Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 57
Текст из файла (страница 57)
, bam }òàêæå ñîäåðæèò m ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ è ïðè ýòîìH ∩ aH = ∅,H ∩ bH = ∅,aH ∩ bH = ∅.Åñëè H ∪aH ∪bH = G, òî âñå äîêàçàíî. Åñëè íåò, äåéñòâóåì êàê è ðàíüøå. Ïîñêîëüêó÷èñëî ýëåìåíòîâ â G êîíå÷íî, íà êàêîì-òî øàãå ìû ïîëó÷èì ðàçëîæåíèåH ∪ aH ∪ bH ∪ . . . ∪ cH = Gñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ H, aH, bH, .
. . , cH .Çàäà÷à.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé áåñêîíå÷íîé ãðóïïå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïîäãðóïï áåñêîíå÷íî.42.2ãäådH1 è H2 ïîðÿäêà n1 è n2 , ñîîòâåòñòâåííî.â ìíîæåñòâå H1 H2 = {g ∈ G : g = h1 h2 , h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 } ðàâíîâ ïåðåñå÷åíèè H1 ∩ H2 . êîíå÷íîé ãðóïïåÄîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîân1 n2 /d,2 ÷èñëî ýëåìåíòîâGâûáðàíû ïîäãðóïïûÑìåæíûå êëàññû, íîðìàëüíûå äåëèòåëè, ôàêòîð-ãðóïïûÏóñòü H ïîäãðóïïà ãðóïïû G è a ∈ G. ÌíîæåñòâàaH = {x : x = ah, h ∈ H}èHa = {y : y = ha, h ∈ H}íàçûâàþòñÿ ëåâûì ñìåæíûì êëàññîì è ïðàâûì ñìåæíûì êëàññîì ãðóïïû G ïî ïîäãðóïïå H .273274Ëåêöèÿ 42Åñëè b ∈ aH , òî bH = aH (äîêàæèòå!) îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ëåâûå (ïðàâûå)ñìåæíûå êëàññû ëèáî ñîâïàäàþò, ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ (íà ýòîì ôàêòå è áûëî îñíîâàíîäîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ëàãðàíæà).Ïîäãðóïïà H íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé èëè íîðìàëüíûì äåëèòåëåìãðóïïû G, åñëèaH = Ha ∀ a ∈ G.⇔aha−1 ∈ H∀ a ∈ G ∀ h ∈ H.Ýëåìåíò eh íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê h, åñëè eh = aha−1 äëÿ íåêîòîðîãî a ∈ G.
Òàêèìîáðàçîì, ïîäãðóïïà H ⊂ G ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà H âìåñòåñ ëþáûì ýëåìåíòîì ñîäåðæèò âñå ñîïðÿæåííûå ê íåìó ýëåìåíòû.Ïóñòü K ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ñìåæíûõ êëàññîâ äëÿ íîðìàëüíîãî äåëèòåëÿ H ⊂G. Îïðåäåëèì ïðîèçâåäåíèå ñìåæíûõ êëàññîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì:(aH)(bH) ≡ (ab)H.Ïðåæäå âñåãî, íóæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî åñëè a1 ∈ aH, b1 ∈ bH , òî (a1 b1 )H = (ab)H(òî åñòü, îïðåäåëåíèå êîððåêòíî). Ïóñòü a1 = ah1 , b1 = bh2 , h1 , h2 ∈ H .
Çíà÷èò, åñëèh ∈ H , òî(a1 b1 )h = ah1 bh2 h = (ab)(b−1 h1 b)(h2 h) ∈ (ab)H. 2Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ñìåæíûõ êëàññîâ ïðåâðàùàåò ìíîæåñòâî K â ãðóïïó. Ýòà ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ôàêòîð-ãðóïïîé ãðóïïû G ïî íîðìàëüíîìóäåëèòåëþ H . Îáîçíà÷åíèå: K = G/H .Çàäà÷à.Êàêèå ñìåæíûå êëàññû ÿâëÿþòñÿ ïîäãðóïïàìè?Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ àáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêàpq ,ãäåpèq ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà,ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.42.3Èçîìîðôèçìû ãðóïïÐàññìîòðèì ãðóïïó H ñ îïåðàöèåé ∗ è ãðóïïó G ñ îïåðàöèåé ◦.
Îáðàòèìîå îòîáðàæåíèåf : H → G íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì, åñëèf (a ∗ b) = f (a) ◦ f (b) ∀ a, b ∈ H.(#)Ñâîéñòâî (#) íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì ñîõðàíåíèÿ îïåðàöèé. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îáðàòíîåîòîáðàæåíèå f −1 : G → H òàêæå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Ãðóïïû H è G íàçûâàþòñÿèçîìîðôíûìè. Îáîçíà÷åíèå: H ' G. Íåñìîòðÿ íà ôîðìàëüíûå ðàçëè÷èÿ â îïðåäåëåíèèýëåìåíòîâ è îïåðàöèé, èçîìîðôíûå ãðóïïû ìîæíî ñ÷èòàòü îäèíàêîâûìè ñ òî÷êè çðåíèÿñâîéñòâ èõ îïåðàöèé.Íàïðèìåð, ëþáûå äâå êîíå÷íûå öèêëè÷åñêèå ãðóïïû îäíîãî ïîðÿäêà n áóäóò èçîìîðôíûìè. Åñëè a0 , a1 , .
. . , an−1 âñå ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû ãðóïïû H , òî an = a0 (äîêàæèòå!). Ïóñòü b0 , b1 , . . . , bn−1 âñå ðàçëè÷íûå ýëåìåíòû ãðóïïû G. Òîãäà îïðåäåëèìîòîáðàæåíèå f ïðàâèëîì f (ak ) = bk . Îíî ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì, ïîñêîëüêóf (ak+m ) = bk+m = bk bm = f (ak ) f (am ).Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà ïîëîæèòåëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ íåèçîìîðôíà ãðóïïå âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé ñëîæåíèÿ.Çàäà÷à.Íàéäèòå âñå ãðóïïû, èçîìîðôíûå ëþáîé ñâîåé íååäèíè÷íîé ïîäãðóïïå.Å. Å.
Òûðòûøíèêîâ42.4275Ãîìîìîðôèçìû ãðóïïÎòîáðàæåíèå f : H → G íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâîñîõðàíåíèÿ îïåðàöèé (#) (ïðè ýòîì îáðàòèìîñòü îòîáðàæåíèÿ íå òðåáóåòñÿ).Îáîçíà÷èì ÷åðåç eG åäèíè÷íûé ýëåìåíò ãðóïïû G. Åãî ïîëíûé ïðîîáðàç K =−1f (eG ) íàçûâàåòñÿ ÿäðîì ãîìîìîðôèçìà f . Ìíîæåñòâî f (H) íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ãîìîìîðôèçìà f .Óòâåðæäåíèå. ßäðî ãîìîìîðôèçìà f : H → G ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîéãðóïïû H . Îáðàç ãîìîìîðôèçìà f ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû G.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü e åäèíèöà ãðóïïû H è K ÿäðî ãîìîìîðôèçìà f . Äëÿëþáîãî a ∈ H íàõîäèì f (ae) = f (a)f (e) = f (a) ⇒ f (e) = eG . Èòàê, e ∈ K .Äàëåå, åñëè a ∈ H , òî f (e) = f (aa−1 ) = f (a)f (a−1 ) = eG ⇒ f (a−1 ) = (f (a))−1 .−1Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a ∈ K . Òîãäà f (a−1 ) = e−1∈ K.G = eG ⇒ aÅñëè f (a) = f (b) = eG , òî f (ab) = eG eG = eG ⇒ ab ∈ K .Íàêîíåö, ïðîâåðèì íîðìàëüíîñòü ïîäãðóïïû K .
Ïóñòü a ∈ H , b ∈ K . Òîãäàf (aba−1 ) = f (b) = eG ⇒ aba−1 ∈ K . 2Òåîðåìà î ãîìîìîðôèçìå. Ïóñòü f : H → G ãîìîìîðôèçì ãðóïïû H â ãðóïïó Gè ïóñòü K åãî ÿäðî. Òîãäà f (H) ' H/K .Äîêàçàòåëüñòâî. Îòîáðàæåíèå Φ : H/K → f (H) îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:Φ(aK) = f (a),a ∈ H.Ïóñòü a1 = ab1 , b1 ∈ K . Òîãäà f (a1 ) = f (a).Îáðàòíî, åñëè f (a1 ) = f (a), òî f (a1 a−1 ) = eG ⇒ a1 a−1 ∈ K . Òàêèì îáðàçîì,îòîáðàæåíèå îïðåäåëåíî êîððåêòíî (òî åñòü, íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëÿ a âñìåæíîì êëàññå aK ) è ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îíî ñîõðàíÿåòîïåðàöèè:Φ((aK)(bK)) = Φ((ab)K) = f (ab) = f (a)f (b) = Φ(aK)Φ(bK).2Òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî èçó÷àòü îáðàçû ãðóïïû ïðè âñåâîçìîæíûõ ãîìîìîðôèçìàõ ìîæíî èçíóòðè: äëÿ ïîëíîãî îïèñàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäãðóïï ãðóïïû G, âêîòîðîé ðàçìåùàþòñÿ îáðàçû ýëåìåíòîâ, íå òðåáóåòñÿ çíàíèå ñàìîé ãðóïïû G âîïðîññâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ôàêòîð-ãðóïï ïî íîðìàëüíûì äåëèòåëÿì çàäàííîé ãðóïïû.42.5Èçáûòî÷íîñòü â îïðåäåëåíèè ãðóïïûÏóñòü G íåïóñòîå ìíîæåñòâî ñ àññîöèàòèâíîé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèåé.
Ýëåìåíò e ∈ G íàçûâàåòñÿïðàâîé åäèíèöåé, åñëè ae = a äëÿ âñåõ a ∈ G. Ýëåìåíò b ∈ G íàçûâåòñÿ ïðàâûì îáðàòíûì äëÿ a ∈ Gîòíîñèòåëüíî ïðàâîé åäèíèöû e, åñëè ab = e.Òåîðåìà. Ïóñòü G èìååò ïðàâóþ åäèíèöó e, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà a ∈ Gñóùåñòâóåò ïðàâûé îáðàòíûé ýëåìåíò. Òîãäà G ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé.Äîêàçàòåëüñòâî.e ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì ýëåìåíòîì. Âîçüìåì ïðîèçc = ea. Ñîãëàñíî óñëîâèþ òåîðåìû, ñóùåñòâóþò b, d ∈ G òàêèå, ÷òîab = e è bd = e. Îòñþäà a = ed. Äàëåå, cb = e(ab) = e, îòêóäà c = ed = a.Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî b ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ýëåìåíòîì äëÿ a.
Ïóñòü c = ba. Òîãäà cb = b(ab) = b, èçíà÷èò, c = bd = e. 2âîëüíûé ýëåìåíòaÄîêàæåì, ÷òî ïðàâàÿ åäèíèöàè ïîëîæèì276Ëåêöèÿ 42Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 443.1Çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïàÍàçâàíèå çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïû An (ãðóïïû âñåõ ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê ñòåïåíè n)íàâåÿíî ñëåäóþùèì ïîñòðîåíèåì. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå1,σ ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà,sgn : Sn → K = {1, −1},sgn(σ) =−1,σ íå÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà.Íà ìíîæåñòâå çíàêîâ K ââåäåì îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ òàê æå, êàê äëÿ öåëûõ ÷èñåë.Òîãäà K ïðåâðàùàåòñÿ â àáåëåâó ãðóïïó, à îòîáðàæåíèå sgn ñîõðàíÿåò îïåðàöèè:sgn(σ1 σ2 ) = sgn(σ1 )sgn(σ2 )∀ σ1 , σ2 ∈ Sn .Ïîýòîìó sgn ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì ãðóïïû Sn íà ãðóïïó K .Íàïîìíèì, ÷òî ÿäðîì ãîìîìîðôèçìà íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû,êîòîðûå ïåðåâîäÿòñÿ äàííûì ãîìîìîðôèçìîì â åäèíè÷íûé ýëåìåíò (âîîáùå ãîâîðÿ,äðóãîé ãðóïïû ñîäåðæàùåé îáðàçû ýëåìåíòîâ ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè).
Òàêèì îáðàçîì, ÿäðîì ãîìîìîðôèçìà sgn ÿâëÿåòñÿ â òî÷íîñòè çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà An .Ïîãðóïïà An ÿâëÿåòñÿ â Sn íîðìàëüíûì äåëèòåëåì, ïîñêîëüêó ÿäðî ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ åå íîðìàëüíûì äåëèòåëåì. Âîò, âïðî÷åì, ïðÿìàÿ ïðîâåðêàòîãî, ÷òî An åñòü íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû Sn : åñëè σ ∈ Sn è h ∈ An , òî, î÷åâèäíî,σhσ −1 ∈ An ⇒ σAn = An σ (ëåâûå ñìåæíûå êëàññû ñîâïàäàþò ñ ïðàâûìè). äàííîì ñëó÷àå èìååòñÿ âñåãî äâà ðàçëè÷íûõ ñìåæíûõ êëàññà ãðóïïû Sn ïî íîðìàëüíîé ïîäãðóïïå An : eAn = An è τ An , ãäå e òîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà, à τ ïðîèçâîëüíàÿ íå÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà (íàïðèìåð, òðàíñïîçèöèÿ).  ñàìîì äåëå, åñëè σ1è σ2 îäíîé ÷åòíîñòè, òî h = σ1−1 σ2 ∈ An ⇒ σ1 An = σ2 An .
Òàêèì îáðàçîì, ôàêòîðãðóïïà Sn /An ñîñòîèò èç äâóõ ñìåæíûõ êëàññîâ. Îíà èçîìîðôíà ãðóïïå çíàêîâ K :èçîìîðôèçì îñóùåñòâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì σAn → sgn(σ) (çäåñü ìû èìååì ÷àñòíûéñëó÷àé áîëåå îáùåé òåîðåìû î ãîìîìîðôèçìå èç Ëåêöèè 2).43.2Ïîäãðóïïû ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïûÒåîðåìà. Ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà n èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäãðóïïå ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû Sn .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ãðóïïà G èìååò ýëåìåíòû g1 , . .
. , gn . Òîãäà äëÿ ëþáîãî iýëåìåíòû gi g1 , . . . , gi gn ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïåðåñòàíîâêó ýëåìåíòîâ g1 , . . . , gn . Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîäñòàíîâêó ÷åðåç σi è îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå Φ : G → Snïðàâèëîì Φ(gi ) = σi . Î÷åâèäíî, Φ(gi gj ) = σi σj . Ïîýòîìó Φ ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì⇒ åãî îáðàç Φ(G) ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé â Sn .Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî Φ(gi ) = Φ(gj ) ⇔ gi = gj . 227727843.3Ëåêöèÿ 43×åòíîñòü áåç èíâåðñèéÒî, ÷òî ÷åòíîñòü ÷èñëà òðàíñïîçèöèé â ëþáîì ðàçëîæåíèè ïîäñòàíîâêè îäíà è òà æå, ìîæíî äîêàçàòüè áåç ïîäñ÷åòà ÷èñëà èíâåðñèé.
Ýòî ñðàçó æå âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî íàáëþäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå.  ëþáîì ðàçëîæåíèè òîæäåñòâåííîé ïîäñòàíîâêè â ïðîèçâåäåíèå òðàíñïîçèöèé èõ÷èñëî ÷åòíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü òîæäåñòâåííàÿ ïîäñòàíîâêà e ∈ Sn ðàçëîæåíà â ïðîèçâåäåíèå òðàíñïîçèöèée = (ij) . . . (kl), â êîòîðîì ñðåäè èíäåêñîâ i, j, . . . , k, l èìååòñÿ ðîâíî s ðàçëè÷íûõ. ßñíî, ÷òî 2 ≤ s ≤ nè â ñëó÷àå s = 2 óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî s. Ïóñòü s ≥ 3.
Íå îãðàíè÷èâàÿîáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èíäåêñû ðàâíû 1, . . . , s. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî (1l)(kl) = (1k)(1l) äëÿëþáûõ k, l 6= 1 è (1l)(ij) = (ij)(1l) ïðè {i, j} 6= {1, l}. Ïîýòîìó ìîæíî ïåðåäâèíóòü âñå òðàíñïîçèöèèâèäà (1l) âïðàâî è ïîëó÷èòü äðóãîå ðàçëîæåíèåe = (i1 j1 ) . . . (ik jk ) (1l1 ) . . . (1lm )ñ òåì æå ÷èñëîì òðàíñïîçèöèé. Äàëåå, åñëè l1óáðàòü ïàðó òðàíñïîçèöèé(1l1 ), (1l2 ).ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå ñ òåì æåñîäåðæàùèõ èíäåêñ= l2 , òî (1l1 )(1l2 ) = e è â ïîñëåäíåì ðàçëîæåíèè ìîæíî6= l2 , òî, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (1l1 )(1l2 ) = (l1 l2 )(1l1 ),÷èñëîì òðàíñïîçèöèé è ìåíüøèì íà 1 ÷èñëîì òðàíñïîçèöèé,Åñëè æå l11:e = (i1 j1 ) . .
. (ik jk )(l1 l2 ) (1l1 )(1l3 ) . . . (1lm ).Ïðîäîëæàÿ òàêèì æå îáðàçîì, ïðèäåì ê ðàçëîæåíèþ ñ ÷èñëîì òðàíñïîçèöèé, óìåíüøåííûì íà ÷åòíîå÷èñëî, è, âîçìîæíî, âñåãî ëèøü îäíîé òðàíñïîçèöèåé âèäà(1l):e = (i1 j1 ) . . . (ip jp ) (1l).Ïîñêîëüêói1 , j1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
