Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 62
Текст из файла (страница 62)
, Φn−1 } = {Φ1 , . . . , Φn−1 }. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïðè ëþáîì k îòîáðàæåíèå Φk2n−1ðåàëèçóåò öèêëè÷åñêóþ ïîäñòàíîâêó íà ìíîæåñòâå êîðíåé {ε, ε , . . . , ε}. 2Ýíäîìîðôèçìû2Óòâåðæäåíèå 4. Ïðè ïðîñòîì n ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ ε íàä ïîëåì Q ðàâåí f (x) = 1 + x +. .
. + xn−1 .Äîêàçàòåëüñòâî.Äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â íåðàçëîæèìîñòè ìíîãî÷ëåíà f (x) íàä ïîëåì Q. Ïðåäf (x) = u(x)v(x), ãäå u(x), v(x) ∈ Q[x]. Âûáåðåì ëþáîå k îò 1 äî n − 1 è ðàññìîòðèìýíäîìîðôèçì Φ = Φk . Ïóñòü ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà u(x) ðàâíà m. Òîãäà îí èìååò m ðàçëè÷íûõ êîðíåéz1 , . . .
, zm ⊂ {ε, ε2 , . . . , εn−1 } (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Áåçó). Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1, âñå ÷èñëàz1 , Φ(z1 ), Φ2 (z1 ), . . . , Φn−2 (z1 ) ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè u(x).  ñèëó óòâåðæäåíèÿ 3 ýòè ÷èñëà ïîïàðíîðàçëè÷íû ⇒ m = n − 1. 2ïîëîæèì, ÷òîÝíäîìîðôèçìû ïîëÿ, ÿâëÿþùèåñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè, íàçûâàþòñÿôèçìàìè.àâòîìîð-Óòâåðæäåíèå 5. Ïðè ïðîñòîì n ýíäîìîðôèçìû Φ1 , .
. . , Φn−1 óòâåðæäåíèÿ 2 ÿâëÿþòñÿ àâòîìîðôèçìàìè ïîëÿ Q(ε), îñòàâëÿþùèìè íà ìåñòå ýëåìåíòû ïîëÿ Q, è èñ÷åðïûâàþò âñå ìíîæåñòâîàâòîìîðôèçìîâ òàêîãî òèïà.Äîêàçàòåëüñòâî.Äàííûå îòîáðàæåíèÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íû â ñèëó òåîðåìû î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ. òî æå âðåìÿ, ëþáîé àâòîìîðôèçìêàêîãî-òîiîò1äîèç ýíäîìîðôèçìîâ49.8n − 1 (ïðèΦi . 2Φ,Q, ïåðåâîäèò ε â εi äëÿ⇒ Φ ñîâïàäàåò ñ îäíèìîñòàâëÿþùèé íà ìåñòå ýëåìåíòû èçàâòîìîðôèçìåεíå ìîæåò ïåðåéòè â0ε = 1)Àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëàÊîìïëåêñíîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿàëãåáðàè÷åñêèì,åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà íàä ïîëåì ðà-öèîíàëüíûõ ÷èñåë.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíî íàçûâàåòñÿòðàíñöåíäåíòíûì.Èçó÷åííûå íàìè ñâîéñòâàêîíå÷íûõ ðàñøèðåíèé ïîëåé äåëàþò ïî÷òè î÷åâèäíûì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà.
Ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Äîêàçàòåëüñòâî.ÏóñòüαèβQ. Ðàññìîòðèì ïîëåα, è ïîëå Q(α)(β), ïîëó÷åííîå èç Q(α) ïðèñîåäèíåíèåì ýëåìåíòà β êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà èç êîëüöà Q(α)[x] (ÿñíî, ÷òî Q[x] ⊂ Q(a)[x]). Òîãäà ðàñøèðåíèåQ ⊂ Q(α)(β) ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ðàñøèðåíèåì. Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò γ êîíå÷íîãî ðàñøèðåíèÿ2nïîëÿ Q ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà íàä Q, èíà÷å ýëåìåíòû 1, γ, γ , . .
. , γáûëè áûëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q ïðè ëþáîì n. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà α ± β, αβ è α/β (ïðè β 6= 0) ÿâëÿþòñÿàëãåáðàè÷åñêèìè. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë åñòü ïîäïîëå â C. 2Q(α),ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè êàêèõ-òî ìíîãî÷ëåíîâ íàäïîëó÷åííîå ïðèñîåäèíåíèåì êQýëåìåíòàÄîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1750.1Êðàòíûå êîðíè è ïðîèçâîäíûåÏðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíf 0 (x) = a1 + 2a2 x + . . . + nan xn−1 .Ðàññìàòðèâàÿ f (x) êàê ôóíêöèþ îò x (íàïðèìåð, â ñëó÷àå âåùåñòâåííûõ êîýôôèöèåíòîâ) è âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíóþ ïî ïðàâèëàì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ìû ïîëó÷èì,î÷åâèäíî, ôóíêöèþ, ñîâïàäàþùóþ ñ f 0 (x).Óòâåðæäåíèå.
Ìíîãî÷ëåí f (x) íàä ÷èñëîâûì ïîëåì K ⊂ C èìååò òîëüêî ïðîñòûåêîðíè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîãî÷ëåíû f (x) è f 0 (x) âçàèìíî ïðîñòû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) èìååò êîðåíü θ êðàòíîñòè k . Òîãäàf (x) = (x − θ)k g(x), g(θ) 6= 0.f 0 (x) = k(x − θ)k−1 g(x) + (x − θ)k g 0 (x).⇒Ïðè k ≥ 2 íàõîäèì f 0 (θ) = 0. Ïîýòîìó θ ÿâëÿåòñÿ îáùèì êîðíåì ìíîãî÷ëåíîâ f (x) èf 0 (x) ⇒ èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èìååò ñòåïåíü ≥ 1.
2Âàæíîå íàáëþäåíèå: åñëè f (x) ∈ K[x], òî f 0 (x) ∈ K[x]. Ïîýòîìó âñå êîýôôèöèåíòûèõ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ ïðèíàäëåæàò òîìó æå ïîëþ K . Îòñþäà ïîëó÷àåìïîëåçíîåÑëåäñòâèå. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä ïîëåì K ⊂ C äëÿ ëþáîãî ÷èñëà θ ∈ C èìååòòîëüêî ïðîñòûå êîðíè.Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåíÇàäà÷à.Ìíîãî÷ëåíf (z) =nPal z lf (x) = 1 +ñòåïåíènx1!+x22!+ .... +èìååò êîðåíüζxnn! íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.êðàòíîñòèm.Äîêàçàòü, ÷òîl=0nXal lk ζ k = 0,1 ≤ k ≤ m − 1.l=050.2Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàçíûõ çàäà÷àõ âîçíèêàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x1 , x2 , ...
, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì âèäàa0 xn + a1 xn+1 + . . . + ak xn+k = 0,n = 0, 1 ... ,(∗)ñ çàäàííûìè êîýôôèöèåíòàìè a0 , . . . , ak .  ñëó÷àå a0 , ak 6= 0 óðàâíåíèå (∗) íàçûâàåòñÿðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì ïîðÿäêà k . Ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ299300Ëåêöèÿ 50x0 , x1 , . . . , xk−1 îíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò çíà÷åíèÿ xk , xk+1 , ... . Îäíàêî, ðåøåíèå xnóðàâíåíèÿ (∗) ìîæíî âûðàçèòü è ñ ïîìîùüþ ïîëåçíîé ÿâíîé ôîðìóëû.×òîáû åå ïîëó÷èòü, áóäåì èñêàòü xn â âèäå xn = z n , ãäå z 6= 0.
Òîãäà, â ñèëó (∗),a0 z n + a1 z n+1 + . . . + ak z n+k = 0⇔a0 + a1 z + . . . + ak z k = 0.Òàêèì îáðàçîì, xn = z n óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì (∗) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,êîãäà z ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 + a1 x + . . . + ak xk .Ñëó÷àé ïðîñòûõ êîðíåé. Åñëè f (x) èìååò k ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ êîðíåé z1 , . .
. , zk(â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíûõ), òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíò c1 , . . . , ck ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäàxn = c1 z1n + . . . + ck zkn(∗∗)áóäåò, î÷åâèäíî, ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (∗). Áîëåå òîãî, ëþáîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ââèäå (∗∗), òàê êàê xn îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî íà÷àëüíûì çíà÷åíèÿì x0 , . . . , xk−1 , àêîíñòàíòû c1 , . . . , ck îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèéc1 z1n + . . . + ck zkn = xn ,n = 0, 1, .
. . , k − 1,äëÿ êîòîðîé ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ÿâëÿåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé Âàíäåðìîíäà äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ óçëîâ z1 , . . . , zk .Ñëó÷àé êðàòíûõ êîðíåé. Åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) èìååò êðàòíûå êîðíè, òî ôîðìóëà (∗∗) óæå íå îïèñûâàåò âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (∗). ×òîáû ïîëó÷èòü k ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé è â ýòîì ñëó÷àå, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü ñëåäóþùåå.Ëåììà 1. Ïóñòü z êîðåíü f (x) êðàòíîñòè γ . Òîãäà ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì0 ≤ s ≤ γ−1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà xsn = ns z n , n = 0, 1, ...
, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìèóðàâíåíèÿ (∗).Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî,a0 ns z n + a1 (n + 1)s z n+1 + ... + ak (n + k)s z n+k =n(a0 ns−1 z n + a1 (n + 1)s−1 z n+1 + ... + ak (n + k)s−1 z n+k ) + z n+1 (a1 + 2a2 z + ... + kak z k−1 ).Âûðàæåíèå âî âòîðîé ñêîáêå ýòî çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé f 0 (z). Ïîñêîëüêó z êðàòíûéêîðåíü, ïîëó÷àåì f 0 (z) = 0. Äàëåå ïðèìåíÿåì èíäóêöèþ ïî s. 2Ëåììà 2. Ïóñòü äàíû ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå ÷èñëà z1 , . .
. , zm è íàòóðàëüíûå÷èñëà γ1 , . . . , γm òàêèå, ÷òî γ1 + . . . + γm = k . Òîãäà ñòîëáöûn k−1γ1 −1 n k−1[z1n ]k−1z1 ]n=0 ,n=0 , [nz1 ]n=0 , . . . , [n... ,n k−1n k−1n k−1[zm]n=0 , [nzm]n=0 , . . . , [nγm −1 zm]n=0 ,(1)îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó.Äîêàçàòåëüñòâî. Äàííàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç m ïîäñèñòåì äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ÷èñåë z1 , . . . , zm , ïðè ýòîì â ïîäñèñòåìå äëÿ zs èìååòñÿ γs ñòîëáöîâ. Ìîæíî ïðîâåðèòü,÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà, íàòÿíóòàÿ íà ñòîëáöû ïîäñèñòåìû äëÿ zs ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîéîáîëî÷êîé äëÿ ñòîëáöîân k−1n k−1n k−1[zsn ]k−1n=0 , [n zs ]n=0 , [n(n − 1) zs ]n=0 , . . . , [n(n − 1)...(n − γs + 2) zs ]n=0 .(2)Ïîýòîìó ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñòîëáöîâ âèäà (1) ðàâíîñèëüíà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû, ñîñòàâëåííîé èç ñòîëáöîâ âèäà (2) ïðè s = 1, .
. . , m. Ïóñòü Ak ìàòðèöàÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ301ïîðÿäêà k , ñîñòàâëåííàÿ èç ñòîëáöîâ âèäà (2). ×òîáû âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûAk , âû÷òåì èç êàæäîé åå ñòðîêè, êðîìå ïåðâîé, ïðåäûäóùóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà z1 .Íåñëîæíûå, õîòÿ è ãðîìîçäêèå, âûêëàäêè ïðèâîäÿò ê ñîîòíîøåíèþ det Ak = c det Ak−1 ,ãäå c 6= 0, à Ak−1 îáîçíà÷àåò ìàòðèöó ïîðÿäêà k − 1, âèä êîòîðîé àíàëîãè÷åí âèäó ìàòðèöû Ak ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî γ1 ñëåäóåò çàìåíèòü íà γ1 − 1. Äàëåå ïî èíäóêöèè.250.3Ïîëå ðàçëîæåíèÿÐàññìîòðèì ìíîãî÷ëåín−1f (x) = a0 + . . . + an−1 xnYn+x =(x − xi ) ∈ K[x],K ⊂ C.i=1ÏîëåL = K(x1 , . . .
, xn ) íàçûâàåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f (x).K ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèñîåäèíåíèÿ êîðíåé x1 , . . . , xn :Êîíå÷íî,Lìîæåò áûòüïîëó÷åíî èçK ⊂ K(x1 ) ⊂ K(x1 )(x2 ) ⊂ . . . ⊂ K(x1 )(x2 ) . . . (xn ) = L. äåéñòâèòåëüíîñòè ïîëå÷èñëàθ ∈ L(âîîáùå ãîâîðÿ,Lθìîæíî ïîëó÷èòü èçîòëè÷íî îò êîðíåéK ïðèñîåäèíåíèåì âñåãîf (x)). Äàííûé ðåçóëüòàòëèøü êàêîãî-òî îäíîãîïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà. Ïóñòü α è β ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì K ⊂ C. ÒîãäàK(α)(β) = K(θ)äëÿ êàêîãî-òî ÷èñëà θ ∈ K(α)(β).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü F (x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä K äëÿ α, èìåþùèé (êàê ìû çíàåì,α1 = α, α2 , . .
. , αk , à G(x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä K äëÿ β , èìåþùèé êîðíèβ1 = β, β2 , . . . , βm . ×èñëî θ ïîïûòàåìñÿ íàéòè â âèäåïðîñòûå) êîðíèc 6= 0,θ = α1 + cβ1 ,ïðè÷åì âûáåðåìïîäïîëå âCcòàê, ÷òîáûc 6= (α1 − αi )/(βj − β1 )i 6= 1, j 6= 1(ýòî âîçìîæíî, òàê êàê ëþáîåñîäåðæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷èñåë). Ñëåäîâàòåëüíî,(θ − αi )/c 6= βjÒîãäà ìíîãî÷ëåíΦ(x) = G((θ − x)/c)èìåþò â òî÷íîñòè îäèí îáùèé êîðåíüîí ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàä50.4ïðèc ∈ K,K(θ)ïðè âñåõi, j ,êðîìåèìååò ñâîèì êîðíåìα1 .α1 ,i = j = 1.íî íåα2 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
