Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Ïðè ýòîì îäíà ìàòðèöàâðàùåíèÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü îäèí íóëü, à îäíà ìàòðèöà îòðàæåíèÿ íóëè ñðàçó âîâñåõ, êðîìå îäíîé, ïîçèöèÿõ ñòîëáöà èëè ñòðîêè.Èñêëþ÷åíèå ñ ïîìîùüþ âðàùåíèé. Âñåãäà ñóùåñòâóþò êîìïëåêñíûå ÷èñëàξ, η , |ξ| = |η| = 1, è âåùåñòâåííîå ÷èñëî φ òàêèå, ÷òî äëÿ çàäàííûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåëx1 , x2 ïîëó÷àåìhihih ih icos φ − sin φξ 0x1y1=sin φcos φ0 ηx20 .Åñëè x1 = 0, ïîëîæèì ξ = 1, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïóñòü ξ = |x1 |/x1 .
Àíàëîãè÷íî, åñëèx2 = 0, òî ζ = 1, èíà÷å ïóñòü η = |x2 |/x2 . Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà ξx1 è ηx2 âåùåñòâåííûåè äàæå íåîòðèöàòåëüíûå. Óãîë φ âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ (ξx1 ) cos φ + (ηx2 ) sin φ = 0.Èñêëþ÷åíèå ñ ïîìîùüþ îòðàæåíèé.Âñåãäà ñóùåñòâóåò âåêòîð v =[v1 , . . . , vn ]> ∈ Cn , ||v||2 = 1, òàêîé, ÷òî äëÿ çàäàííûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë x1 , . . . , xnïîëó÷àåì" #" #(I − 2vv ∗ )x1x2...xn=y10...0.Äîêàæåì áîëåå îáùåå ïðåäëîæåíèå: åñëè x = [x1 , . . . , xn ]> , y = [y1 , .
. . , yn ]> è||x||2 = ||y||2 , òî íàéäåòñÿ âåêòîð v , ||v||2 = 1, òàêîé, ÷òî (I − 2vv ∗ )x = γy äëÿíåêîòîðîãî γ , |γ| = 1.Åñëè x 6= γy , ïîëîæèì u = x − γy, v = u/||u||2 . Òîãäàx − 2v(v ∗ x) = γy ⇒ 2v(v ∗ x) = u ⇒ 2(u∗ x) = ||u||22 .Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò íàéòè γ :2(x∗ x − γ̄y ∗ x) = ||x||22 + ||y||22 − 2Re (γ̄y ∗ x).Å. Å.
Òûðòûøíèêîâ259Ïîñêîëüêó ||x||2 = ||y||2 , îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ÷èñëî γ̄y ∗ x âåùåñòâåííîå. Åñëè y ∗ x = 0,òî ìîæíî âçÿòü ëþáîå γ ñ ìîäóëåì 1.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ó íàñ ðîâíî äâå âîçìîæíîñòè:γ = y ∗ x/|y ∗ x| èëè γ = −y ∗ x/|y ∗ x|.239.5Ïðèâåäåíèå ê òðåóãîëüíîìó âèäóÌàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê òðåóãîëüíîìó âèäó ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿýëåìåíòîâ ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ åå ñëåâà íà ìàòðèöû îòðàæåíèÿ èëè âðàùåíèÿ. Ïðèèñïîëüçîâàíèè îòðàæåíèé óìíîæåíèé áóäåò ìàêñèìóì n − 1, â ñëó÷àå âðàùåíèé èõ íåáîëåå (n2 − n)/2.Âîò òðè øàãà èñêëþ÷åíèÿ ïðè n = 4 â ñëó÷àå îòðàæåíèé:"a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44#"b117→000b12b22b32b42b13b23b33b43b14b24b34b44#"bb12c2200110007→b13c23c33c43b14c24c34c44#"b117→000b12c2200b13c23d330b14c24d34d44#.Äàííîå ïîñòðîåíèå ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì äîêàçàòåëüñòâîì ñóùåñòâîâàíèÿ QRðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû.
Îíî ïîëåçíî ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ ñèñòåì, îñîáåííî â çàäà÷àõ,ñâÿçàííûõ ñ ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.39.6Ïðèâåäåíèå ê ïî÷òè òðåóãîëüíîìó âèäóÓíèòàðíî ïîäîáíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìàòðèöû ê òðåóãîëüíîìó âèäó çà êîíå÷íîå ÷èñëîøàãîâ íåâîçìîæíî èíà÷å ñóùåñòâîâàë áû êîíå÷íûé àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé ìàòðèöû è êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ.
Îäíàêî, çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ èñêëþ÷åíèÿýëåìåíòîâ ìîæíî ïîëó÷èòü óíèòàðíî ïîäîáíóþ ïî÷òè òðåóãîëüíóþ ìàòðèöó.Íàïðèìåð, ïðè n = 4 ïðåîáðàçîâàíèÿ âûãëÿäÿò òàê:"aQ111a21a31a41"b11Q2b2100a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44b12b22b32b42b13b23b33b43b14b24b34b44#"aQ∗1 =#11b2100"b11Q∗2=b2100b12b22b32b42b13b23b33b43b14b24b34b44b12b22c320c13c23c33c43c14c24c34c44#,#.Ïðè óìíîæåíèè ñëåâà íà ìàòðèöó îòðàæåíèÿ Q1 ïåðâàÿ ñòðîêà íå èçìåíÿåòñÿ, à âïåðâîì ñòîëáöå ïîÿâëÿþòñÿ äâà íóëÿ. Ïðè óìíîæåíèè íà Q∗1 ñïðàâà ñîõðàíÿåòñÿ ïåðâûéñòîëáåö, à çíà÷èò, è äâà ïîëó÷åííûõ â íåì íóëÿ.
Äàëåå, óìíîæåíèå ñëåâà íà Q2 äàåò åùåîäèí íóëü è íå ìåíÿåò ïåðâûå äâå ñòðîêè. Óìíîæåíèå ñïðàâà íà Q∗2 ñîõðàíÿåò ïåðâûåäâà ñòîëáöà, è ñëåäîâàòåëüíî, âñå ðàíåå ïîëó÷åííûå â íèõ íóëè.Çàìåòèì, ÷òî åñëè èñõîäíàÿ ìàòðèöà A ýðìèòîâà, òî òàêîé æå áóäåò è ïîëó÷åííàÿ âèòîãå âåðõíÿÿ ïî÷òè òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Åå ýðìèòîâîñòü îçíà÷àåò, î÷åâèäíî, ÷òî îíàâ äàííîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé.39.7Ïðèâåäåíèå ê äâóõäèàãîíàëüíîìó âèäóÈñïîëüçóÿ äëÿ óìíîæåíèé ñëåâà è ñïðàâà ðàçíûå ìàòðèöû îòðàæåíèÿ èëè âðàùåíèÿ,ëþáóþ çàäàííóþ ìàòðèöó ìîæíî ïðèâåñòè ê âåðõíåìó äâóõäèàãîíàëüíîìó âèäó.260Ëåêöèÿ 39Ïðè n = 4 ýòî äåëàåòñÿ òàêèì îáðàçîì:"a11a21a31a41U1"b11U2000a12a22a32a42c12c22c32c42a13a23a33a430c23c33c43a14a24a34a440c24c34c44#"b11000=#"b11000=b12b22b32b42c12d2200b13b23b33b43b14b24b34b440d23d33d430d24d34d44#"b11000,#"b11000,b12b22b32b42b13b23b33b43b14b24b34b44#c12d22000d23d33d430c24d34d44#"b11000V1∗ ="b11V2∗ =000#c12c22c32c420c23c33c430c24c34c44c12d22000e23e33e4300e34e44,#.Óìíîæåíèå ñëåâà íà U1 äàåò òðè íóëÿ â ïåðâîì ñòîëáöå.
Ïîñëå ýòîãî óìíîæåíèå ñïðàâàíà V1∗ äîáàâëÿåò äâà íóëÿ â ïåðâîé ñòðîêå è íå èçìåíÿåò ïåðâûé ñòîëáåö. Âàæíî, ÷òîïðè êàæäîì ïðåîáðàçîâàíèè ñîõðàíÿþòñÿ âñå íóëè, ïîëó÷åííûå ðàíåå.39.8Âû÷èñëåíèå ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåëÓíèòàðíîå ïðèâåäåíèå ê äâóõäèàãîíàëüíîìó âèäó äàåò âîçìîæíîñòü ñâåñòè çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ê àíàëîãè÷íîé çàäà÷å äëÿ äâóõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöû. Áîëåå òîãî,ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå åå ýëåìåíòû íåîòðèöàòåëüíû (ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ óìíîæåíèåì ñëåâà è ñïðàâà íà äèàãîíàëüíûå óíèòàðíûå ìàòðèöû).
Èòàê, ïóñòüa01b01a02A0 = b02......a0n−1b0n−1a0n.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé áåñêîíå÷íûé ïðîöåññ èñêëþ÷åíèÿ ýëåìåíòîâ, íà÷èíàþùèéñÿ ñ âåùåñòâåííîé äâóõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöûA0 è èñïîëüçóþùèé âåùåñòâåííûå ìàòðèöû âðàùåíèÿ. Ïîñëåäîâàòåëüb01 , . . . , b0n−1 ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ íà ìàòðèöû âðàùåíèÿíî èñêëþ÷àÿ íàääèàãîíàëüíûå ýëåìåíòûñïðàâà, ïðåîáðàçóåìA0â íèæíþþ äâóõäèàãîíàëüíóþ ìàòðèöóa11 b11a12b12A1 = ......a1n−1b1n−1.a1nÄàëåå áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî èñêëþ÷àòü ïîääèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû è âíîâü áóäåì èìåòü âåðõíþþäâóõäèàãîíàëüíóþ ìàòðèöóíóþ ìàòðèöóA3 ,A2 .Çàòåì èçA2óìíîæåíèÿìè ñïðàâà ïîëó÷èì íèæíþþ äâóõäèàãîíàëü-è òàê äàëåå.Äàííûé ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ðàâåíñòâàìèAk Qk = Ak+1 ,k = 0, 2, . . .
,k ìàòðèöà Ak óíèòàðíî ïîäîáíà A0 .Ak , à ÷åðåç bk1 , . . . , bkn−1 ýëåìåíòû âòîðîéäèàãîíàëè (âåðõíåé èëè íèæíåé â çàâèñèìîñòè îò ÷åòíîñòè k ). Âñå ÷èñëà âåùåñòâåííûå. Ñîõðàíåíèåäëèí ñòîëáöîâ ïðè óìíîæåíèè íà Qk ñëåâà è ñîõðàíåíèå äëèí ñòðîê ïðè óìíîæåíèè íà Qk ñïðàâà äàåòãäå ìàòðèöûQkQk+1 Ak+1 = Ak+2 ,ÿâëÿþòñÿ óíèòàðíûìè. ßñíî, ÷òî äëÿ ëþáîãîÎáîçíà÷èì ÷åðåçak1 , . . . , aknýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëèñëåäóþùóþ ñèñòåìó ðàâåíñòâ:(bk1 )2 +(bk2 )2 +(ak1 )2(ak2 )2...(akn )2= (a1k+1 )2 ,= (ak+1)2 +(bk+1)2 ,21......22= (ak+1+(bk+1n )n−1 ) .Ïîñêîëüêó ýòè ðàâåíñòâà èìåþò ìåñòî äëÿ âñåõ(a0n )2 ≥kXi=2(bin−1 )2k,∀ kíàõîäèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî⇒bkn−1 → 0ïðèk → ∞.Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ261Îòñþäà âûòåêàåò òàêæå ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ïðèòåëüíîñòèakn .k→∞äëÿ (ìîíîòîííî óáûâàþùåé) ïîñëåäîâà-Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî äîêàçàòü, ÷òîbkj → 0à òàêæå è ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëîâ ïðèïðèk → ∞,k→∞1 ≤ j ≤ n − 1,äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâÝòè ïðåäåëû, êîíå÷íî æå, áóäóò ðàâíû ñèíãóëÿðíûì ÷èñëàì èñõîäíîé ìàòðèöûakj .A0 .Äàííûé ïðîöåññ äàåò íåêîòîðîå îáùåå ïðåäñòàâëåíèå î òîì, êàê ìîãóò ñòðîèòüñÿ àëãîðèòìû äëÿâû÷èñëåíèÿ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë.
Íåêîòîðûå ÷åðòû òîãî æå ïðîöåññà ìîæíî îáíàðóæèòü è â àëãîðèòìàõ âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, îäíàêî, ÷òî ýôôåêòèâíîñòü àëãîðèòìîâ,èñïîëüçóåìûõ â ñîâðåìåííûõ ïàêåòàõ è áèáëèîòåêàõ ïðîãðàìì, ñâÿçàíà ñ îïðåäåëåííûì ÷èñëîì î÷åíüâàæíûõ äåòàëåé è èäåé, êîòîðûå ìû îáñóäèòü çäåñü íå èìåëè âîçìîæíîñòè.262Ëåêöèÿ 39Ëåêöèÿ 4040.1Ìíîãîìåðíûå ìàññèâû è ìàòðèöûÌàòðèöó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïîñîá çàäàíèÿ ÷èñëîâîé ôóíêöèè îò äèñêðåòíûõïåðåìåííûõ i, j èëè, â òåðìèíîëîãèè íåêîòîðûõ ÿçûêîâ ïðîãðàììèðîâàíèÿ, êàê äâóìåðíûé ìàññèâ.
Äàííàÿ òî÷êà çðåíèÿ ïðèâîäèò ê òàêîìó åñòåñòâåííîìó îáîáùåíèþ êàêm-ìåðíûé ìàññèâ (m-ìåðíàÿ ìàòðèöà) ñ ýëåìåíòàìè xi1 ... im èëè ôóíêöèÿ îò m èíäåêñîâi1 , . . . , im , ÷àñòî íàçûâàåìàÿ òàêæå òåíçîðîì.Ñóùåñòâåííàÿ ÷àñòü ïîíÿòèé è ôàêòîâ òåîðèè ìàòðèö â ñëó÷àå m-ìåðíûõ ìàññèâîâ ïðè m ≥ 3 óæå óòðà÷èâàåòñÿ. À äëÿ ïîíÿòèé, âîçíèêàþùèõ ïî ïðÿìîé àíàëîãèè,îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îòëè÷èé áîëüøå, ÷åì ñõîäñòâà.Òàê îáñòîèò äåëî ñ èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûì îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ ðàíãà. Êàê è âñëó÷àå ìàòðèö, îíî ñâÿçàíî c ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ i1 , .
. . , im , ïðèâîäÿùèì ê mëèíåéíîìó ðàçëîæåíèþxi1 ... im =rXui1 s . . . uim s ,1 ≤ i1 ≤ n 1 , . . . , 1 ≤ im ≤ n m .s=1Íàèìåíüøåå ÷èñëî ñëàãàåìûõ r â ðàçëîæåíèÿõ òàêîãî âèäà íàçûâàåòñÿ òåíçîðíûì ðàíãîì m-ìåðíîãî ìàññèâà X = [xi1 ... im ].Êàê îáû÷íî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû ìàññèâîâ xi1 , ..., im è ðàçëîæåíèéui1 s , . .
. , uim s ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó îáùåìó ÷èñëîâîìó ïîëþ.  îòëè÷èå îò ðàíãàìàòðèö, òåíçîðíûå ðàíãè ìîãóò çàâèñåòü îò ýòîãî ïîëÿ. Ïîýòîìó ñêàæåì ñðàçó, ÷òî âäàëüíåéøåì òàêèì ïîëåì ÿâëÿåòñÿ ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.Ìàòðè÷íûå ìåòîäû ìîãóò áûòü ïîëåçíû è äëÿ ìíîãîìåðíûõ ìàññèâîâ ïðîñòîéïðèåì ïîçâîëÿåò àññîöèèðîâàòü èõ ñ íåêîòîðûìè ïðÿìîóãîëüíûìè ìàòðèöàìè. Ðàçîáüåì ñèñòåìó èíäåêñîâ i1 , . . .
, im íà äâå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäñèñòåìûi01 , . . . , i0pèj10 , . . . , jq0 ,p + q = m,0 ) = xi ... i . Òîãäà Yè ïóñòü y(i01 ,...,i0m ),(j10 ,...,jm= [y(i01 ,...,i0p ),(j10 ,...,jq0 ) ] åñòü ìàòðèöà, â êîòîðîém1ðîëü ñòðî÷íîãî è ñòîëáöîâîãî èíäåêñîâ èãðàþò (i01 , . . . , i0p ) è (j10 , . . . , jq0 ).40.2Òðåõìåðíûå ìàññèâû è òðèëèíåéíûå ðàçëîæåíèÿÎñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà ñëó÷àå òðåõìåðíûõ ìàññèâîâ. Ïîä òðèëèíåéíûì ðàçëîæåíèåì òðåõìåðíîãî ìàññèâà X = [xijk ] ïîíèìàåòñÿ ðàçëîæåíèå âèäàxijk =rXais bjs cks .s=1263264Ëåêöèÿ 40Îáîçíà÷åíèå: X = (A, B, C), ãäå A, B, C ìàòðèöû âèäàA = [ais ] = [a1 , .
. . , ar ],B = [bjs ] = [b1 , . . . , br ],C = [cks ] = [c1 , . . . , cr ].×èñëî ñòîëáöîâ äëÿ ìàòðèö A, B , C îäíî è òî æå è ðàâíî r, ÷èñëî ñòðîê äëÿ íèõîïðåäåëÿåòñÿ ãðàíèöàìè äëÿ èíäåêñîâ i, j è k ïóñòü ýòî áóäóò n1 , n2 è n3 .Òàêèì îáðàçîì, ëþáûå òðè ìàòðèöû ñ îäíèì è òåì æå ÷èñëîì ñòîëáöîâ r ïîðîæäàþò òðèëèíåéíîå ðàçëîæåíèå (A, B, C) íåêîòîðîãî òðåõìåðíîãî ìàññèâà.
Îáùåå ÷èñëîñòîëáöîâ íàçûâàåòñÿ ðàíãîì äàííîãî òðèëèíåéíîãî ðàçëîæåíèÿ. Ñðåäè âñåõ òðèëèíåéíûõ ðàçëîæåíèé òðåõìåðíîãî ìàññèâà X èìååòñÿ, êîíå÷íî, ðàçëîæåíèå ñ ìèíèìàëüíûì÷èñëîì ñòîëáöîâ. Åãî ðàíã (÷èñëî ñòîëáöîâ) è íàçûâàåòñÿ òåíçîðíûì ðàíãîì òðåõìåðíîãî ìàññèâà X . Îáîçíà÷åíèå: Rank X .40.3Ñå÷åíèÿ òðåõìåðíîãî ìàññèâàÑ òðåõìåðíûì ìàññèâîì X = [xijk ] àññîöèèðóåì òðè ìàòðèöû ñå÷åíèéY = [y(i),(jk) ],Z = [z(j),(ik) ],W = [w(k),(ij) ],y(i),(jk) = z(j),(ik) = w(k),(ij) = xijk ,è ïîëîæèìdim1 X ≡ rankY,dim2 X ≡ rankZ,dim3 X ≡ rankW.Ñòðîêè ìàòðèö Y, Z, W ñîîòâåòñòâóþò âåêòîðèçîâàííûì ñå÷åíèÿì òðåõìåðíîãî ìàññèâà X ïî îñÿì i, j, k , ñîîòâåòñòâåííî.Êàæäîå ñå÷åíèå ïî îñè i ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó [xijk ]i=i0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
