Главная » Просмотр файлов » Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра

Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 62

Файл №1112313 Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра) 62 страницаЕ.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313) страница 622019-04-25СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

, Φn−1 } = {Φ1 , . . . , Φn−1 }. Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïðè ëþáîì k îòîáðàæåíèå Φk2n−1ðåàëèçóåò öèêëè÷åñêóþ ïîäñòàíîâêó íà ìíîæåñòâå êîðíåé {ε, ε , . . . , ε}. 2Ýíäîìîðôèçìû2Óòâåðæäåíèå 4. Ïðè ïðîñòîì n ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ ε íàä ïîëåì Q ðàâåí f (x) = 1 + x +. .

. + xn−1 .Äîêàçàòåëüñòâî.Äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â íåðàçëîæèìîñòè ìíîãî÷ëåíà f (x) íàä ïîëåì Q. Ïðåäf (x) = u(x)v(x), ãäå u(x), v(x) ∈ Q[x]. Âûáåðåì ëþáîå k îò 1 äî n − 1 è ðàññìîòðèìýíäîìîðôèçì Φ = Φk . Ïóñòü ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà u(x) ðàâíà m. Òîãäà îí èìååò m ðàçëè÷íûõ êîðíåéz1 , . . .

, zm ⊂ {ε, ε2 , . . . , εn−1 } (ñëåäñòâèå èç òåîðåìû Áåçó). Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 1, âñå ÷èñëàz1 , Φ(z1 ), Φ2 (z1 ), . . . , Φn−2 (z1 ) ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè u(x).  ñèëó óòâåðæäåíèÿ 3 ýòè ÷èñëà ïîïàðíîðàçëè÷íû ⇒ m = n − 1. 2ïîëîæèì, ÷òîÝíäîìîðôèçìû ïîëÿ, ÿâëÿþùèåñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè, íàçûâàþòñÿôèçìàìè.àâòîìîð-Óòâåðæäåíèå 5. Ïðè ïðîñòîì n ýíäîìîðôèçìû Φ1 , .

. . , Φn−1 óòâåðæäåíèÿ 2 ÿâëÿþòñÿ àâòîìîðôèçìàìè ïîëÿ Q(ε), îñòàâëÿþùèìè íà ìåñòå ýëåìåíòû ïîëÿ Q, è èñ÷åðïûâàþò âñå ìíîæåñòâîàâòîìîðôèçìîâ òàêîãî òèïà.Äîêàçàòåëüñòâî.Äàííûå îòîáðàæåíèÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íû â ñèëó òåîðåìû î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ. òî æå âðåìÿ, ëþáîé àâòîìîðôèçìêàêîãî-òîiîò1äîèç ýíäîìîðôèçìîâ49.8n − 1 (ïðèΦi . 2Φ,Q, ïåðåâîäèò ε â εi äëÿ⇒ Φ ñîâïàäàåò ñ îäíèìîñòàâëÿþùèé íà ìåñòå ýëåìåíòû èçàâòîìîðôèçìåεíå ìîæåò ïåðåéòè â0ε = 1)Àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëàÊîìïëåêñíîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿàëãåáðàè÷åñêèì,åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà íàä ïîëåì ðà-öèîíàëüíûõ ÷èñåë.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíî íàçûâàåòñÿòðàíñöåíäåíòíûì.Èçó÷åííûå íàìè ñâîéñòâàêîíå÷íûõ ðàñøèðåíèé ïîëåé äåëàþò ïî÷òè î÷åâèäíûì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà.

Ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïîëåì.Äîêàçàòåëüñòâî.ÏóñòüαèβQ. Ðàññìîòðèì ïîëåα, è ïîëå Q(α)(β), ïîëó÷åííîå èç Q(α) ïðèñîåäèíåíèåì ýëåìåíòà β êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà èç êîëüöà Q(α)[x] (ÿñíî, ÷òî Q[x] ⊂ Q(a)[x]). Òîãäà ðàñøèðåíèåQ ⊂ Q(α)(β) ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì ðàñøèðåíèåì. Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò γ êîíå÷íîãî ðàñøèðåíèÿ2nïîëÿ Q ÿâëÿåòñÿ êîðíåì íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà íàä Q, èíà÷å ýëåìåíòû 1, γ, γ , . .

. , γáûëè áûëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä Q ïðè ëþáîì n. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà α ± β, αβ è α/β (ïðè β 6= 0) ÿâëÿþòñÿàëãåáðàè÷åñêèìè. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë åñòü ïîäïîëå â C. 2Q(α),ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè êàêèõ-òî ìíîãî÷ëåíîâ íàäïîëó÷åííîå ïðèñîåäèíåíèåì êQýëåìåíòàÄîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1750.1Êðàòíûå êîðíè è ïðîèçâîäíûåÏðîèçâîäíîé ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåíf 0 (x) = a1 + 2a2 x + . . . + nan xn−1 .Ðàññìàòðèâàÿ f (x) êàê ôóíêöèþ îò x (íàïðèìåð, â ñëó÷àå âåùåñòâåííûõ êîýôôèöèåíòîâ) è âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíóþ ïî ïðàâèëàì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ìû ïîëó÷èì,î÷åâèäíî, ôóíêöèþ, ñîâïàäàþùóþ ñ f 0 (x).Óòâåðæäåíèå.

Ìíîãî÷ëåí f (x) íàä ÷èñëîâûì ïîëåì K ⊂ C èìååò òîëüêî ïðîñòûåêîðíè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîãî÷ëåíû f (x) è f 0 (x) âçàèìíî ïðîñòû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (x) èìååò êîðåíü θ êðàòíîñòè k . Òîãäàf (x) = (x − θ)k g(x), g(θ) 6= 0.f 0 (x) = k(x − θ)k−1 g(x) + (x − θ)k g 0 (x).⇒Ïðè k ≥ 2 íàõîäèì f 0 (θ) = 0. Ïîýòîìó θ ÿâëÿåòñÿ îáùèì êîðíåì ìíîãî÷ëåíîâ f (x) èf 0 (x) ⇒ èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü èìååò ñòåïåíü ≥ 1.

2Âàæíîå íàáëþäåíèå: åñëè f (x) ∈ K[x], òî f 0 (x) ∈ K[x]. Ïîýòîìó âñå êîýôôèöèåíòûèõ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ ïðèíàäëåæàò òîìó æå ïîëþ K . Îòñþäà ïîëó÷àåìïîëåçíîåÑëåäñòâèå. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä ïîëåì K ⊂ C äëÿ ëþáîãî ÷èñëà θ ∈ C èìååòòîëüêî ïðîñòûå êîðíè.Çàäà÷à.Äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåíÇàäà÷à.Ìíîãî÷ëåíf (z) =nPal z lf (x) = 1 +ñòåïåíènx1!+x22!+ .... +èìååò êîðåíüζxnn! íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.êðàòíîñòèm.Äîêàçàòü, ÷òîl=0nXal lk ζ k = 0,1 ≤ k ≤ m − 1.l=050.2Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàçíûõ çàäà÷àõ âîçíèêàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x1 , x2 , ...

, óäîâëåòâîðÿþùèå ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì âèäàa0 xn + a1 xn+1 + . . . + ak xn+k = 0,n = 0, 1 ... ,(∗)ñ çàäàííûìè êîýôôèöèåíòàìè a0 , . . . , ak .  ñëó÷àå a0 , ak 6= 0 óðàâíåíèå (∗) íàçûâàåòñÿðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì ïîðÿäêà k . Ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ299300Ëåêöèÿ 50x0 , x1 , . . . , xk−1 îíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò çíà÷åíèÿ xk , xk+1 , ... . Îäíàêî, ðåøåíèå xnóðàâíåíèÿ (∗) ìîæíî âûðàçèòü è ñ ïîìîùüþ ïîëåçíîé ÿâíîé ôîðìóëû.×òîáû åå ïîëó÷èòü, áóäåì èñêàòü xn â âèäå xn = z n , ãäå z 6= 0.

Òîãäà, â ñèëó (∗),a0 z n + a1 z n+1 + . . . + ak z n+k = 0⇔a0 + a1 z + . . . + ak z k = 0.Òàêèì îáðàçîì, xn = z n óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì (∗) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,êîãäà z ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f (x) = a0 + a1 x + . . . + ak xk .Ñëó÷àé ïðîñòûõ êîðíåé. Åñëè f (x) èìååò k ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ êîðíåé z1 , . .

. , zk(â îáùåì ñëó÷àå êîìïëåêñíûõ), òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíò c1 , . . . , ck ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäàxn = c1 z1n + . . . + ck zkn(∗∗)áóäåò, î÷åâèäíî, ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (∗). Áîëåå òîãî, ëþáîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ââèäå (∗∗), òàê êàê xn îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî íà÷àëüíûì çíà÷åíèÿì x0 , . . . , xk−1 , àêîíñòàíòû c1 , . . . , ck îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèéc1 z1n + . . . + ck zkn = xn ,n = 0, 1, .

. . , k − 1,äëÿ êîòîðîé ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ÿâëÿåòñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé Âàíäåðìîíäà äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ óçëîâ z1 , . . . , zk .Ñëó÷àé êðàòíûõ êîðíåé. Åñëè ìíîãî÷ëåí f (x) èìååò êðàòíûå êîðíè, òî ôîðìóëà (∗∗) óæå íå îïèñûâàåò âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (∗). ×òîáû ïîëó÷èòü k ëèíåéíîíåçàâèñèìûõ ðåøåíèé è â ýòîì ñëó÷àå, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü ñëåäóþùåå.Ëåììà 1. Ïóñòü z êîðåíü f (x) êðàòíîñòè γ . Òîãäà ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì0 ≤ s ≤ γ−1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà xsn = ns z n , n = 0, 1, ...

, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìèóðàâíåíèÿ (∗).Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî,a0 ns z n + a1 (n + 1)s z n+1 + ... + ak (n + k)s z n+k =n(a0 ns−1 z n + a1 (n + 1)s−1 z n+1 + ... + ak (n + k)s−1 z n+k ) + z n+1 (a1 + 2a2 z + ... + kak z k−1 ).Âûðàæåíèå âî âòîðîé ñêîáêå ýòî çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé f 0 (z). Ïîñêîëüêó z êðàòíûéêîðåíü, ïîëó÷àåì f 0 (z) = 0. Äàëåå ïðèìåíÿåì èíäóêöèþ ïî s. 2Ëåììà 2. Ïóñòü äàíû ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå ÷èñëà z1 , . .

. , zm è íàòóðàëüíûå÷èñëà γ1 , . . . , γm òàêèå, ÷òî γ1 + . . . + γm = k . Òîãäà ñòîëáöûn k−1γ1 −1 n k−1[z1n ]k−1z1 ]n=0 ,n=0 , [nz1 ]n=0 , . . . , [n... ,n k−1n k−1n k−1[zm]n=0 , [nzm]n=0 , . . . , [nγm −1 zm]n=0 ,(1)îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó.Äîêàçàòåëüñòâî. Äàííàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç m ïîäñèñòåì äëÿ ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ÷èñåë z1 , . . . , zm , ïðè ýòîì â ïîäñèñòåìå äëÿ zs èìååòñÿ γs ñòîëáöîâ. Ìîæíî ïðîâåðèòü,÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà, íàòÿíóòàÿ íà ñòîëáöû ïîäñèñòåìû äëÿ zs ñîâïàäàåò ñ ëèíåéíîéîáîëî÷êîé äëÿ ñòîëáöîân k−1n k−1n k−1[zsn ]k−1n=0 , [n zs ]n=0 , [n(n − 1) zs ]n=0 , . . . , [n(n − 1)...(n − γs + 2) zs ]n=0 .(2)Ïîýòîìó ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñòîëáöîâ âèäà (1) ðàâíîñèëüíà ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû, ñîñòàâëåííîé èç ñòîëáöîâ âèäà (2) ïðè s = 1, .

. . , m. Ïóñòü Ak ìàòðèöàÅ. Å. Òûðòûøíèêîâ301ïîðÿäêà k , ñîñòàâëåííàÿ èç ñòîëáöîâ âèäà (2). ×òîáû âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûAk , âû÷òåì èç êàæäîé åå ñòðîêè, êðîìå ïåðâîé, ïðåäûäóùóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà z1 .Íåñëîæíûå, õîòÿ è ãðîìîçäêèå, âûêëàäêè ïðèâîäÿò ê ñîîòíîøåíèþ det Ak = c det Ak−1 ,ãäå c 6= 0, à Ak−1 îáîçíà÷àåò ìàòðèöó ïîðÿäêà k − 1, âèä êîòîðîé àíàëîãè÷åí âèäó ìàòðèöû Ak ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî γ1 ñëåäóåò çàìåíèòü íà γ1 − 1. Äàëåå ïî èíäóêöèè.250.3Ïîëå ðàçëîæåíèÿÐàññìîòðèì ìíîãî÷ëåín−1f (x) = a0 + . . . + an−1 xnYn+x =(x − xi ) ∈ K[x],K ⊂ C.i=1ÏîëåL = K(x1 , . . .

, xn ) íàçûâàåòñÿ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f (x).K ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèñîåäèíåíèÿ êîðíåé x1 , . . . , xn :Êîíå÷íî,Lìîæåò áûòüïîëó÷åíî èçK ⊂ K(x1 ) ⊂ K(x1 )(x2 ) ⊂ . . . ⊂ K(x1 )(x2 ) . . . (xn ) = L. äåéñòâèòåëüíîñòè ïîëå÷èñëàθ ∈ L(âîîáùå ãîâîðÿ,Lθìîæíî ïîëó÷èòü èçîòëè÷íî îò êîðíåéK ïðèñîåäèíåíèåì âñåãîf (x)). Äàííûé ðåçóëüòàòëèøü êàêîãî-òî îäíîãîïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ ñëåäóþùåé ëåììû.Ëåììà. Ïóñòü α è β ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíîâ íàä ïîëåì K ⊂ C. ÒîãäàK(α)(β) = K(θ)äëÿ êàêîãî-òî ÷èñëà θ ∈ K(α)(β).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü F (x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä K äëÿ α, èìåþùèé (êàê ìû çíàåì,α1 = α, α2 , . .

. , αk , à G(x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä K äëÿ β , èìåþùèé êîðíèβ1 = β, β2 , . . . , βm . ×èñëî θ ïîïûòàåìñÿ íàéòè â âèäåïðîñòûå) êîðíèc 6= 0,θ = α1 + cβ1 ,ïðè÷åì âûáåðåìïîäïîëå âCcòàê, ÷òîáûc 6= (α1 − αi )/(βj − β1 )i 6= 1, j 6= 1(ýòî âîçìîæíî, òàê êàê ëþáîåñîäåðæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷èñåë). Ñëåäîâàòåëüíî,(θ − αi )/c 6= βjÒîãäà ìíîãî÷ëåíΦ(x) = G((θ − x)/c)èìåþò â òî÷íîñòè îäèí îáùèé êîðåíüîí ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàä50.4ïðèc ∈ K,K(θ)ïðè âñåõi, j ,êðîìåèìååò ñâîèì êîðíåìα1 .α1 ,i = j = 1.íî íåα2 , . . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,77 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6451
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее