Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ïðîòèâîðå÷èå îçíà÷àåò, ÷òî l ≤ k . Ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî òîæåâåðíî äîñòàòî÷íî ïîìåíÿòü ðîëÿìè x è y . 236.5Ýðìèòîâà êîíãðóýíòíîñòüÊîìïëåêñíûå ìàòðèöû A è B íàçûâàþòñÿ ýðìèòîâî êîíãðóýíòíûìè, åñëè B = P ∗ APäëÿ íåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû P . Ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå n × n-ìàòðèö (äîêàæèòå!). Åñëè ìàòðèöà A ýðìèòîâà, òî è B ýðìèòîâà.Òåîðåìà. Ýðìèòîâû ìàòðèöû ýðìèòîâî êîíãðóýíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàîíè èìåþò îäèíàêîâóþ èíåðöèþ.Äîêàçàòåëüñòâî ïðàêòè÷åñêè äîñëîâíî ïîâòîðÿåò ïðåäûäóùåå äîêàçàòåëüñòâî (íàäîëèøü âìåñòî x2i è yi2 ïèñàòü |xi |2 è |yi |2 ).36.6Êàíîíè÷åñêèé âèä ïàðû êâàäðàòè÷íûõ ôîðìÅñëè ïðèõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî èìåòü äåëî ñ ïàðîé ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà âïðîñòðàíñòâå èëè ñ ïàðîé êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè, òî ðàçóìíî ïûòàòüñÿ óïðîñòèòü èõ óðàâíåíèÿ â îäíîé è òîé æå ñèñòåìå êîîðäèíàò.  îáùåì ñëó÷àå ýòàñèñòåìà êîîðäèíàò áóäåò àôôèííîé.Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ñëó÷àé êðèâûõ íà ïëîñêîñòè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäíà èçêðèâûõ ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì. Òîãäà ïåðåéäåì ê òàêîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå, â êîòîðûé äëÿíåå ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. Óðàâíåíèå âòîðîé êðèâîé â ýòîé ñèñòåìåìîæåò èìåòü ñàìûé îáùèé âèä. Èçìåíèâ ìàñøòàáû ïî îñÿì, ïåðåéäåì ê àôôèííîéñèñòåìå, â êîòîðîé óðàâíåíèåì ýëëèïñà áóäåò óðàâíåíèå îêðóæíîñòè (x0 )2 + (y 0 )2 = 1.Óðàâíåíèå âòîðîé êðèâîé â íîâîé (àôôèííîé) ñèñòåìå èìååò âñå åùå îáùèé âèä. Íî ñïîìîùüþ ïîâîðîòà, êàê ìû çíàåì, äëÿ åãî êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóλ1 (x00 )2 + λ2 (y 00 )2 .
Ïðè ýòîì ïîâîðîò ñèñòåìû êîîðäèíàò íå ìîæåò èçìåíèòü ôîðìûïåðâîãî óðàâíåíèÿ!  ñóùíîñòè ýòî æå ðàññóæäåíèå ïåðåíîñèòñÿ íà áîëåå îáùèé ñëó÷àé.Òåîðåìà 1. Ïóñòü A è B âåùåñòâåííûå ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû è ïðè ýòîì Aïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà P òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöû P > AP è P > BP îáå äèàãîíàëüíûå.Äîêàçàòåëüñòâî. Âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíî ïîäîáíà (ïîýòîìó è êîíãðóýíòíà) äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåλ1..Λ=.> = Q AQ,λnQ> = Q−1 .238Ëåêöèÿ 36 ñèëó ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè, λi > 0 äëÿ âñåõ i. Äàëåå çàìåòèì, ÷òî A êîíãðóýíòíà åäèíè÷íîé ìàòðèöå (ïî îïðåäåëåíèþ, Λ−1/2 ≡ (Λ1/2 )−1 ):I = Λ−1/2 Q> AQΛ−1/2 = (QΛ−1/2 )> A(QΛ−1/2 ).Ïóñòü òî æå ïðåîáðàçîâàíèå êîíãðóýíòíîñòè â ïðèìåíåíèè ê B äàåò ìàòðèöóC = (QΛ−1/2 )> B(QΛ−1/2 ).Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî C îñòàåòñÿ âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû Z ïîëó÷àåì äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó D = Z > CZ . òî æå âðåìÿ, Z > IZ = I . Îêîí÷àòåëüíî,I = P > AP,D = P > BP,ãäå P = QΛ−1/2 Z.2Ñëåäñòâèå. Ïóñòü f (x) è g(x) âåùåñòâåííûå êâàäðàòè÷íûå ôîðìû è f (x) > 0 äëÿâñåõ âåùåñòâåííûõ âåêòîðîâ x 6= 0. Òîãäà f è g ìîæíî ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìóâèäó ñ ïîìîùüþ îáùåé çàìåíû ïåðåìåííûõ.Âîò âàðèàíò ýòîé æå òåîðåìû â ñëó÷àå ýðìèòîâûõ ìàòðèö è ïðåîáðàçîâàíèÿ ýðìèòîâîé êîíãðóýíòíîñòè ïðåäûäóùåå äîêàçàòåëüñòâî ìîäèôèöèðóåòñÿ î÷åâèäíûìîáðàçîì.Òåîðåìà 2.
Ïóñòü A è B ýðìèòîâû ìàòðèöû è A ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ.Òîãäà ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà P òàêàÿ, ÷òî ìàòðèöû P ∗ AP è P ∗ BPîáå äèàãîíàëüíûå.36.7Ìåòîä ËàãðàíæàÏðîñòàÿ èäåÿ, ïîçâîëÿþùàÿ ïîëó÷èòü êàíîíè÷åñêèé âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, ñâÿçàíàñ âûäåëåíèåì ïîëíûõ êâàäðàòîâ.  èòîãå âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà A ïðèâîäèòñÿ ê êîíãðóýíòíîé äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå Λ = P > AP ñ ïîìîùüþ âåùåñòâåííîéíåâûðîæäåííîé ìàòðèöû P .Ýòà èäåÿ âåäåò ê òàê íàçûâàåìîìó ìåòîäó Ëàãðàíæà. ×òîáû ïîíÿòü åãî ñóòü, ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìóf = a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + 2a23 x2 x3 .Åñëè a11 6= 0, òî ïîëíûé êâàäðàò âûäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:2 a13a212a213a12 a13a1222x2 +x3 + a22 −x2 + a33 −x3 + 2 a23 −x2 x3f = a11 x1 +a11a11a11a11a11= b11 y12 + b22 y22 + b33 y32 + 2b23 y2 y3 ,b11 = a11 ,b22 = a22 −a212,a11b33 = a33 −a12a13x2 +,a11a11Òàêèì îáðàçîì, A êîíãðóýíòíà ìàòðèöåb11 00B = 0 b22 b23 = P1> AP1 ,0 b23 b33y1 = x1 +a213,a11y2 = x 2 ,b23 = a23 −a12 a13,a11y3 = x 3 .1 a12 /a11 a13 /a1110 .P1 = 0001Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ239Ñëåäóþùèé øàã î÷åâèäåí ñ ïîìîùüþ âûäåëåíèÿ ïîëíîãî êâàäðàòà èñêëþ÷èòü ïðîèçâåäåíèå y2 y3 .Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ëàãðàíæà ìîæíî íàéòè èíåðöèþ ìàòðèöû A. Åñëè æå íóæíîïîëó÷èòü îðòîãîíàëüíóþ ìàòðèöó P , òî ñëåäóåò îáðàòèòüñÿ ê äðóãèì ìåòîäàì íàïðèìåð, ê ìåòîäó âðàùåíèé.Ìû íå áóäåì çäåñü çàíèìàòüñÿ ôîðìàëèçàöèåé ìåòîäà Ëàãðàíæà äëÿ ñèììåòðè÷íûõìàòðèö îáùåãî âèäà.
Âìåñòî ýòîãî ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé âåùåñòâåííûõ ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííûõ ìàòðèö è ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé òîãîæå òèïà îí ðåøàåò òó æå çàäà÷ó, ÷òî è ìåòîä Ëàãðàíæà.36.8Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿÏóñòü äàíà ìàòðèöà A ïîðÿäêà n è Ak åå k ×k -ïîäìàòðèöà, ðàñïîëîæåííàÿ íà ïåðåñå÷åíèè ïåðâûõ k ñòðîê è ñòîëáöîâ. Ïîäìàòðèöû A1 , . .
. , An = A íàçûâàþòñÿ âåäóùèìèïîäìàòðèöàìè, à èõ îïðåäåëèòåëè âåäóùèìè ìèíîðàìè ìàòðèöû A.Äëÿ âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A, â êîòîðîé âñå âåäóùèå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû, èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå A = R> R, ãäå R âåùåñòâåííàÿ âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ïîëîæèòåëüíûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè. 2Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ ðàçëîæåíèÿ óæå äîêàçàí. Òîãäà íåòðóäíîïîíÿòü, êàê åãî ìîæíî âû÷èñëèòü. Äëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n = 3 èìååìa11 a12 a13r11r11 r12 r13a12 a22 a23 = r12 r22r22 r23 ⇒a13 a23 a33r13 r23 r33r33r11 =r22q2= a22 − r12,√a11 ,r23r12 = a12 /r11 ,r13 = a13 /r11 ,q22= (a23 − r13 r12 )/r22 , r33 = a33 − r13− r23.Âû÷èñëåíèÿ àíàëîãè÷íû è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî n.
Ìåòîä íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì êâàäðàòíîãî êîðíÿ.Èíòåðåñíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå êàê áû íå èñïîëüçóåòñÿ èäåÿ èñêëþ÷åíèÿ ýëåìåíòîâ, íî èìåííî êàê áû: ÷òîáû îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ìîæíî èçâëåêàòü êîðíè, ïðîùå âñåãîâåðíóòüñÿ ê èäåå ìåòîäà Ãàóññà.Òåîðåìà. Ïóñòü A ìàòðèöà ïîðÿäêà n, â êîòîðîé âñå âåäóùèå ìèíîðû îòëè÷íû îòíóëÿ. Òîãäà ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà L ñ åäèíèöàìèíà äèàãîíàëè è âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà U òàêèå, ÷òî A = LU .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü n = 3. Ïåðâûé øàã ìåòîäà Ãàóññà äàåò1 0 0 a11 a12 a13a11 a12 a13−l21 1 0 a21 a22 a23 = 0 b22 b23 ,−l31 0 1 a31 a32 a330 b32 b33l21 = a21 /a11 ,l31 = a31 /a11 .1 0 0a11 a12 a13a11 a12 a13⇒ a21 a22 a23 = l21 1 0 0 b22 b23 ⇒ det A2 = a11 b22 ⇒ b22 6= 0.a31 a32 a33l31 0 10 b32 b332  âû÷èñëèòåëüíîé àëãåáðå ðàçëîæåíèå òàêîãî âèäà íàçûâàþòðàçëîæåíèåì Õîëåöêîãî.240Ëåêöèÿ 36Ïîñêîëüêó b22 6= 0, ìîæíî îáîéòèñü áåç ïåðåñòàíîâîê ñòðîê è ïåðåéòè êî âòîðîìó øàãóìåòîäà Ãàóññà:1 0 0a11 a12 a13a11 a12 a130 1 0 0 b22 b23 = 0 b22 b23 ,0 −l31 10 b32 b3300 c33l31 = b32 /b22 . èòîãå ïîëó÷àåìa11 a12 a131 0 0a11 a12 a13a21 a22 a23 = l21 1 0 0 b22 b23 .a31 a32 a33l31 l32 100 c33Çàìåòèì, ÷òî det A3 = a11 b22 c33 ⇒ c33 6= 0 (ýòî ãàðàíòèðóåò âîçìîæíîñòü ïðîâåäåíèÿòðåòüåãî øàãà ìåòîäà Ãàóññà áåç ïåðåñòàíîâîê ñòðîê â ñëó÷àå n > 3).
Åäèíñòâåííîñòüïîñòðîåííîãî LU -ðàçëîæåíèÿ ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî: ïåðâàÿ ñòðîêà â U è ïåðâûé ñòîëáåö â L îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî, îòñþäà òî æå ñàìîå ïîëó÷àåì äëÿ âòîðîéñòðîêè â U è âòîðîãî ñòîëáöà â L, è òàê äàëåå. Îáîáùåíèå äîêàçàòåëüñòâà íà ñëó÷àéïðîèçâîëüíîãî n íå ïðåäñòàâëÿåò íèêàêîé òðóäíîñòè. 2Ñëåäñòâèå. Äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû, â êîòîðîé âñå âåäó-ùèå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû, ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííàÿ âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà R òàêàÿ, ÷òî A = R> R. Ýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëè R ìîãóò áûòü âûáðàíûïîëîæèòåëüíûìè, ïðè ýòîì îãðàíè÷åíèè R åäèíñòâåííà.Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ñóùåñòâîâàíèåì è åäèíñòâåííîñòüþ LU -ðàçëîæåíèÿA = LU , â êîòîðîì L èìååò åäèíèöû íà ãëàâíîé äèàãîíàëè.
Ïóñòü D äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ãëàâíîé äèàãîíàëüþ, âçÿòîé èç ìàòðèöû U = [uij ]. Ïîñêîëüêó det Ak =u11 . . . ukk äëÿ âñåõ k , íàõîäèì, ÷òî ukk > 0 äëÿ âñåõ k . ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ìàòðèöû A,A = A> = LU = (U > D−1 )(DL) ⇒ L = U > D−1 .Îòñþäà A = (D−1/2 U )> (D−1/2 U ). Òàêèì îáðàçîì, R = D−1/2 U . Åäèíñòâåííîñòü ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî òàê æå, êàê â ñëó÷àå LU -ðàçëîæåíèÿ.
2Çàìå÷àíèå. Îïðåäåëèòåëü âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîéìàòðèöû ïîëîæèòåëåí (êàê ïðîèçâåäåíèå ïîëîæèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé). Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ñâîéñòâî ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè íàñëåäóåòñÿ âñåìè âåäóùèìèïîäìàòðèöàìè ⇒ âñå åå âåäóùèå ìèíîðû ïîëîæèòåëüíû. Ïîýòîìó ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ëþáîé âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé ìàòðèöû. Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ ëåãêî ïåðåíîñèòñÿ òàêæå íà ñëó÷àéêîìïëåêñíûõ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ìàòðèö (îíè îáÿçàòåëüíî ýðìèòîâû). Äëÿòàêèõ ìàòðèö âñåãäà èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå A = R∗ R, ãäå R êîìïëåêñíàÿ âåðõíÿÿòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ïîëîæèòåëüíûìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè.Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöûìåñòî íåðàâåíñòâîdet A ≤ a11 a22 .
. . ann .A = [aij ] ∈ Cn×nèìååòÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ36.9241Êðèòåðèé ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòèÄîêàæåì âàæíûé ðåçóëüòàò, èçâåñòíûé êàê êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà.Òåîðåìà. Ïóñòü äàíà ýðìèòîâà ìàòðèöà. Äëÿ åå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòèíåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå åå âåäóùèå ìèíîðû áûëè ïîëîæèòåëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
