Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 67
Текст из файла (страница 67)
. . , qek äàæå òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ñàìèîðòîãîíàëüíû ñ ñóùåñòâåííî ìåíüøåé òî÷íîñòüþ.55.2Îáîáùåíèå òåîðåìû î ïåðïåíäèêóëÿðåÒåîðåìó î ïåðïåíäèêóëÿðå ìîæíî äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ñîâåðøåííî äðóãîé òåõíèêè ìåíåå êîíñòðóêòèâíîé, íî ðàáîòàþùåé òàêæå â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîìåðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâàL.Òåîðåìà. Ïóñòü V ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, à L åãî çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî. Òîãäà äëÿëþáîãî âåêòîðà x ñóùåñòâóþò è åäèíñòâåííû ïåðïåíäèêóëÿð h ⊥ L è ïðîåêöèÿ z0 ∈ L òàêèå, ÷òîx = z0 + h.
Ïðè ýòîì|h| = |x − z0 | < |x − z| ∀ z ∈ L, z 6= z0 .Äîêàçàòåëüñòâî.òåëüíîñòüzn ∈ LÏóñòüx 6= Lñî ñâîéñòâîìèγ = inf |x − z|z∈L22 ðàññòîÿíèå ìåæäó2γ ≤ |x − zn | ≤ γ + 1/n.xèL.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâà- ñèëó òîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà,11|x − zn |2 + |x − zm |2 = 2| (zm − zn )|2 + 2|x − (zn + zm )|2 ⇒ |zn − zm |2 ≤ 2(1/n + 1/m).22Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòüznÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé è, â ñèëó ïîëíîòû ãèëüáåðòîâàz0 ∈ L. Ïðè ýòîìz1 ∈ L è |x − z1 | = γ , òîãäà,2222ïðèìåíÿÿ òîæäåñòâî ïàðàëëåëîãðàììà, íàõîäèì |z1 − z0 | = 2|x − z1 | + 2|x − z0 | − 4|x − (z1 + z0 )/2| ≤ 0⇒ z1 = z0 .Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî y = x − z0 ⊥ L.Âîçüìåì ëþáîé âåêòîð z ∈ L è çàïèøåì (y, z) = a + ib, a, b ∈ R. Åñëè a 6= 0, òî ïóñòü τ = a/|a|.Äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàõîäèìïðîñòðàíñòâà, ñõîäèòñÿ ê êàêîìó-òî âåêòîðóýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿz0äëÿxz0 ∈ V .Èç çàìêíóòîñòèLâûòåêàåò, ÷òîîïðåäåëåí îäíîçíà÷íî: ïóñòüγ 2 ≤ |x − z0 − ετ z|2 = |y − ετ z|2 ≤ |y|2 − 2ε|a| + ε2 |z|2 = γ 2 − 2ε|a| + ε2 |z|2 ⇒ |a| ≤ ε|z|2 /2.εb = 0.
2 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòèäîêàçàòü, ÷òî èÇàìå÷àíèå.äîëæíî áûòüa = 0.Àíàëîãè÷íàÿ âûêëàäêà (ñ çàìåíîéÄîêàçàíî, ïî ñóùåñòâó, ÷òî ýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿL. Çíàíèåx − z0 ⊥L.âåí äëÿ ïðîèçâîëüíîãî çàìêíóòîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâàòðåáóåòñÿ ëèøü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îðòîãîíàëüíîñòèz0î òîì, ÷òîzíàiz )ïîçâîëÿåòñóùåñòâóåò è åäèíñò-L ïîäïðîñòðàíñòâî,Äîïîëíåíèå ê ëåêöèè 2656.1Ñòðîåíèå âûïóêëûõ ìíîæåñòâÑóùåñòâîâàíèå îïîðíûõ ãèïåðïëîñêîñòåé ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî â Rn ëþáîå çàìêíóòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì (âîçìîæíî, áåñêîíå÷íîãî) ÷èñëàçàìêíóòûõ ïîëóïðîñòðàíñòâ.
Ïðèìå÷àòåëåí òàêæå ñëåäóþùèé ôàêò.Òåîðåìà. Ëþáàÿ òî÷êà çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà M ⊂ Rnÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé êîìáèíàöèåé êàêîé-òî êîíå÷íîé ïîäñèñòåìû óãëîâûõ òî÷åê ìíîæåñòâà M .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàííîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî ñîäåðæèòñÿ â ëèíåéíîì ìíî-ãîîáðàçèè ðàçìåðíîñòè n. Óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, åñëè n = 1. Ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïîn.
Íà÷íåì ñ ïðîèçâîëüíîé ãðàíè÷íîé òî÷êè x0 ∈ M . Ðàññìîòðèì ïðîõîäÿùóþ ÷åðåçíåå îïîðíóþ ãèïåðïëîñêîñòü π : (x, h) = (x0 , h). Ïåðåñå÷åíèå N = M ∩ π åñòü çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî, ïðèíàäëåæàùåå ëèíåéíîìó ìíîãîîáðàçèþðàçìåðíîñòè n − 1. Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþ, ëþáàÿ òî÷êà N 0 áóäåò âûïóêëîéêîìáèíàöèåé åãî óãëîâûõ òî÷åê.Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî óãëîâûå òî÷êè N ÿâëÿþòñÿ òàêæå óãëîâûìè òî÷êàìè ìíîæåñòâà M .  ñàìîì äåëå, ïóñòü òî÷êà x ∈ N ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé îòðåçêà,ñîåäèíÿþùåãî a, b ∈ M , a 6= b.
Î÷åâèäíî, a è b äîëæíû ïðèíàäëåæàòü îïîðíîé ãèïåðïëîñêîñòè π . À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x íå ÿâëÿåòñÿ óãëîâîé òî÷êîé äëÿ N .Äàëåå, ïóñòü x0 âíóòðåííÿÿ òî÷êà ìíîæåñòâà M . Ïðîâåäåì ÷åðåç íåå ïðÿìóþ,ïåðåñåêàþùóþñÿ ñ ãðàíèöåé ìíîæåñòâà M â òî÷êàõ x1 è x2 . Î÷åâèäíî, x0 ÿâëÿåòñÿâûïóêëîé êîìáèíàöèåé òî÷åê x1 è x2 , à îíè, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿþòñÿ âûïóêëûìèêîìáèíàöèÿìè óãëîâûõ òî÷åê äëÿ ïåðåñå÷åíèé M ñ ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç íèõ îïîðíûìèãèïåðïëîñêîñòÿìè. 2Çàìå÷àíèå.
Ðàçíûå òî÷êè M ñóòü âûïóêëûå êîìáèíàöèè, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûõïîäñèñòåì óãëîâûõ òî÷åê.Ñëåäñòâèå. Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ëèíåéíîé ôóíêöèè f (x) = c> x = c1 x1 + . . . + cn xn ,c, x ∈ Rn , íà çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì âûïóêëîì ìíîæåñòâå M ⊂ Rn äîñòèãàåòñÿ âíåêîòîðîé óãëîâîé òî÷êå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå f (x) äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå x0 ∈ M . Êàêè ëþáàÿ òî÷êà M , x0 ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé êîìáèíàöèåé êîíå÷íîãî ÷èñëà óãëîâûõ òî÷åê:x0 = s1 x1 + .
. .m xm , si ≥ 0, s1 + . . . + sm = 1. Îòñþäàf (x0 ) = s1 f (x1 ) + . . . + sm f (xm ) ≥ (s1 + . . . + sm ) min f (xi ) = min f (xi ). 21≤i≤m3191≤i≤m32056.2Ëåêöèÿ 56Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâàÂîïðîñû î ñèñòåìàõ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ ÿâëÿþòñÿ, ïî ñóùåñòâó, âîïðîñàìè î ñâîéñòâàõ ïåðåñå÷åíèé ïîëóïðîñòðàíñòâ (x, ak ) ≤ γk , 1 ≤ k ≤ m. Ïðè ýòîì âàæíî, êîíå÷íî,çíàòü, â êàêèõ ñëó÷àÿõ êàêèå-òî íåðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãèõ íåðàâåíñòâ.Îñíîâîé äëÿ îòâåòà íà äàííûé âîïðîñ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà Ôàðêàøà.
Ïóñòü a, a1 , . . . , am ∈ Rn , è ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåðàâåíñòâî(x, a) ≤ 0 ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (x, ak ) ≤ 0, 1 ≤ k ≤ m. Ýòîâîçìîæíî â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà a = s1 a1 + . . . + sm am äëÿ íåêîòîðûõíåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë s1 , . . .
, sm .Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè a = s1 a1 + . . . + sm am ïðè si ≥ 0, òî íåðàâåíñòâî (x, a) ≤ 0ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ (x, ak ) ≤ 0 î÷åâèäíûì îáðàçîì. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâînM = {v ∈ R : v =mXsk ak , sk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ m}.k=1Ýòî âûïóêëîå è çàìêíóòîå ìíîæåñòâî (äîêàæèòå!). Ïîýòîìó åñëè a ∈/ M , òî ñóùåñòâóåòýëåìåíò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ z0 ∈ M : |a − z0 | ≤ |a − z| ∀ z ∈ M .
Ïîëîæèìx0 = a − z0 . Òîãäà (x0 , z − z0 ) ≤ 0 ∀ z ∈ M ⇒ (x0 , ak ) ≤ 0, 1 ≤ k ≤ m. Êðîìåòîãî, (x0 , z) ≤ (x0 , z0 ) = (x0 , a − x0 ) < (x0 , a) ∀ z ∈ M . Ïîñêîëüêó 0 ∈ M , íàõîäèì0 < (x0 , a). Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî (x, a) ≤ 0 íàðóøàåòñÿ äëÿ âåêòîðà x = x0 ,êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå íåðàâåíñòâ (x0 , ak ) ≤ 0, 1 ≤ k ≤ m. 256.3Ïîèñê òî÷êè â ïåðåñå÷åíèè ãèïåðïëîñêîñòåéÃèïåðïëîñêîñòü â Cn ýòî ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè n − 1. Ïóñòü çàäàíî mãèïåðïëîñêîñòåéa11 x1 + . .
. + a1n xn = b1 ,...(∗)am1 x1 + . . . + amn xn = bm .Îáîçíà÷èì i-þ ãèïåðïëîñêîñòü ÷åðåç Mi . Î÷åâèäíî, èõ ïåðåñå÷åíèå M = M1 ∩ . . . ∩ Mmñîñòîèò èç âåêòîðîâ [x1 , . . . , xn ]> , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõóðàâíåíèé (∗). Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ïåðåñå÷åíèå m ãèïåðïëîñêîñòåé íå ïóñòî, òî îíîÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì ðàçìåðíîñòè n − r, ãäå r ðàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (∗).Ïóñòü â Cn ââåäåíî åñòåñòâåííîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.
Òîãäà Mi ìîæíî çàäàòüóðàâíåíèåì (x, ai ) = bi , ãäå ai = [ai1 , . . . , ain ]> , à ñèñòåìó (∗) çàïèñàòü â âèäå(x, a1 ) = b1 , . . . , (x, am ) = bm .Íàïðàâëÿþùåå ïîäïðîñòðàíñòâî äëÿ Mi èìååò âèä Li = {x : (x, ai ) = 0} ⇒ ai ⊥Li .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ãèïåðïëîñêîñòåé M íå ïóñòî. ßñíî, ÷òî M = xe + L,ãäå xe ∈ M ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (∗), à L = L1 ∩ .
. . ∩ Lm ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî âñåõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû.Äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (∗) ïîïðîáóåì èñïîëüçîâàòü ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èäåþ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð x0 ∈ Cn , íàéäåìáëèæàéøèé ê íåìó âåêòîð x1 ∈ M1 , çàòåì áëèæàéøèé ê x1 âåêòîð x2 ∈ M2 , è òàê äàëåå.Å. Å. Òûðòûøíèêîâ321Ïîëó÷èâ xm ∈ Mm , áóäåì ïîâòîðÿòü òå æå äåéñòâèÿ öèêëè÷åñêè: íàéäåì áëèæàéøèé êxm âåêòîð xm+1 ∈ M1 , è òàê äàëåå. 1Îáîçíà÷èì ÷åðåç x̂ áëèæàéøèé ê x0 âåêòîð èç L, è ïóñòü z k ≡ xk − x̂. Î÷åâèäíî,z k ∈ Lk ,zk − zk−1 = xk − xk−1 ⊥Lk .Òàêèì îáðàçîì, xk = xk−1 + tak , ãäå t îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì (xk , ak ) = bkxk = xk−1 +⇒bk − (xk−1 , ak )ak .(ak , ak )Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîMj = Mkm+j ,Lj = Lkm+j ,aj = akm+j ,1 ≤ j ≤ m,k = 1, 2 .
. . .Óòâåðæäåíèå. xk → x̂ ïðè k → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà, |z 0 |2 = |z k |2 +k−1P|z j+1 − z j |2 . Îòñþäàj=0kkρ(z , Li ) ≡ inf |z − y| ≤y∈LimX|z k+j+1 − z k+j | → 0,k → ∞.j=1Ôóíêöèÿ ρ(v, Li ) = inf |v − y| íåïðåðûâíà ïî v : ïóñòü p1 , p2 ∈ Li , v − p1 ⊥Li , w − p2 ⊥Li ;y∈liòîãäà|ρ(v, Li ) − ρ(w, Li )| = | |v − p1 | − |w − p2 | | ≤ |(v − w) − (p1 − P2 )| ≤ |v − w|.Ïîýòîìó åñëè z k → z , òî ρ(z, Li ) = 0 ïðè 1 ≤ i ≤ m. Ñëåäîâàòåëüíî, z ∈ L.Êðîìå òîãî, z 1 −z 0 ⊥L1 ⇒ z 1 −z 0 ⊥L. Ïîñêîëüêó z 0 ⊥L, íàõîäèì z 1 = z 0 +(z 1 −z 0 )⊥L.Àíàëîãè÷íî, z k ⊥L äëÿ âñåõ k .
Çíà÷èò, z⊥L. Òàêèì îáðàçîì, z = 0.ßñíî, ÷òî ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü |z k | ìîíîòîííî óáûâàåò è ïîýòîìó ñõîäèòñÿ.Ïîñëåäîâàòåëüíîñü âåêòîðîâ z k îãðàíè÷åíà è ïîýòîìó, â ñèëó êîíå÷íîé ðàçìåðíîñòèïðîñòðàíñòâà, èìååò ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Åñëè z åå ïðåäåë, òî, ñîãëàñíî ïðåäûäóùåìó, z = 0. Çíà÷èò, |z k | → 0 ⇒ z k → 0.
256.4ÏóñòüËèíåéíûå ôóíêöèîíàëû è ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿVz∈V èf (x) = (x, z). Èç íåðàâåíñòâà ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà âûòåêàåò, ÷òî f (x) ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà V . Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî äàííûé ïðèìåð èìååò îáøèé õàðàêòåð. ïðîèçâîëüíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Ôèêñèðóåì ëþáîé âåêòîððàññìîòðèì ôóíêöèþîãðàíè÷åííûéÒåîðåìà Ðèññà. Åñëè V ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, òî äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà f ñóùåñòâóåò âåêòîð h ∈ V òàêîé, ÷òîf (x) = (x, h)Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì âV∀ x∈Vè ||f || = |h|.ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâîL = {x ∈ V : f (x) = 0}1 Ìåòîä îïèñàí â ðàáîòå ïîëüñêîãî ìàòåìàòèêà Êà÷ìàæà (1937 ã.).322Ëåêöèÿ 56è åãî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèåM = L> .â M èìååòñÿÏðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òîíåíóëåâîé âåêòîð h0 .
Òîãäà f (h0 ) 6= 0 (èíà÷å h0 ∈ L èh0 ⊥L ⇒ h0 = 0). Åñëè h ïðîèçâîëüíûé âåêòîð èç M è α = f (h)/f (h0 ), òî z ≡ h − αh0 ∈ L èîäíîâðåìåííî z⊥L ⇒ z = 0.Ñëåäîâàòåëüíî, dim M = 1 è ëþáîé âåêòîð x ∈ V äîïóñêàåò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå x = αh0 + z ,2ãäå z ∈ L. Ïîëîæèì α = f (h0 )/|h0 | è h = αh0 . Òîãäà f (x) = αf (h0 ) = (x, h).
Êðîìå òîãî, |f (x)| ≤ |h||x|è f (h/|h|) = |h|⇒ ||f || = |h|.Çàìåòèì, ÷òî ïîëíîòà ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ïîêà åùå íå èñïîëüçîâàëàñü. Îíà íóæíà ëèøüäëÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìîòðåòü îñîáûé ñëó÷àé, êîãäà ïîäïðîñòðàíñòâî⇒L = Výòîì ñëó÷àåf (x) = 0 = (x, 0) ∀ x ∈ V .Míóëåâîå, è äîêàçàòü, ÷òî âÄëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òîLçàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî è âîñïîëüçîâàòüñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû î ïåðïåíäèêóëÿðå.
Òàêèì îáðàçîì,åñëèL 6= V ,56.5òîL>ñîäåðæèò íåíóëåâîé âåêòîð.2Äóàëüíûå íîðìûCn ëþáîé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë èìååò âèä f (x) = z ∗ x, ãäå z íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé âåêòîðnèç C .  ñèëó âçàèìíî-îäíîçíà÷íîãî ñîîòâåòñòâèÿ f ↔ z ñîïðÿæåííîå ïðîñòðàíñòâî â äàííîì ñëó÷àånnåñòåñòâåííûì îáðàçîì îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ C . Ïóñòü â C çàäàíà êàêàÿ-òî âåêòîðíàÿ íîðìà || · ||. Òîãäà íîðìà ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà f ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê íîðìà âåêòîðà z è, òàêèì îáðàçîì,nÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîé íîðìîé íà òîì æå ïðîñòðàíñòâå C :Â||z||0 =sup |z ∗ x|.||x||=1Íîðìà|| · ||0íàçûâàåòñÿ äóàëüíîé äëÿ íîðìû|| · ||.Óòâåðæäåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
