Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 58
Текст из файла (страница 58)
. . , ip , jp 6= 1,ïîäñòàíîâêàeïåðåâîäèòlâ1,÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê îíà ÿâëÿåòñÿòîæäåñòâåííîé. Ïîýòîìóe = (i1 j1 ) . . . (ip jp ),ãäå èíäåêñû÷åòíî.2i1 , j1 , . . . , ip , jpïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ îò2äîs.Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ÷èñëîpÄîïîëíåíèå ê ëåêöèè 544.1Ôóíêöèîíàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ËàïëàñàÐàññìîòðèì âûðàæåíèåf (A) =Xdet A(I, J) det A(I 0 , J 0 ) (−1)ν(I)+ν(J)I∈Nkêàê ôóíêöèþ ñòðîê ìàòðèöû• f (A)Aè äîêàæåì, ÷òî îíà îáëàäàåò òðåìÿ ñâîéñòâàìè:ëèíåéíà ïî êàæäîìó àðãóìåíòó;•åñëè ñòðîêè ìàòðèöû•åñëèAAëèíåéíî çàâèñèìû, òî åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, òîf (A) = 0;f (A) = 1.Ïåðâîå è òðåòüå ñâîéñòâà î÷åâèäíû. Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü âòîðîå ñâîéñòâî, äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òîf (A)ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå äâóõ ñòðîê.
Áîëåå òîãî, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïåðåñòà-íîâêó äâóõ ñîñåäíèõ ñòðîê. Ïóñòü ýòî áóäóò ñòðîêè ñ íîìåðàìèñòðîêàìè îáîçíà÷èìsès + 1.Ìàòðèöó ñ ïåðåñòàâëåííûìèB.b ∈ Nk . Îïðåäåëèì íà Nk âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì I ïåðåõîäèò âÏóñòü I, IbI , ñëåäóþùèì ïðàâèëîì. Åñëè s è s + 1 îáà âõîäÿò èëè îáà íå âõîäÿò â ñèñòåìó íîìåðîâ I , òî ïóñòüIb = I . Åñëè s ïðèíàäëåæèò I , à s + 1 íåò, òî ïóñòü Ib ïîëó÷àåòñÿ èç I çàìåíîé íîìåðà s íà s + 1.
Åñëès + 1 ïðèíàäëåæèò I , à s íåò, òî ïóñòü Ib ïîëó÷àåòñÿ èç I çàìåíîé íîìåðà s + 1 íà s. ßñíî, ÷òîXf (B) =det B(I, J) det B(I 0 , J 0 )(−1)ν(I)+ν(J) = Σ1 (B) + Σ2 (B),I∈NkãäåΣ1I = Ib, à Σ2 ÷ëåíû, äëÿ êîòîðûõ I 6= Ib.f (B) = −f (A). Ðàññìîòðèì ÷ëåíû, äëÿ êîòîðûõ I = Ib:ñîäåðæèò ÷ëåíû, äëÿ êîòîðûõÍàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî• s, s + 1 ∈ I⇒ det B(I, J) = − det A(I, J), det B(I 0 , J 0 ) = det A(I 0 , J 0 ).• s, s + 1 ∈/I⇒ det B(I, J) = det A(I, J), det B(I 0 , J 0 ) = − det A(I 0 , J 0 ).Ïðè ýòîìν(I) = ν(Ib )(ïîñêîëüêóI = Ib ).Òåïåðü ðàññìîòðèì ÷ëåíû, äëÿ êîòîðûõâI.Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà òî æå âðåìÿ,Σ2Σ1 (B) = −Σ1 (A).bI 6= I .
Çàìåòèì, ÷òî åñëè IÎòñþäàïåðåõîäèò âðàçáèâàåòñÿ íà ñóììó ïàð ÷ëåíîâ, îòâå÷àþùèõb J),det B(I, J) = det A(I,det B(I 0 , J 0 ) = det A(Ib0 , J 0 ),b J) = det A(I, J),det B(I,det B(Ib0 , J 0 ) = det A(I 0 , J 0 ).ν(Ib ) = ν(I) ± 1.ÏîýòîìóΣ2 (B) = −Σ2 (A).IèIb.Ib,òîIb ïåðåõîäèòÏðè ýòîì íàõîäèìÒàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿf (A)èíäèêàòîðîì ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè, à â ñèëó åãî åäèíñòâåííîñòè îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû44.2ÿâëÿåòñÿA. 2Îïðåäåëèòåëè ñ íóëåâûìè ÷ëåíàìèÒåîðåìó Ëàïëàñà óäîáíî ïðèìåíÿòü, êîãäà ñðåäè ìèíîðîâ íà âûáðàííûõ ñòîëáöàõ (èëè ñòðîêàõ) îêàçûâàåòñÿ ìíîãî íóëåâûõ.
×àñòî ýòî ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì áîëüøîãî ÷èñëà íóëåé â ìàòðèöå. Èíîãäà íóëåé279280Ëåêöèÿ 44îêàçûâàåòñÿ íàñòîëüêî ìíîãî, ÷òî êàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ ñîäåðæèò íóëåâîé ñîìíîæèòåëü è ïîýòîìó ðàâåí íóëþ. Î÷åâèäíî, òàê îáñòîèò äåëî, åñëè ìàòðèöà èìååò íóëåâîé ñòîëáåö èëè íóëåâóþ ñòðîêó.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåòðèâèàëüíîå îáîáùåíèå ýòîãî íàáëþäåíèÿ.Òåîðåìà Õîëëà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû âñå ÷ëåíû îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n áûëè ðàâíû íóëþ,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèå íóëåâîé ïîäìàòðèöû ðàçìåðîâ p × q ñ óñëîâèåì p + q > n.Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì óïðàæíåíèåì. À âîò äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè òðåáóåò óæå èçðÿäíîé èçîáðåòàòåëüíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè.n.
Ïðè n = 1 óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.k ≤ n, è ðàññìîòðèì ìàòðèöó A, â êîòîðîéÏðîâåäåì èíäóêöèþ ïîÏðåäïîëîæèì, ÷òî îíî äîêàçàíî äëÿ ëþáûõ ìàòðèö ïîðÿäêàêàæäûé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ ñîäåðæèò íóëåâîé ýëåìåíò ìàòðèöû. Åñëè âñå åå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ, òîóòâåðæäåíèå óæå äîêàçàíî. Ïóñòü èìååòñÿ õîòÿ áû îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò. Ïóñòüa11A=ïðè÷åì ëþáîé ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöûïðåäïîëîæåíèþ, âk + l > n,BBa1n 6= 0.Òîãäà...
a1 n−1a1na2n ,... annBîáÿçàí ñîäåðæàòü íóëåâîé ìíîæèòåëü. Ïî èíäóêòèâíîìóèìååòñÿ íóëåâàÿ ïîäìàòðèöà0k×lðàçìåðîâk×lñ óñëîâèåìk + l > n − 1.Åñëèòî ýòà ïîäìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé.Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àék + l = n.Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òîA110k×lA=ÏîäìàòðèöûA11èA22êâàäðàòíûå ïîðÿäêàlèk,èìååò âèäA12.A22ñîîòâåòñòâåííî.  ñèëó èñõîäíîãî ïðåäïîëîäåíèÿA11 íåíóëåâîé, òî âñå ÷ëåíû îïðåäåëèòåëÿ A22A22 èìååòñÿ íóëåâàÿ r × s-ïîäìàòðèöà ñ óñëîâèåìr +s > k . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëîäèì, ÷òî îíà íàõîäèñÿ íà ïîñëåäíèõ r ñòðîêàõ è ñòîëáöàõñ íîìåðàìè îò l + 1 äî l + s.
Ðàññìîòðèì ïîäìàòðèöó Z íà ïåðåñå÷åíèè ïîñëåäíèõ p = r ñòðîê è q = l + sè ñòîëáöîâ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî Z = 0, ïðè ýòîì p + q = l + r + s > l + k = n.Åñëè âñå ÷ëåíû îïðåäåëèòåëÿ A11 ðàâíû íóëþ, òî èíäóêòèâíîå ïðåäïîëîæåíèå ìîæíî ïðèìåíèòüíåïîñðåäñòâåííî ê A11 . Èñêîìàÿ íóëåâàÿ ïîäìàòðèöà â A ñòðîèòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.2î ìàòðèöåA,Aåñëè õîòÿ áû îäèí ÷ëåí îïðåäåëèòåëÿðàâíû íóëþ.
Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ, âÇàìåòèì, ÷òî òåîðåìà Õîëëà ïîÿâèëàñü â 1935 ãîäó â ñâÿçè ñ èçó÷åíèåì ñïåöèàëüíûõ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ (à èìåííî, çàäà÷è î ïàðîñî÷åòàíèÿõ).Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 645.1Ìàòðèöû ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåìÎòìåòèì ïîëåçíîå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îáðàòèìîñòè ìàòðèöû. Ïóñòü äëÿ ýëåìåíòîâìàòðèöû A = [aij ] ïîðÿäêà n âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿX|aii | >|aij |,i = 1, 2 . .
. , n.1≤j≤nj6=i òàêèõ ñëó÷àÿõ A íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì ïî ñòðîêàì.Åñëè èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿX|ajj | >|aij |,j = 1, 2 . . . , n,1≤i≤ni6=jòî A íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì ïî ñòîëáöàì.Òåîðåìà. Ëþáàÿ ìàòðèöà ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì ïî ñòðîêàì èëè ïî ñòîëáöàì ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A ìàòðèöà ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì ïî ñòðîêàì. Äîêàæåì, ÷òî åå ñòîëáöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Äëÿ ýòîãî ïðèðàâíÿåì íóëþ èõ ëèíåéíóþêîìáèíàöèþ ñ êîýôôèöèåíòàìè x1 , . . . , xn :x1A . . . = 0.xnÂûáåðåì ñòðîêó ñ íîìåðîì i òàêèì, ÷òî |xi | ≥ |xj | äëÿ âñåõ j . ÒîãäàXX|aij | |xi |.aij xj ≥ |aii | −0 = aii xi +1≤j≤n1≤j≤nj6=ij6=iÏîñêîëüêó âåëè÷èíà â ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíàÿ, ïîëó÷àåì xi = 0 ⇒ xj = 0 ∀ j .
Îáðàòèìîñòü ìàòðèöû ñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì ïî ñòîëáöàì äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþïåðåõîäà ê òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöå. 245.2Îïðåäåëèòåëü è âîçìóùåíèÿÌîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ïðè âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ èçìåíåíèÿõ (â ìàòåìàòèêå ÷àñòî ãîâîðÿò âîçìóùåíèÿõ) ýëåìåíòîâ281282Ëåêöèÿ 45ìàòðèöû îïðåäåëèòåëü íå ñòàíåò íóëåì.Çàäà÷à.Äîêàæèòå, ÷òîïî ìîäóëþ ìåíüøådet(I + F ) 6= 0,åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû-âîçìóùåíèÿFïîðÿäêàn1/n.Îäíàêî, ïî âåëè÷èíå îïðåäåëèòåëÿ òðóäíî ñóäèòü, íàñêîëüêî ìàëû äîëæíû áûòüñîîòâåòñòâóþùèå âîçìóùåíèÿ. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì äâóõäèàãîíàëüíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ âîçìóùåíèåì ε òîëüêî îäíîãî ýëåìåíòà â ëåâîì íèæíåì óãëó:1A(ε) = 2102..0ε....121.Ïðè ε = 0 èìååì det A(0) = 1.
 îáùåì ñëó÷àå, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ëàïëàñà äëÿ ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî ïåðâîìó ñòîëáöó, íàõîäèìdet A(ε) = 1 + ε · (−1)n+1 2n−1 .Ïðè ε = (−1)n /2n−1 ïîëó÷àåì det A(ε) = 0. Ïóñòü, íàïðèìåð, n = 100. Êàê âèäèì,íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ñ îïðåäåëèòåëåì 1 ïðåâðàùàåòñÿ â âûðîæäåííóþ ïðè âåñüìàìàëîì âîçìóùåíèè!Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 846.1Âûáîð âåäóùåãî ýëåìåíòàÍåíóëåâûå ýëåìåíòû â ñòðîêàõ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ïðîâîäèòñÿ èñêëþ÷åíèå ýëåìåíòîâ,ïðèíÿòî íàçûâàòü âåäóùèìè ýëåìåíòàìè. Ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ âàæíî òîëüêîòî, ÷òî âåäóùèé ýëåìåíò íå ðàâåí íóëþ.Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé ýòîãî ìàëî. Äåëî â òîì, ÷òî êîìïüþòåðîïåðèðóåò ñ êîíå÷íûì íàáîðîì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë òàê íàçûâàåìûõ ìàøèííûõ ÷èñåë.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè p-è÷íîé ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî ìîæíîçàïèñàòü â âèäåx = pα · β, 0 ≤ β < 1,(∗)ãäå α öåëîå ÷èñëî íàçûâàåìîå ïîðÿäêîì ÷èñëà x, à β âåùåñòâåííîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå ìàíòèññîé ÷èñëà x (êîíå÷íî, ïîðÿäîê è ìàíòèññà äëÿ x çàâèñÿò îò p). 1 Íàêîìïüþòåðå äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïîðÿäêà è ìàíòèññû îòâîäèòñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëîðàçðÿäîâ. Ïîýòîìó ïðè âûïîëíåíèè îïåðàöèé ñ ìàøèííûìè ÷èñëàìè ïðèõîäèòñÿ äåëàòü îêðóãëåíèå çàìåíó òî÷íîãî ðåçóëüòàòà êàêèì-òî áëèçêèì ìàøèííûì ÷èñëîì.Ïðåäïîëîæèì, íàïðèìåð, ÷òî ìàíòèññà èìååò t = 5 ðàçðÿäîâ. Òîãäà ïðè ñëîæåíèè ÷èñåë a = 102 ·0.11111 è b = 10−4 ·0.11111 ñíà÷àëà âûðàâíèâàþòñÿ ïîðÿäêè ýòî îçíà÷àåòèçìåíåíèå ìàíòèññû ÷èñëà ñ ìåíüøèì ïîðÿäêîì è ïîòåðþ çíàêîâ, îêàçàâøèõñÿ çà ïðåäåëàìè îòâåäåííûõ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ìàíòèññ ðàçðÿäîâ:10−4 · 0.11111 = 102 · 0.00000011111 7→ 102 · 0.00000.Äàëåå ìîäèôèöèðîâàííûå ìàíòèññû ñêëàäûâàòñÿ, ïîñëå ÷åãî ðåçóëüòàò ïðèâîäèòñÿ êâèäó (∗).
 äàííîì ñëó÷àå102 · 0.11111 + 102 · 0.00000 = 102 · 0.11111.Êàê âèäèì, ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a è b îêàçàëàñü ðàâíîé a!Ïóñòü íà ýòîì æå êîìïüþòåðå ðåøàåòñÿ ñèñòåìà −5 101 x2=.11 y1Ëåãêî âèäåòü, ÷òî òî÷íîå ðåøåíèå èìååò âèäx=1 Îáû÷íîp = 2,−1,1 − 10−5y=íî åñòü è êîìïüòåð, äëÿ êîòîðîãîÌîñêîâñêîì óíèâåðñèòåòå â 1960x ãîäàõ.2832 − 10−5.1 − 10−5p = 3(1) ýòî ÝÂÌ Ñåòóíü, ðàçðàáîòàííàÿ â284Ëåêöèÿ 46 òî æå âðåìÿ, ïðè èñêëþ÷åíèè ýëåìåíòà â ïîçèöèè (2, 1) ïîëó÷àåì −5 −510 10−5 1101101=7→,−105 11101 − 1050−105òàê êàê1 − 105 = 101 · 0.10000 − 106 · 0.10000 = 106 · 0.000001 − 106 · 0.100007→ 106 · 0.00000 − 106 · 0.10000 = −105 .Àíàëîãè÷íî, ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ïðåîáðàçîâàíèè ïðàâîé ÷àñòè íàõîäèì 10 227→.−105 1 1−2 · 105 èòîãå âû÷èñëåííîå ðåøåíèå x̃, ỹ áóäåò òî÷íûì ðåøåíèåì ñèñòåìû −5 101x̃2=.0−105 ỹ−2 · 105Òàêèì îáðàçîì,x̃ = 0,ỹ = 2.(2)Ñðàâíèâàÿ (1) è (2), ïðèõîäèì ê î÷åâèäíîìó âûâîäó: ïîëó÷åííûé îòâåò äàëåê îò èñòèííîãî.Ïðè÷èíà ÷óäîâèùíî áîëüøîé ïîãðåøíîñòè â îòíîñèòåëüíî ìàëîé âåëè÷èíå âåäóùåãî ýëåìåíòà, ïðèâîäÿùåé ê ðîñòó ýëåìåíòîâ â ïðåîáðàçîâàííîé ìàòðèöå.
×òîáûñíèçèòü íåïðèÿòíûé ýôôåêò, âûçâàííûé ðîñòîì ýëåìåíòîâ, îáû÷íî ðåêîìåíäóåòñÿ âêàæäîì ñòîëáöå âûáèðàòü â êà÷åñòâå âåäóùåãî ýëåìåíò, ìàêñèìàëüíûé ïî ìîäóëþ.Çàäà÷à.A = [aij ]Äàíà ìàòðèöàïîðÿäêànñ äèàãîíàëüíûì ïðåîáëàäàíèåì (ñì. ðàçäåë 6.9) ïîñòðîêàì (ïî ñòîëáöàì), è ïóñòü ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ýëåìåíòîâ â ïåðâîì ñòîëáöå ñ ïîìîùüþ ïåðâîéñòðîêè ñ âåäóùèì ýëåìåíòîìa11 6= 0ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöàa11 0 ...0Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöàBïîðÿäêàa12... a1nB.n−1 òàêæå èìååò äèàãîíàëüíîå ïðåîáëàäàíèå ïî ñòðîêàì (ïî ñòîëáB íå áîëüøå ìàêñèìàëüíîãîöàì). Äîêàæèòå òàêæå, ÷òî ìàêñèìàëüíûé ïî ìîäóëþ ýëåìåíò ìàòðèöûïî ìîäóëþ ýëåìåíòà ìàòðèöû46.2A.Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöûÎáðàòíóþ ìàòðèöó ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ êîíñòðóêöèè òîãî æå ìåòîäà Ãàóññà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
