Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Î÷åâèäíî, dim1 X åñòü ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîé îáîëî÷êè, íàòÿíóòîé íà ìàòðèöû ñå÷åíèé ïðèi = 1, . . . , n1 . Àíàëîãè÷íûé ñìûñë èìåþò âåëè÷èíû dim2 X è dim3 X .Óòâåðæäåíèå. max(dim1 X, dim2 X, dim3 X) ≤ Rank X ≤ min(n1 n2 , n2 n3 , n1 n3 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî dim1 X ≤ Rank X ≤ n2 n3 . Åñëèr = rankX , òî ñóùåñòâóåò òðèëèíåéíîå ðàçëîæåíèå ñ ÷èñëîì ñòîëáöîâ r:>X = (A, B, C) ⇒ [xijk ]i=i0 ∈ L(b1 c>1 , . . . , br cr ) ⇒ dim1 X ≤ r.Äàëåå, ðàíã ìàòðèöû W íå áîëüøå n3 .
Ïîýòîìó äëÿ íåå ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå âèäàw(k),(ij) =n3XΦks Ψ(ij),s .s=1Äëÿ êàæäîãî s ðàíã ìàòðèöû [Ψ(ij),s ] íå áîëüøå n2Ψ(ij),s =n2Xt=1Uist Vjst⇒⇒xijk = w(k),(ij) =n3 Xn2XUist Vjst Φks .2s=1 t=1Àíàëîã ñå÷åíèé äëÿ îáû÷íûõ ìàòðèö çàïèñü èõ â âèäå ñèñòåìû ñòðîê èëè ñòîëáöîâ.  îòëè÷èå îò ìàòðèö, äëÿ êîòîðûõ ñòðî÷íûé è ñòîëáöîâûé ðàíãè ñîâïàäàþò èðàâíû ðàíãó ìàòðèöû, ÷åòûðå ÷èñëà rankX, dim1 X, dim2 X, dim3 X , âîîáùå ãîâîðÿ,ðàçíûå.Å.
Å. Òûðòûøíèêîâ40.4265Ïðèìåðû òðèëèíåéíûõ ðàçëîæåíèéËþáîé òðåõìåðíûé 2 × 2 × 2-ìàññèâ X = [xijk ] îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ñå÷åíèÿìèX1 = [x1jk ], X2 = [x2jk ].ÏÐÈÌÅÐ 1.X1 =ßñíî, ÷òî dim1 X = 2h1001i, X2 =0110i.⇒ Rank X ≥ 2. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîX1=1b c>2 1 1+1b c> ,2 2 2X2=1b c>2 1 1−1b c> ,2 2 2Òàêèì îáðàçîì, ñëåäóåò âçÿòü a1 =X1 =h−10b1 = c1 =h1/21/2i, a2 =h11ih1/2−1/2, b2 = c 2 =ih1−1i.. Òîãäàãäå A = [a1 , a2 ], B = [b1 , b2 ], C = [c1 , c2 ].X = (A, B, C),ÏÐÈÌÅÐ 2.h01i, X2 =h0110i.Èñïîëüçóÿ òðèëèíåéíîå ðàçëîæåíèå ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, äëÿ äàííîãî ìàññèâà ìûìîæåì ñ ëåãêîñòüþ ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå ðàíãà 3 (ñäåëàéòå ýòî!).
Íî âåðíî ëè, ÷òîðàçëîæåíèå ìåíüøåãî ðàíãà íå ñóùåñòâóåò? Äîïóñòèì, ÷òî>X1 = a11 b1 c>1 + a12 b2 c2 ,>X2 = a21 b1 c>1 + a22 b2 c2 .Êàæäàÿ èç ìàòðèö X1 è X2 èìååò ðàíã 2 ⇒ êîýôôèöèåíòû a11 , a12 , a21 , a22 îòëè÷íûîò íóëÿ. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ−a21 −a11V = a21 X1 − a11 X2 =⇒ det V = −a221 − a211 6= 0 ⇒ rank V = 2.−a11a21Ïðåîáðàçóÿ ïðàâûå ÷àñòè âûðàæåíèé äëÿ X1 è X2 , íàõîäèìV = (a21 a12 − a11 a22 ) b2 c>⇒ rank V ≤ 1.2Ïðîòèâîðå÷èå îçíà÷àåò, ÷òî RankX ≥ 3.Çàìå÷àíèå.  òîëüêî ÷òî çàêîí÷åííîì ðàññóæäåíèè ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî âñå ÷èñëàâåùåñòâåííûå. Åñëè äîïóñòèòü ê ðàññìîòðåíèþ òðèëèíåéíûå ðàçëîæåíèÿ ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, òî â äàííîì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òåíçîðíûé ðàíã ðàâåí 2.40.5Âñå íå òàêÈòàê, ñâîéñòâà òåíçîðíûõ ðàíãîâ òðåõìåðíûõ ìàññèâîâ è ðàíãîâ ìàòðèö ðàçëè÷àþòñÿêîðåííûì îáðàçîì.1. Òåíçîðíûé ðàíã òðåõìåðíûõ ìàññèâîâ ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ÷èñëîâîãî ïîëÿ,êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò ýëåìåíòû òðèëèíåéíûõ ðàçëîæåíèé.266Ëåêöèÿ 40 äàëüíåéøåì âñþäó ïîëàãàåì, ÷òî ÷èñëîâîå ïîëå åñòü ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.2.
Äëÿ òåíçîðíîãî ðàíãà íå èçâåñòíû êàêèå-ëèáî êîíå÷íûå àëãîðèòìû åãî âû÷èñ-ëåíèÿ â îòëè÷èå îò ðàíãà ìàòðèöû, êîòîðûé â òî÷íîé àðèôìåòèêå ëåãêî íàõîäèòñÿñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.3.  îáùåì ñëó÷àå ïðè ôèêñèðîâàííûõ ðàçìåðàõ òðåõìåðíîãî ìàññèâà äî ñèõ ïîðíå ïîëó÷åíû òî÷íûå çíà÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ òåíçîðíîãî ðàíãà.Êîå-÷òî, ïðàâäà, èçâåñòíî.  1970-õ ãîäàõ Éîçåô Êðóñêàë äîêàçàë, ÷òî òåíçîðíûéðàíã ïðîèçâîëüíîãî âåùåñòâåííîãî 2 × 2 × 2-ìàññèâà íå ïðåâûøàåò 3. Ñîåäèíèâ ýòîòôàêò ñ ðàçîáðàííûì âûøå ïðèìåðîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó î òîì, ÷òî ìàêñèìàëüíîåçíà÷åíèå òåíçîðíîãî ðàíãà â äàííîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ðàâíî 3.4. Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñïåöèôè÷åñêèå âåðîÿòíîñòíûå ñâîéñòâà òåíçîðíûõ ðàíãîâ (ïðè ýòîì îñòàâèì ñòðîãèå îïðåäåëåíèÿ â ñòîðîíå è äîâåðèìñÿ èíòóèöèè): ñðåäèâñåãî ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ 2 × 2 × 2-ìàññèâîâ èìååòñÿ ïðèìåðíî 79% ìàññèâîâ òåíçîðíîãî ðàíãà 2 è ïðèìåðíî 21% ìàññèâîâ òåíçîðíîãî ðàíãà 3.Ýòî ýêïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, ïîëó÷åííûå Êðóñêàëîì.
 ñëó÷àå äâóìåðíûõ ìàññèâîâ (ìàòðèö) âñå ïðîùå: ïî÷òè ëþáàÿ ìàòðèöà èìååò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé ðàíã(ðàâíûé ìèíèìàëüíîìó èç åå ðàçìåðîâ).40.6Ýêâèâàëåíòíûå òðèëèíåéíûå ðàçëîæåíèÿ áóêâàëüíîì ñìûñëå òðèëèíåéíîå ðàçëîæåíèå, êîíå÷íî, íå ìîæåò áûòü åäèíñòâåííûì.Åñëè X = (A, B, C), ãäå A = [a1 , . . . , ar ], B = [b1 , . .
. , br ], C = [c1 , . . . , cr ], òî ôîðìàëüíîäðóãîå ðàçëîæåíèå äëÿ òîãî æå X ëåãêî ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ äâóõ ïðèåìîâ:(1) ìîæíî ïðîèçâîëüíûì, íî îäèíàêîâûì îáðàçîì ïåðåñòàâèòü ñòîëáöû â ìàòðèöàõA, B, C ;(2) âçÿâ ëþáûå ÷èñëà αs , βs , γs òàêèå, ÷òî αs βs γs = 1, ìîæíî çàìåíèòü ñòîëáöû as , bs , cs íà αs as , βs bs , γs cs .e B,e C)e , ãäåÝòè äâà ïðèåìà ïðèâîäÿò ê ðàçëîæåíèþ X = (A,e = AP DA ,Ae = BP DB ,Be = CP DC ,C(∗)P ìàòðèöà ïåðåñòàíîâêè, DA , DB , DC äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû òàêèå, ÷òîe B,e C)e , ñâÿçàííûå ñîîòíîDA DB DC = I . Òðèëèíåéíûå ðàçëîæåíèÿ (A, B, C) è (A,øåíèÿìè (∗), íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ áèëèíåéíûõ (ñêåëåòíûõ) ðàçëîæåíèé ìàòðèö è m-ëèíåéíûõ ðàçëîæåíèé ïðîèçâîëüíûõ m-ìåðíûõ ìàññèâîâ.40.7Åäèíñòâåííîñòü ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòèÌíîæåñòâî áèëèíåéíûõ (ñêåëåòíûõ) ðàçëîæåíèé çàäàííîé ìàòðèöû âåñüìà øèðîêî, èåãî îïèñàíèå íå ñâîäèòñÿ ê ýêâèâàëåíòíîñòè ðàçëîæåíèé.Íàïðèìåð, ïóñòü X = [x1 , x2 ] ìàòðèöà ðàçìåðîâ n × 2 ñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìèñòîëáöàìè x1 , x2 .
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé íåâûðîæäåííîé 2×2-ìàòðèöû G = [g1 , g2 ] çàïèøåìGXG−1 = [xG1 , x2 ]. Òîãäà, î÷åâèäíî,>G >X = xG1 g1 + x2 g2 .(∗)Å. Å. Òûðòûøíèêîâ267Âûñîêàÿ ñòåïåíü ïðîèçâîëà â êîìïîíåíòàõ áèëèíåéíûõ àïïðîêñèìàöèé ìàòðèöû çàñòàâëÿåò ââîäèòü ïðè èõ ïîñòðîåíèè ðàçëè÷íûå îãðàíè÷åíèÿ îáû÷íî òèïà îðòîãîíàëüíîñòè. Íàïðèìåð, ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû X èìååò òîò æå âèä (∗), íîåñëè ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ðàçëè÷íû, òî ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû áóäóò îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ.
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî î÷åíü âàæíî îíî ïîçâîëÿåòèñïîëüçîâàòü ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû êàê íîñèòåëè ñóùåñòâåííîé èíôîðìàöèè î äàííûõ,ïðåäñòàâëåííûõ ýëåìåíòàìè ìàòðèöû. ñëó÷àå òðåõìåðíûõ ìàññèâîâ ñèòóàöèÿ îäíîâðåìåííî è ïðîùå, è ñëîæíåå. Ïî÷åìó ñëîæíåå ïîíÿòíî: òåîðèÿ è àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ òðèëèíåéíûõ ðàçëîæåíèé èàïïðîêñèìàöèé äàëåêè îò ñòàäèè çàâåðøåííîñòè. À ïðîùå âîò ïî êàêîé ïðè÷èíå.Ïóñòü X = (A, B, C) òðèëèíåéíîå ðàëîæåíèå ðàíãà r. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäàÿèç ìàòðèö A, B, C èìååò r ñòîëáöîâ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäàÿ èõ ýòèõ ìàòðèö èìåe B,e C)e åùå îäíîåò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ñòîëáöîâ. Äîïóñòèì, ÷òî X = (A,ee Ce.ðàçëîæåíèå ðàíãà r ñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè â ìàòðèöàõ A, B,Ïóñòü äëÿ ÿñíîñòè r = 2. Òîãäàai1 bj1 ck1 + ai2 bj2 ck2 = eai1ebj1eck1 + eai2ebj2eck2 .(#)Âûáåðåì âåêòîð p = [p1 , . .
. , pn1 ]> òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû p ∈ {a2 }⊥ , íî p ∈/ {a1 }⊥(âåêòîð p îðòîãîíàëåí a2 , íî íå a1 ) â ñìûñëå åñòåñòâåííîãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿâ ïðîñòðàíñòâå Rn1 . Óìíîæèì ðàâåíñòâà (#) íà êîýôôèöèåíòû pi è ïðîñóììèðóåì èõïî i îò 1 äî n1 :>>(p> a1 )b1 c>a1 ) eb1ec>a2 ) eb2ec>1 = (p e1 + (p e2. ñèëó âûáîðà p, p> a1 6= 0 ⇒ ðàíã ìàòðèöû â ëåâîé ÷àñòè ðàâåí 1 ⇒ p>ea1 = 0ëèáî p>ea2 = 0, èíà÷å ðàíã ìàòðèöû â ïðàâîé ÷àñòè áûë áû ðàâåí 2:t1>>eeeee det C.eV ≡ t1 b1ec1 + t2 b2ec 2 = [b1 , b2 ][ec,ec ]> ⇒ det V = t1 t2 det Bt2 1 2>Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè p>ea2 = 0.
Òîãäà eb1ec>1 = t b1 c1 , t 6= 0. Ïîñêîëüêó âñå âåêòîðû íåíóëåâûå, îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî eb1 = β1 b1 , ec1 = γ1 c1 äëÿ êàêèõ-òî íåíóëåâûõêîýôôèöèåíòîâ β1 , γ1 .Äàëåå, ìû ìîæåì âûáðàòü âåêòîð q = [q1 , . . . , qn3 ]> , îðòîãîíàëüíûé c2 , íî íå îðòîãîíàëüíûé c1 . Òå æå ðàâåíñòâà (#) ìîæíî óìíîæèòü íà êîýôôèöèåíòû qk è ïðîñóììèðîâàòü ïî k îò 1 äî n3 :>>c1 ) ea1eb>c2 ) ea2eb>(q > c1 )a1 b>1 = (q e1 + (q e2.Åñëè q >ec2 6= 0, òî îêàæåòñÿ, ÷òî eb2 = hb1 , h 6= 0 ⇒ ñòîëáöû eb1 , eb2 ëèíåéíî çàâèñèìû.Ýòî ïðîòèâîðå÷èò èñõîäíûì ïðåäïîëîæåíèÿì. Çíà÷èò, q >ec2 = 0.
Íî òîãäà, ïîâòîðÿÿeïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ, íàõîäèì ea1 = α1 a1 , b2 = β2 b2 .  èòîãå>>(q >ec1 ) ea1eb>1 = (α1 β1 γ1 ) (q c1 )a1 b1⇒α1 β1 γ1 = 1.Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè âåêòîðà p îêàçàëîñü, ÷òî p>ea1 = 0. ×òîáû îñòàâèòü â ñèëå ïîñëåäîâàâøèå ðàññóæäåíèÿ, äîñòàòî÷íî ïåðåñòàâèòü ñòîëáöû â ìàòe B,e Ce. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî òðèëèíåéíûå ðàçëîæåíèÿ (A, B, C)ðèöàõ A,268Ëåêöèÿ 40e B,e C)e ýêâèâàëåíòíû. Ëåãêî âèäåòü òàêæå, êàê âåñòè ðàññóæäåíèå â ñëó÷àå r > 2.è (A,Èòàê, ïîëíîñòüþ äîêàçàíà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.
Ïóñòü X = (A, B, C) è ñòîëáöû â êàæäîé èç ìàòðèöA, B, C ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Òîãäà òðèëèíåéíîå ðàçëîæåíèå (A, B, C) îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè: åñëè òðèëèíåéíîå ðàçëîæåíèåe B,e C)e òàêîâî, ÷òî êàæäàÿ èç ìàòðèö A,e B,e Ce ñ îáùèì ÷èñëîì ñòîëáöîì reX = (A,e B,e C)eèìååò ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòîëáöû, òî re = r è ðàçëîæåíèÿ (A, B, C) è (A,ýêâèâàëåíòíû.Äàííûé ôàêò èìååò îãðîìíîå (âîçìîæíî, îñíîâíîå) çíà÷åíèå â ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèìåíåíèÿõ òðèëèíåéíûõ àïïðîêñèìàöèé ê àíàëèçó äàííûõ (íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ñìåñåé â ñïåêòðîìåòðèè èëè ïñèõîìåòðè÷åñêèõ è ñîöèîìåòðè÷åñêèõäàííûõ ïðè èçó÷åíèè îñîáåííîñòåé ëè÷íîñòè è îáùåñòâà).Çàìå÷àíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
