Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 65
Текст из файла (страница 65)
. ∪ Km .(∗)Ëåììà 1.  ïðîèçâîëüíîé êîíå÷íîé ãðóïïå G ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ñîïðÿæåííûõ ñ çàäàííûì ýëåìåíòîìa, ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ïîðÿäêà ãðóïïû.Äîêàçàòåëüñòâî.a.Ïóñòü−1G(a) = {h1 ah−11 , . . . , hs ahs } ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ, ñîïðÿæåííûõ ñÇàìåòèì, ÷òî−1hi ah−1= hj ah−1⇔ (h−1ijj hi )a = a(hj hi ).H(a) ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ èç G, êîììóòèðóþùèõ ñ a. Ýëåìåíòàðíî ïðîâåðÿåòñÿ,H(a) ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé â G (ïîäãðóïïà H(a) íàçûâàåòñÿ öåíòðàëèçàòîðîì ýëåìåíòà a).
ÒàêèìÎáîçíà÷èì ÷åðåç÷òîîáðàçîì,hi ah−1= hj ah−1⇔ h−1ijj hi ∈ H(a) ⇔ hi H(a) = hj H(a).Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî ñîïðÿæåííûõ ñãðóïïåaýëåìåíòîâ ðàâíî ÷èñëó ñìåæíûõ êëàññîâ ãðóïïûGïî ïîä-H(a). 2Ëåììà 2.  ïðîèçâîëüíîé ãðóïïå G ïîðÿäêà pk ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a 6= e (îòëè÷íûé îò åäèíèöû),êîììóòèðóþùèé ñî âñåìè ýëåìåíòàìè èç G.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèåýëåìåíòîâ. Ñîãëàñíî ëåììå 1, ïîðÿäîêKi(∗)ãðóïïûpk ièìååò âèäGíà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû ñîïðÿæåííûõ(äåëèòåëü ÷èñëàKi , ñîñòîÿùèõ èç îäíîãî ýëåìåíòà, äîëæíî äåëèòüñÿ íà p ⇒a = hah−1 ∀ h ∈ G ⇒ ah = ha ∀ h ∈ G. 2êëàññîâ÷òîÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.ýëåìåíòàìè èçG.Ñîãëàñíî ëåììå 2, èìååòñÿ ýëåìåíòÏóñòü åãî ïîðÿäîê ðàâåípl .pk ).Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ÷èñëîñóùåñòâóåò ýëåìåíòa 6= e,a 6= e òàêîé,êîììóòèðóþùèé ñî âñåìèÒîãäà ýëåìåíòl−1b = apèìååò ïîðÿäîêp.Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòîìòàê êàê còåïåíè ýëåìåíòàbêîììóòèðóþò ñî âñåìè ýëåìåíòàìè èç3 Òàêèå ãðóïïû íàçûâàþòñÿïðèìàðíûìè.b, ÿâëÿåòñÿG.
2íîðìàëüíûì äåëèòåëåì,Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 1952.1Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêàÌû óæå äîêàçàëè, ÷òî ëþáàÿ ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà â íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç óðàâíåíèé(1), (2)èëè(3).Äëÿ îïèñàíèÿ âñåõ âîçìîæíûõ ñëó÷àåâ èíîãäà ïðåä-ëàãàåòñÿ ñëåäóþùàÿ êëàññèôèêàöèÿ:(1)x2 y 2+ 2 =1a2bx2 y 2+ 2 =0a2bx2 y 2− 2 =1a2b(ýëëèïñ);x2 y 2+ 2 = −1a2b(ìíèìûé ýëëèïñ);(ïàðà ìíèìûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ);x2 y 2− 2 =0a2b(ãèïåðáîëà);(ïàðà ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ);(2)y 2 = 2px(ïàðàáîëà);(3)y 2 = a2(ïàðà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ);y 2 = −a252.2y2 = 0(ïàðà ñîâïàäàþùèõ ïðÿìûõ);(ïàðà ìíèìûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ).Èíâàðèàíòû ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêàÐàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèåf (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0â çàäàííîéäåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è îïðåäåëèòåëèI2 = deta11a12a12a22,a11I3 = det a12a13a12a22a23a13a23 .a33Òåîðåìà îá èíâàðèàíòàõ.
Çíà÷åíèÿ îïðåäåëèòåëåé I2 è I3 íå èçìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò çàäàííîéäåêàðòîâîé ê ëþáîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ïåðåõîä ê íîâîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäàåòñÿ ôîðìóëàìèx = p11 x0 + p12 y 0 + c1 ,y = p21 x0 + p22 y 0 + c2 .⇒xy=P+ c,P =p11p21p12p22, c= c1.c2P > P = I (â ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñíûõ âåêòîðîâ äåêàðòîâûõ ñèñòåì).e2 è Ae3 àíàëîãè÷íûå ìàòðèöûÎáîçíà÷èì ÷åðåç A2 è A3 ìàòðèöû â îïðåäåëèòåëÿõ I2 è I3 .
Ïóñòü A>>eeíîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òîãäà A2 = P A2 P, A3 = Q A3 Q, ãäå >P cP0>Q=, Q = >⇒ det Q = det P, det Q> = det P > .0 1c1Âàæíîå íàáëþäåíèå:âx0y0309310Ëåêöèÿ 52Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îïðåäåëèòåëåé⇒e2 = det P > det A2 det P = det (P > P ) det A2 = det A2 ,det Ae3 = det P > det A3 det P = det (P > P ) det A3 = det A3 . 2det AÎïðåäåëåíèå.52.3ÎïðåäåëèòåëèI2èI3íàçûâàþòñÿèíâàðèàíòàìèëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà.Îïðåäåëåíèå òèïà ëèíèè(1), òî, î÷åâèäíî,I2 > 0. Äëÿ ãèïåðáîëûîòíîñèòñÿ ê ñëó÷àþ (2) èëè (3).Åñëè â êàêîé-ëèáî äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå âèäàI2 = λ1 λ2 6= 0.íåîáõîäèìî, ÷òîáûÄëÿ òîãî ÷òîáû ëèíèÿ áûëà ýëëèïñîì, íåîáõîäèìî, ÷òîáûI2 < 0.Åñëè æåI2 = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ëèíèÿ(2), òî0 0 b= det 0 λ2 0 = −λ2 b2 6= 0.b 0 0Åñëè ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå âèäàI3Äëÿ óðàâíåíèÿ âèäà(3)íàõîäèì0 0= det 0 λ20 0I300 = 0.cÈíâàðèàíòû ïîëåçíû äëÿ îïðåäåëåíèÿ òèïà ëèíèè è â òîì ñëó÷àå, êîãäà îáùåå óðàâíåíèå çàäàíîâ ïðîèçâîëüíîé àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.Òåîðåìà î çíàêàõ èíâàðèàíòîâ.
Çíàêè îïðåäåëèòåëåé I2 è I3 íå èçìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê ëþáîéàôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.Äîêàçàòåëüñòâî. ñëó÷àå àôôèííûõ ñèñòåì íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òîe3 = det A3 (det Q) . 2det A2 (det P ) , det A22P >P = I .Îäíàêî,e2 =det AÄîïîëíåíèå ê ëåêöèè 2253.1Ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâàÏðèìåð èíòåðâàëà(a, b)(íåïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñ ðàññòîÿíèåìρ(x, y) = |x − y|)íàâî-äèò íà ìûñëü î òîì, ÷òî åñëè â íåïîëíîì ïðîñòðàíñòâå íå õâàòàåò òî÷åê äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðåäñòàâëÿòüïðåäåëû âñåõ âîçìîæíûõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, òî åãî ñ ëåãêîñòüþ ìîæíî ðàñøèðèòü äî ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà.
Ýòà èäåÿ ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé àëãåáðàè÷åñêîéêîíñòðóêöèè ïîïîëíåíèÿ.ÏóñòüM ïðîèçâîëüíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ôóíäàìåíòàëü-íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé òî÷åê èçM,ââåäåì íà íåì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè{xk } ∼ {y k }⇔ρ(xk , y k ) → 0ïðèk → ∞,M 0 ìíîæåñòâî âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ðàññòîÿíèå íà M 0 îïðåäåëèì òàêèìkîáðàçîì: åñëè [{x }] è [{y }] êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè, ïîðîæäàåìûå ôóíäàìåíòàëüíûìè ïîñëåäîâàkkòåëüíîñòÿìè {x } è {y }, òî ïóñòüè îáîçíà÷èì ÷åðåçkρ0 ( [{xk }], [{y k }] ) = lim ρ(xk , y k ).k→∞Êîíå÷íûé ïðåäåë ñóùåñòâóåò ïîòîìó, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüρ(xk , y k )ôóíäàìåíòàëüíà ýòî ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èç íåðàâåíñòâà|ρ(xk , y k ) − ρ(xl , y l )| ≤ ρ(xk , xl ) + ρ(y k , y l ).Âàæíî òàêæå, ÷òî ïðåäåë íå çàâèñèò îò âûáîðà êîíêðåòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé â êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè: åñëè{xk } ∼ {uk }è{y k } ∼ {v k },òî|ρ(uk , v k ) − ρ(xk , y k )| ≤ ρ(uk , xk ) + ρ(y k , v k ) → 0.Àêñèîìû ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà äëÿM0ñ ðàññòîÿíèåìρ0ïðîâåðÿþòñÿ áåç êàêèõ-ëèáî çàòðóäíå-íèé.Ýëåìåíòa ∈ Máóäåì îòîæäåñòâëÿòü ñ êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, âñå÷ëåíû êîòîðîé îäèíàêîâû è ðàâíûa:a ↔ A = [{ak }],Ïóòüa, b ∈ Mak = a ∀ k.a ↔ A è b ↔ B , òî ρ(a, b) = ρ0 (A, B).M âëîæåíî â M 0 ; ïîñòðîåííîå íàìè ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâîïîïîëíåíèåì ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà M .èA, B ∈ M 0 .ãäåÒîãäà åñëèÒàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òîM0íàçûâàåòñÿÓòâåðæäåíèå.
M 0 ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòèX1 = [{xk1 }], X2 = [{xk2 }], . . .îáðàçóþò âM0ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.l ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xkl , k = 1, 2, . . . , ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé.nlkÏîýòîìó ñóùåñòâóåò íîìåð nl ≥ l òàêîé, ÷òî ρ(xl , xl ) < 1/l ïðè âñåõ k ≥ nl . Îïðåäåëèì ïîñëåäînlllâàòåëüíîñòü {y } ðàâåíñòâàìè y = xl , l = 1, 2 . .
. , è äîêàæåì, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé.Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.  ñèëó ôóíäàìåíòàëüíîñòè {Xl } ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé,0÷òî ïðè l, m > N èìååì ρ (Xl , Xm ) < ε, òî åñòü,Ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì∃ N 0 = N 0 (l, m, N ) : l, m > N, k > N 0 ⇒ ρ(xkl , xkm ) < ε.311312Äëÿ ëþáûõËåêöèÿ 53l, m > max{N, ε−1 }èk > max{n(l, m, ε), nl , nm }íàõîäèìρ(y l , y m ) = ρ(xnl l , xnmm ) ≤ ρ(xnl l , xkl ) + ρ(xkl , xkm ) + ρ(xkm , xnmm ) < 3ε.Îñòàåòñÿ ââåñòè êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòèY = [{y k }] ∈ M 0è äîêàçàòü, ÷òîXl → Y .Ýòî âûòåêàåò èçíåðàâåíñòâà2ρ(xkl , y k ) ≤ ρ(xkl , xnl l ) + ρ(xnl l , xnk k ).Çàìåòèì, ÷òî âM0íåò ëèøíèõ ýëåìåíòîâ: êàæäûé ýëåìåíòâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ èçMY ∈ M0ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäî-(äîêàæèòå!).Òó æå òåõíèêó ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ïîïîëíåíèÿ íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà äàííîì ñëó÷àå ñëåäóåò ââåñòè íàM0Mñ íîðìîé||·||M .îïåðàöèè ñëîæåíèÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè è óìíîæåíèÿ èõ íà÷èñëà êàê îïåðàöèè íàä ïîðîæäàþùèìè ýòè êëàññû ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè.
Ýòè îïåðàöèè íå âûâîäÿòèç ìíîæåñòâàM 0 , òàê êàê ñóììà ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, óìíîæåííûõ íà ëþáûå ÷èñëà,îñòàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.Òàêèì îáðàçîì,M0ïðîñòðàíñòâî. Íîðìà âñòàíîâèòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, àM0äëÿ[{xk }]Mìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê åãî ïîä-îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:|| [{xk }] ||M 0 = lim ||xk ||M .k→∞Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà| ||xk ||M − ||xl ||M | ≤ ||xk − xl ||M .Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 2354.1Ïîäïðîñòðàíñòâà è çàìêíóòîñòüÅñëè V íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, òî ëþáîå åãî ïîäïðîñòðàíñòâî L ⊂ V êîíå÷íîéðàçìåðíîñòè áóäåò çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì.mP ñàìîì äåëå, åñëè L = L(e1 , . . . , em ) è xk =xki ei → x ∈ V , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòüi=1xk îãðàíè÷åíà ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà V .
Ñëåäîâàòåëüíî, îíà ïðèíàäëåæèò êàêîìóòî çàìêíóòîìó îãðàíè÷åííîìó øàðó Z ⊂ L â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå L.  ñèëóêîìïàêòíîñòè Z ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xkl , cõîäÿùàÿñÿ ê âåêòîðó èç Z ⇒x ∈ Z ⊂ L.Åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî L áåñêîíå÷íîìåðíî, òî îíî ìîæåò è íå áûòü çàìêíóòûì.Çàäà÷à. Äàíà ìàòðèöà A ∈ Rm×n . Äîêàçàòü çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà1{y = Ax, x = [x1 , .
. . , xn ]> , x1 , . . . , xn ≥ 0}.54.2Åäèíè÷íàÿ ñôåðà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâåÏóñòü V íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé || · || è S = {x ∈ V : ||x|| = 1} åäèíè÷íàÿ ñôåðà.Òåîðåìà. Åäèíè÷íàÿ ñôåðà S êîìïàêòíà â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå V òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà V êîíå÷íîìåðíî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ñóùåñòâó, íóæíî äîêàçàòü ëèøü òî, ÷òî â áåñêîíå÷íîìåðíîìïðîñòðàíñòâå V ñôåðà S íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òîêàêèì-òî îáðàçîì íàéäåíû âåêòîðû x1 , . . . , xk òàêèå, ÷òî||x1 || = . . . = ||xk || = 1,||xi − xj || ≥ 1 ïðè i 6= j.(∗∗)Ïîñòðîèì âåêòîð xk+1 òàêîé, ÷òî ||xk+1 || = 1 è ||xi − xk+1 || ≥ 1 ïðè 1 ≤ i ≤ k .Áóäó÷è áåñêîíå÷íîìåðíûì, V ñîäåðæèò y ∈/ Lk = L(x1 , . . . , xk ). Ïî ëåììå î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè, äëÿ íåêîòîðîãî z0 ∈ Lkγ = inf ||y − z|| = ||y − z0 ||.z∈Lk1  íåêîòîðûõ êíèãàõ ïîä ïîäïðîñòðàíñòâàìè â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ïîíèìàþòñÿ òîëüêî çàìêíóòûå ïîäïðîñòðàíñòâà, à ïîäïðîñòðàíñòâà â òðàäèöèîííîì äëÿ íàñ ñìûñëå íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìèìíîãîîáðàçèÿìè (è ìîãóò íå áûòü çàìêíóòûìè).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
