì: âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè îíîöåëèêîì ñîäåðæèò âñå òî÷êè íåêîòîðîé ñîåäèíÿþùåé èõ ëîìàíîé (ñîñòîÿùåé èç êîíå÷íîãî ÷èñëà îòðåçêîâ) ëèíèè.
Îòñþäà è íàçâàíèå îäíîïîëîñòíûé.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ21.4139Ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòüÈíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ëèíåé÷àòîéïîâåðõíîñòè. Òàê íàçûâàþòñÿ ïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùèå èç âñåõ òî÷åê íåêîòîðîãî áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ïðÿìûõ.Óòâåðæäåíèå. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà S ïðîõîäÿò â òî÷íîñòè äâå ðàçëè÷íûå ïðÿìûå, âñå òî÷êè êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò S .Äîêàçàòåëüñòâî. Èçìåíèâ ìàñøòàá, ïåðåéäåì ê àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè S áóäåò èìåòü âèä x2 + y 2 − z 2 = 1. Ïóñòü ïðÿìàÿ lîïèñûâàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìèx = x0 + p1 t,y = y0 + p2 t,z = z0 + p3 t,à íàïðàâëÿþùèé âåêòîð (p1 , p2 , p3 ) âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû âñå åå òî÷êè ïðèíàäëåæàëèïîâåðõíîñòè S : 2 p1 + p22 − p23 = 0,222p1 x0 + p2 y0 − p3 z0 = 0,(x0 +p1 t) +(y0 +p2 t) −(z0 +p3 t) = 1 ∀ t ∈ R ⇔ 2x0 + y02 − z02 = 1.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî p3 6= 0.
Ïîýòîìó íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ìîæíî íîðìèðîâàòü, âçÿâp3 = 1. Òîãäà p21 + p22 = 1, p1 x0 + p2 y0 = z0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî y0 6= 0 ⇒p2 = (z0 − p1 x0 )/y0 ⇒ p21 + (z0 − p1 x0 )2 /y02 = 1. Òàêèì îáðàçîì,(x20 + y02 )p21 − 2(x0 z0 )p1 + (z02 − y02 ) = 0.Âû÷èñëÿåì äèñêðèìèíàíò: D = x20 z02 −(x20 +y02 )(z02 −y02 ) = y02 (x20 +y02 −z02 ) = y02 . Ïîñêîëüêóy0 6= 0, äëÿ p1 ïîëó÷àåì â òî÷íîñòè äâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ. Ïîñêîëüêó p3 = 1, ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû, î÷åâèäíî, íåêîëëèíåàðíû.
Îíè äàþò äâå ðàçëè÷íûåïðÿìûå, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèå S è ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó (x0 , y0 , z0 ). Ñëó÷àé x0 6= 0ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî. 2Çàìå÷àíèå.Äëÿ ïîèñêà òåõ æå ñàìûõ ïðÿìûõ íà ïîâåðõíîñòèxa−z xca+zc= 1−ybS1+ìîæíî çàïèñàòü åå óðàâíåíèå â âèäåybè ðàññìîòðåòü äâà ñåìåéñòâà ïàð ïëîñêîñòåéxz=β 1−acx z γ−=δ 1+acα−y,by,bîïðåäåëÿåìûõ ïàðàìè íå ðàâíûõ îäíîâðåìåííîzy=α 1+,acbx z yδ+=γ 1−,acbíóëþ ïàðàìåòðîâ α, β è γ, δ .βx+Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òîäëÿ êàæäîé ïàðû ïëîñêîñòåé â ïåðåñå÷åíèè ïîëó÷àåòñÿ ïðÿìàÿ, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùàÿ21.5S.Äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèäÏóñòü â ïðèâåäåííîì óðàâíåíèè òèïà (1) çíàê îäíîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõïðîòèâîïîëîæåí çíàêó ñâîáîäíîãî ÷ëåíà è çíàêó äâóõ äðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ.
Òîãäàîíî ïðèâîäèòñÿ ê âèäóx2y2z2+−= −1,a2b2c2a, b, c > 0.140Ëåêöèÿ 21Ìíîæåñòâî òî÷åê (x, y, z), óäîâëåòâîðÿþùèõ äàííîìó óðàâíåíèþ, íàçûâàåòñÿ äâóïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì.Ëåãêî âèäåòü,÷òî äâóïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä íå èìååò òî÷åê â ïîëîñå |z| < c. Ìíî222æåñòâî åãî âíóòðåííèõ òî÷åê, îïðåäåëÿåìîå íåðàâåíñòâîì xa2 + yb2 − zc2 < −1, ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ñâÿçíûõ ìíîæåñòâà.
Îòñþäà è íàçâàíèå äâóïîëîñòíûé.21.6Ýëëèïòè÷åñêèé êîíóñÅñëè â ïðèâåäåííîì óðàâíåíèè òèïà (1) çíàê îäíîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõïðîòèâîïîëîæåí çíàêó äâóõ äðóãèõ êîýôôèöèåíòîâ, à ñâîáîäíûé ÷ëåí ðàâåí íóëþ, òîóðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäåx2y2z2+−= 0.a2b2c2Ìíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿþùèõ åìó òî÷åê (x, y, z) íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì êîíóñîì.Çàäà÷à.Äàíà ïëîñêîñòüAx+By +Cz +D = 0 ïðè óñëîâèè D 6= 0 è êðóãîâîé êîíóñ x2 +y 2 −z 2 = 0.Äîêàæèòå, ÷òî â ñå÷åíèè êîíóñà äàííîé ïëîñêîñòüþ ïîëó÷àåòñÿ ýëëèïñ, ãèïåðáîëà, ïàðàáîëà â òîì èòîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà, ñîîòâåòñòâåííî,21.7A2 + B 2 < C 2 , A2 + B 2 > C 2 , A2 + B 2 = C 2 .Ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèäÒåïåðü ðàññìîòðèì ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå òèïà (2).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ1 è λ2 èìåþòîäèíàêîâûå çíàêè. Òîãäà â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå äàííàÿ ïîâåðõíîñòü îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìx2 y 2+ 2 = z,a, b > 0.a2bÌíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿþùèõ åìó òî÷åê íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì ïàðàáîëîèäîì.Íàçâàíèå íàâåÿíî ðàññìîòðåíèåì ñå÷åíèé â ïëîñêîñòÿõ z + D = 0 (ýëëèïñû) è âïëîñêîñòÿõ x + D = 0 èëè y + D = 0 (ïàðàáîëû).21.8Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèäÅñëè â ïðèâåäåííîì óðàâíåíèè òèïà (2) êîýôôèöèåíòû ïðè êâàäðàòàõ èìåþò ðàçíûåçíàêè, òî ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèåx2 y 2− 2 = z,a2ba, b > 0,êîòîðîå îïðåäåëÿåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä.Íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ âèäîì êðèâûõ, ïîëó÷àåìûõ â ñå÷åíèÿõ ïëîñêîñòÿìè z +D = 0(ãèïåðáîëû) è ïëîñêîñòÿìè x + D = 0 èëè y + D = 0 (ïàðàáîëû).Ýòî åùå îäèí ïðèìåð ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè: êàæäàÿ òî÷êà ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà ïðèíàäëåæèò äâóì ðàçëè÷íûì ïðÿìûì, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèì äàííîéïîâåðõíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ21.9141Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòèÏðèâåäåííûå óðàâíåíèÿ òèïîâ (3)−(5) íå çàâèñÿò îò z . Ïîýòîìó êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêàâ ñå÷åíèÿõ ëþáîé ïëîñêîñòüþ âèäà z + D = 0 îäèíàêîâû Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîâåðõíîñòèíàçûâàþòñÿ öèëèíäðè÷åñêèìè.142Ëåêöèÿ 21Ëåêöèÿ 2222.1Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî äàëüíåéøåì ëþáûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ âåùåñòâåííûìèèëè êîìïëåêñíûìè. Íàøà áëèæàéøàÿ öåëü ââåñòè âàæíîå îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ äëèíûãåîìåòðè÷åñêîãî âåêòîðà è ìîäóëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.Ïóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì P , ãäå P = R èëè P = C. Êàæäîìóâåêòîðó x ∈ V ïðèïèøåì âåùåñòâåííîå ÷èñëî ||x|| òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñëåäóùèåñâîéñòâà:(1) ||x|| ≥ 0 ∀ x ∈ V,||x|| = 0 ⇔ x = 0;(2) ||αx|| = |α| ||x|| ∀ x ∈ V, ∀ α ∈ P(3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||∀ x, y ∈ V(ïîëîæèòåëüíàÿ îäíîðîäíîñòü);(íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).×èñëî ||x|| íàçûâàåòñÿ íîðìîé âåêòîðà x.
Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî V , ñíàáæåííîå íîðìîé, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì. îäíîì è òîì æå ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íîðìó ìîæíî ââåñòè î÷åíü ìíîãèìè ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð, ïóñòü V = Cn è λ1 , . . . , λn ïðîèçâîëüíûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà.Åñëè x = [x1 , . . . , xn ]> , òî ïóñòü||x|| ≡nXλi |xi |.i=1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñîîòâåòñòâèå x 7→ ||x|| îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (1), (2), (3).×òîáû ïîñòðîèòü äðóãèå, íàèáîëåå ïîïóëÿðíûå ïðèìåðû íîðì â Cn , íàì ïîíàäîáÿòñÿíåêîòîðûå íåðàâåíñòâà, îïèðàþùèåñÿ íà ñâîéñòâà âûïóêëûõ ôóíêöèé.Çàäà÷à.Ìîæíî ëè ââåñòè íîðìó íàR2òàê, ÷òîáû ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâxñ íîðìîé||x|| ≤ 1èìåëî áû ôîðìó òðåóãîëüíèêà?22.2Âûïóêëûå ôóíêöèè è íåðàâåíñòâàÂåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé íà èíòåðâàëå I = (a, b), åñëè äëÿëþáûõ x, y ∈ I è ëþáîãî ÷èñëà 0 ≤ t ≤ 1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîf (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).(∗)Ôóíêöèÿ g(x) íàçûâàåòñÿ âîãíóòîé íà I , åñëè f (x) ≡ −g(x) âûïóêëà íà I .Òåîðåìà.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà íà I è f 00 (x) åå âòîðàÿïðîèçâîäíàÿ. Åñëè f 00 (x) ≥ 0 ïðè âñåõ x ∈ I , òî f (x) âûïóêëà íà I .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè x = y íåðàâåíñòâî (∗) ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Ïðè t = 0 èëèt = 1 ðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ ïðè ëþáûõ x, y . Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òî a < x < y < b143144Ëåêöèÿ 22è 0 < t < 1. Òîãäà äëÿ z = tx + (1 − t)y èìååì x < z < y . Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà èçìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ñóùåñòâóþò òî÷êè ξ è η òàêèå, ÷òîf (z) − f (x)= f 0 (ξ),z−xf (y) − f (z)= f 0 (η),y−zx < ξ < z,z < η < y.Ïî òîé æå òåîðåìå, äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè ζ ïîëó÷àåìf (y) − f (z) f (z) − f (x)−= f 00 (ζ) (η − ξ) ≥ 0,y−zz−xξ < ζ < η.Îñòàåòñÿ ó÷åñòü, ÷òî t = (y − z)/(y − x) è çàìåòèòü, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü èìååò âèäf (x)(y − z) + f (y)(z − x) − f (z)(y − x)tf (x) + (1 − t)f (y) − f (z)=(y − x).(y − z)(z − x)(y − z)(z − x)2Ñëåäñòâèå.
Ôóíêöèÿ ln x ÿâëÿåòñÿ âîãíóòîé.Äîêàçàòåëüñòâî. (ln x)00 = −1/x2 < 0. 2Îòñþäà, íàïðèìåð, ìîæíî ñðàçó æå âûâåñòèíèì ãåîìåòðè÷åñêèì ÷èñåë x1 , . . . , xn > 0:√níåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåä-x1 . . . xn ≤x1 + . . . + xn.n ñàìîì äåëå, èñïîëüçóÿ âîãíóòîñòü ëîãàðèôìà, íàõîäèìln22.3x1 + . . . + xnn≥√ln x1 + . . .
+ ln xn≥ ln n x1 . . . xn .n2Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è ÌèíêîâñêîãîËåììà. Ïóñòü ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà p, q òàêîâû, ÷òîab ≤ap b q+pq1 1+ = 1. Òîãäàp q∀ a, b ≥ 0.Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó âîãíóòîñòè ëîãàðèôìà,ln apln bqln (ab) =+≤ lnpqapbq+pq. 2Íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà.  óñëîâèÿõ ëåììû äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë x1 , .
. . , xnè y1 , . . . , yn ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî!1/pnnXXxi yi ≤|xi |pi=1nX!1/q|yi |qi=1i=1!1/pnX.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüa =nXi=1|xi |p,b =i=1!1/q|yi |q.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ145 ñëó÷àå a = 0 èëè b = 0 íåðàâåíñòâî (∗) î÷åâèäíî. Åñëè a 6= 0 è b 6= 0, òî, èñïîëüçóÿëåììó äëÿ ÷èñåë |xi |/a è |yi |/b, íàõîäèì(|xi |/a) (|yi |/b) ≤|xi |p /ap |yi |q /bq+,pqi = 1, . . . , n.Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåìnX!11+= 1.pq|xi yi | /(ab) ≤i=12Íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
