Е.Е. Тыртышников - Матричный анализ и линейная алгебра (1112313), страница 64
Текст из файла (страница 64)
L ìîæåòθ ∈ L. ÏîK ìíîãî÷ëåíà R(x) äëÿ θ ðàâíà ñòåïåíèëþáîì àâòîìîðôèçìå g ∈ Aut(L, K) èìååì R(g(θ)) = 0. Ïîýòîìó ÷èñëî÷èñëà êîðíåé ìíîãî÷ëåíà R(x), ïðèíàäëåæàùèõ ïîëþ L. 2Káûòü ïîëó÷åíî èçïðèñîåäèíåíèåì êàêîãî-òî îäíîãî ÷èñëàòåîðåìå î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ, ñòåïåíü ìèíèìàëüíîãî íàäðàñøèðåíèÿK ⊂ L.Ïðèàâòîìîðôèçìîâ íå áîëüøå×èñëî àâòîìîðôèçìîâK =Qè√L = Q( 3 2).LíàäKìîäåò îêàçàòüñÿ ìåíüøå ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ. Ïóñòü, íàïðèìåð,Òîãäà åäèíñòâåííûì àâòîìîðôèçìîìLíàäKÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííîå îòîáðà-æåíèå (äîêàæèòå!), à ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ ðàâíà 3.51.5Ðàñøèðåíèÿ ÃàëóàÅñëè ÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ ðàâíî ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñøèðåíèå íàçûâàåòñÿðàñøèðåíèåì Ãàëóà,à ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïîé Ãàëóà.Óòâåðæäåíèå.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàñøèðåíèå K ⊂ L áûëî ðàñøèðåíèåì Ãàëóà, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíî áûëî íîðìàëüíûì.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü L = K(θ) è R(x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ θ . Ïóñòü åãî ñòåïåíü ðàâíàm. Ïî òåîðåìå î ïðèñîåäèíåíèè êîðíÿ, ëþáîé ýëåìåíò èç L èìååò âèä α0 +α1 θ+. . .+αm−1 θm−1 , αi ∈ K .Çàìåòèì, ÷òî âñå êîðíè R(x) ïðîñòûå. Åñëè ïîëå L íîðìàëüíî íàä K , òî âñå îíè ïðèíàäëåæàò L. Ïóñòüζ ëþáîé êîðåíü R(x). Òîãäà îòîáðàæåíèå α0 + α1 θ + . . . + αm−1 θm−1 → α0 + α1 ζ + . .
. + αm−1 ζ m−1ÿâëÿåòñÿ àâòîìîðôèçìîì L íàä K . Çíà÷èò, ÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ ðàâíî ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ. ëþáîì ñëó÷àå ÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ íå áîëüøå ÷èñëà ðàçëè÷íûõ êîðíåé R(x), ïðèíàäëåæàùèõïîëþ L. Åñëè âñå m êîðíåé R(x) ïðèíàäëåæàò L, òî L ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿ R(x) è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿíîðìàëüíûì íàä K . 251.6ÏóñòüÏðîìåæóòî÷íûå ïîëÿ è ïîäãðóïïûH ïîäãðóïïà ãðóïïû(1)LíàäK(2)Aut(L, K). Îáîçíà÷èì ÷åðåçh(a) = a ∀ h ∈ H . Ëåãêî äîêàçàòü,Hïîëåì â öåïî÷êå K ⊂ L⊂ L.òàêèõ, ÷òîòî åñòü,G=ÏóñòüP÷òî ìíîæåñòâî ïðîìåæóòî÷íîå ïîëå â öåïî÷êåHLK ⊂ P ⊂ L.P.LHìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâÿâëÿåòñÿïðîìåæóòî÷íûìa∈Lïîëåì Ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî èç íîðìàëüíîñòèâûòåêàåò åãî íîðìàëüíîñòü òàêæå íàä ïîëåìK ⊂ LH ⊂ L.
Åñëè K ⊂ L ðàñøèðåíèå Ãàëóà, òî LH ⊂ L òàêæå ðàñøèðåíèå Ãàëóà⇒ ïîðÿäîê ãðóïïû H ðàâåí ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ (L : LH ). Åñëè H = G, òî (L : LH ) = (L : K) ⇒LH = K . Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè LH = K , òî ðàñøèðåíèå K ⊂ L åñòü ðàñøèðåíèå Ãàëóà è H = G.Ïóñòü L = K(θ). Òîãäà ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ìèíèìàëüíûé äëÿ θ ìíîãî÷ëåí íàä K èìååò âèäYΦ(x) =(x − g(θ)).Èòàê,g∈G306Ëåêöèÿ 51Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîìíîãî÷ëåíL ïîëå ðàçëîæåíèÿ äëÿ Φ(x). Ïîýòîìó K ⊂ L íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå.
Äàëåå,Yφ(x) =(x − h(θ))h∈HLH (â ñèëó âñå òåõ æå ôîðìóë Âèåòà è òåîðåìû î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãîK = LH .  ñèëó íåðàçëîæèìîñòè ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà Φ(x) = φ(x)â ïîäãðóïïå H ðàâíî ÷èñëó àâòîìîðôèçìîâ â ãðóïïå G ⇒ H = G. 2ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàä÷ëåíàõ) è, ñëåäîâàòåëüíî, íàä⇒÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ(3)Äëÿ ëþáîãî ïðîìåæóòî÷íîãî ïîëÿG = Aut(L, K).2PãðóïïàH =Aut(L, P ) ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïûÒåîðåìà. Åñëè L íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ K , òî P = LH íîðìàëüíîå ïîëå íàä K òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà H íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû G = Aut(L, K); ïðè ýòîì ãðóïïà Aut(P, K)èçîìîðôíà ôàêòîð-ãðóïïå G/H .PÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P = K(ζ).
Òîãäà ëþáîé ýëåìåíò a ∈ P èìååò âèä a = αi ζ i , αi ∈ K . ßñíî,÷òî ζ êîðåíü ñâîåãî ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà è g(ζ) áóäåò åãî æå êîðíåì äëÿ ëþáîãî àâòîìîðôèçìàg ∈ G.Åñëè ïîëå P íîðìàëüíî íàä K , òî âñå êîðíè äàííîãî ìíîãî÷ëåíà ïðèíàäëåæàò P ⇒ g(ζ) ∈ P .PP−1Çíà÷èò, (ghg)(ζ) = (g −1 g)(ζ) = ζ ∀ h ∈ H ⇒ (g −1 hg)( αi ζ i ) =αi ζ i . Òàêèì îáðàçîì, g −1 hg ∈H ∀h ∈ H, ∀g ∈ G ⇒ H ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû G.−1Åñëè H íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû G, òî (ghg)(ζ) = ζ ∀h ∈ H, ∀g ∈ G. Îòñþäà h(g(ζ)) =g(ζ) ∀ h ∈ H ⇒ g(ζ) ∈ P . Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé àâòîìîðôèçì g ∈ G ïðè äåéñòâèè íà ÷èñëà èç Pïåðåâîäèò èõ â ÷èñëà èç P , ïîðîæäàÿ òåì ñàìûì àâòîìîðôèçì ïîëÿ P íàä K . Ïðè ýòîì âñå àâòîìîðôèçìû âèäà hg , ãäå h ∈ H , ïîðîæäàþò îäèí è òîò æå àâòîìîðôèçì ïîëÿ P íàä K .
Àâòîìîðôèçìûg1 , g2 ∈ G îñòàâëÿþò ðàçíûå ñëåäû íà P òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g1 g2−1 ∈/ H . Ñëåäîâàòåëüíî,÷èñëî àâòîìîðôèçìîâ P íàä K ðàâíî ÷èñëó ðàçëè÷íûõ ñìåæíûõ êëàññîâ ãðóïïû G ïî íîðìàëüíîìóäåëèòåëþ H ⇒îíî ðàâíî ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ (P : K) = (L : K)/(L : P ) ⇒ ïîëå P íîðìàëüíî íàäK . Èòàê, êàæäîìó ñìåæíîìó êëàññó ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ïîðîæäàåìûé ëþáûì åãî ïðåäñòàâèòåëåìàâòîìîðôèçì P íàä K ýòî è åñòü èçîìîðôèçì ìåæäó G/H è Aut(P, K).
251.7Ðàçðåøèìîñòü àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèéÏóñòü f (x) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n íàä ïîëåì K ⊂ C, è ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (x) èìååò n ïðîñòûõ êîðíåéθ1 , . . . , θn è g ∈ G = Aut(L, K), ãäå L ïîëå ðàçëîæåíèÿ f (x). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî g(θi ) = θσ(i) äëÿíåêîòîðîé ïîäñòàíîâêè σ ∈ Sn . Íåñëîæíî ïðèäòè ê âûâîäó î òîì, ÷òî ãðóïïà G èçîìîðôíà ïîäãðóïïåñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû Sn (ïîýòîìó î íåé îáû÷íî ãîâîðÿò ïðîñòî êàê î ïîäãðóïïå â Sn ).Èçó÷åíèå öåïî÷åê ðàäèêàëüíûõ ðàñøèðåíèé âèäà(∗)ìîæíî ñâåñòè ê èçó÷åíèþ ñïåöèàëüíûõ ïîä-ãðóïï ãðóïïû Ãàëóà íîðìàëüíûõ äåëèòåëåé ñ àáåëåâîé (áîëåå òîãî, äàæå ñ öèêëè÷åñêîé) ôàêòîðãðóïïîé.  ñàìîì äåëå, ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì òàêèõ öåïî÷åê, â êîòîðûõ êàæäîå çâåíîäàåò ïîëå ðàçëîæåíèÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíàxp − aïðè ïðîñòîìp.Ìû óæå çíàåì, ÷òî ãðóïïà Ãàëóàòàêîãî ðàñøèðåíèÿ èìååò íîðìàëüíûé äåëèòåëü ñ öèêëè÷åñêîé (à çíà÷èò, è àáåëåâîé) ôàêòîð-ãðóïïîé. ãðóïïåSnïðèn≥5íîðìàëüíûõ äåëèòåëåé ñ àáåëåâîé ôàêòîð-ãðóïïîé ñëèøêîì ìàëî îäíàëèøü çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà (ñì.
äîêàçàòåëüñòâî â ðàçäåëå 18.13).(4) êîíå÷íîì ñ÷åòå îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ ïðèìåðû íåðàçðåøèìûõ â ðàäèêàëàõ àëãåáðàè÷åñêèõn ≥ 5.Sn .óðàâíåíèé ñòåïåíèÃàëóà ñîâïàäàåò ñ(5)Íåðàçðåøèìûì áóäåò ëþáîå óðàâíåíèå ñòåïåíèn ≥ 5,äëÿ êîòîðîãî ãðóïïàSn íàçûâàåòñÿ òðàíçèòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ íîìåðîâ i, j îò 1 äî nσ ∈ G òàêàÿ, ÷òî σ(i) = j .Óòâåðæäåíèå. Åñëè f (x) íåðàçëîæèìûé ìíîãî÷ëåí íàä ïîëåì K ⊂ C, òî ãðóïïà G = Aut(L, K)èçîìîðôíà íåêîòîðîé òðàíçèòèâíîé ãðóïïå ïîäñòàíîâîê.ÏîäãðóïïàGãðóïïûñóùåñòâóåò ïîäñòàíîâêàÄîêàçàòåëüñòâî.Ìû çíàåì, ÷òî íåðàçëîæèìûé ìíîãî÷ëåí íàäK⊂Cèìååò òîëüêî ïðîñòûå êîðíè.2 Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, âûòåêàåò êîíå÷íîñòü ÷èñëà ïðîìåæóòî÷íûõ ïîëåé.Å.
Å. ÒûðòûøíèêîâÏóñòüαèβ307 ðàçëè÷íûå êîðíèf (x).Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåíΨ(x) =Y(x − g(α)).g∈G ñèëó ôîðìóë Âèåòà, êîýôôèöèåíòûîïèðàÿñü íà ïðåäëîæåíèåΨ(x) îñòàþòñÿ íà ìåñòå ïðè âñåõ àâòîìîðôèçìàõ èç G. Ïîýòîìó,(2), çàêëþ÷àåì, ÷òî îíè ïðèíàäëåæàò ïîëþ K . Ïîñêîëüêó f (α) = Ψ(α) = 0,f (x) è Ψ(x) èìåþò îáùèé êîðåíü ⇒ èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íàä K èìååò ñòåïåíü≥ 1 ⇒ f (x) ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì äëÿ Ψ(x). Ñëåäîâàòåëüíî, β ñîäåðæèòñÿ ñðåäè ýëåìåíòîâ âèäà g(α).2ìíîãî÷ëåíû(6) Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ëþáàÿ òðàíçèòèâíàÿ ïîäãðóïïà G ãðóïïû Sn , ñîäåðæàùàÿ õîòÿ áû îäíó òðàíñïîçèöèþ, ïðè ïðîñòîì n ñîâïàäàåò ñ Sn .Âîò ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà. Ââåäåì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè: i ∼ j ⇔ (ij) ∈ G. Òðàíçèòèâíîñòüäàííîãî îòíîøåíèÿ ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà (ij)(jk)(ij) = (ik).
Òðàíçèòèâíîñòü ãðóïïû G ïîçâîëÿåò äîêàçàòü, ÷òî êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ñîäåðæàò îäíî è òî æå ÷èñëî íîìåðîâ. Ïîýòîìó ïðè ïðîñòîì nèìååòñÿ ðîâíî îäèí êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, G ñîäåðæèò âñå òðàíñïîçèöèè.(7)ÏóñòüK = Q.Ìíîãî÷ëåíðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõθ1 , θ2 , θ3f (x) = x5 − 4x − 2ÿâëÿåòñÿ íàðàçëîæèìûì íàäêîðíÿ è äâà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ êîðíÿζ, ζQè èìååò òðè(äîêàæèòå!). Âäàííîì ñëó÷àå ãðóïïà Ãàëóà òðàíçèòèâíà è ñîäåðæèò òðàíñïîçèöèþ (àâòîìîðôèçì, ïåðåâîäÿùèéζè îñòàâëÿþùèé íà ìåñòåñS5 .θ1 , θ2 , θ3 ).ζâÒàêèì îáðàçîì, äëÿ äàííîãî ìíîãî÷ëåíà ãðóïïà Ãàëóà ñîâïàäàåòÍàøå îáñóæäåíèå ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, ëèøü áåãëûì î÷åðêîì íåêîòîðûõ èäåé, ðàçâèâàåìûõ â äàííîìðàçäåëå àëãåáðû.51.8Íîðìàëüíûå äåëèòåëè ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïûÏðè ïîñòðîåíèè ðàäèêàëüíûõ ðàñøèðåíèé êëþ÷åâóþ ðîëü èãðàþò íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû ñ àáåëåâîéôàêòîð-ãðóïïîé. Ñâÿçàííîå ñ íèìè ñâîéñòâî ïîäãðóïï ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû äîêàçûâàåòñÿ ëåãêî.Óòâåðæäåíèå 1.
Åñëè H íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû G ñ àáåëåâîé ôàêòîð-ãðóïïîé G/H , òîH ñîäåðæèò âñå ýëåìåíòû âèäà aba−1 b−1 , ãäå a, b ∈ G.Äîêàçàòåëüñòâî. H(ab) = H(ba) ⇒ aba−1 b−1 ∈ H. 2Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü H 6= Sn íîðìàëüíûé äåëèòåëü ãðóïïû Sn ñ àáåëåâîé ôàêòîð-ãðóïïîéSn /H , è ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 5. Òîãäà H ñîâïàäàåò ñî çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïîé.Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì äâà òðîéíûõ öèêëà (öèêëà äëèíû 3) a = (ijk), b = (ijm).Òîãäàaba−1 b−1 = (ijk)(ijm)(kji)(mji) = (ij)(km).Çíà÷èò,Hñîäåðæèò âñå ïðîèçâåäåíèÿ ïàð íåçàâèñèìûõ òðàíñïîçèöèé. Ïðèn≥5ïàðû íåçàâèñèìûõòðàíñïîçèöèé ïîðîæäàþò âñå òðîéíûå öèêëû:(ij)(kl) (ik)(jm) (il)(km) = (ikj).Òðîéíûå öèêëû è ïðîèçâåäåíèÿ ïàð íåçàâèñèìûõ òðàíñïîçèöèé ïîðîæäàþò âñå ÷åòíûå ïîäñòàíîâêè.2Îòìåòèì òàêæå (áåç äîêàçàòåëüñòâà), ÷òî ïðèn≥5çíàêîïåðåìåííàÿ ãðóïïà âîîáùå íå îáëàäàåòíîðìàëüíûìè äåëèòåëÿìè, îòëè÷íûìè îò íåå ñàìîé èëè ïîäãðóïïû, ñîñòîÿùåé èç îäíîé ëèøü òîæäåñòâåííîé ïîäñòàíîâêè.
Òàêèå ãðóïïû íàçûâàþòñÿïðîñòûìè.Êëàññèôèêàöèÿ ïðîñòûõ êîíå÷íûõ ãðóïïáûëà çàâåðøåíà ëèøü â 1980-õ ãîäàõ.51.9Ãðóïïû ïðè ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíûõ ìíîãîóãîëüíèêîâÌû óæå èçó÷àëè âîïðîñ î ïîñòðîåíèè ïðàâèëüíîãîn-óãîëüíèêàñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè (ñì.ðàçäåë 16.11) íàïîìíèì, ÷òî îí ñâîäèòñÿ ê ïîñòðîåíèþ ñïåöèàëüíîé öåïî÷êè ðàñøèðåíèé ïîëÿðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîé êàæäîå ïðîìåæóòî÷íîå ïîëå èìååò ñòåïåíü 2 íàä ïðåäûäóùèì ïîëåì.308Ëåêöèÿ 51Öåïî÷êà çàâåðøàåòñÿ ïîñòðîåíèåì ïîëÿ, ñîäåðæàùåãî íóæíîå íàì ÷èñëî äëèíó ñòîðîíû ïðàâèëüíîãîn-óãîëüíèêà.Ñòåïåíü äàííîãî ïîëÿ íàäQñ íåîáõîäèìîñòüþ ðàâíà2k . ñâåòå òåîðèè Ãàëóàýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîêàçàííîå íàìè ðàíåå íåîáõîäèìîå óñëîâèå íà ÷èñëî ñòîðîí (nòåì, ÷òî ãðóïïà Ãàëóà äëÿ êðóãîâîãî ìíîãî÷ëåíà ïðîñòîé ñòåïåíè ñîäåðæèò2k= 2k + 1)âûçâàíîýëåìåíòîâ.×òîáû äîêàçàòü äîñòàòî÷íîñòü ýòîãî óñëîâèÿ, íóæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå óïîìÿíóòîé âûøåñïåöèàëüíîé öåïî÷êè ðàñøèðåíèé ïîëÿQ.Òåîðèÿ Ãàëóà ïîçâîëÿåò ñâåñòè âîïðîñ ê äîêàçàòåëüñòâó2k .
Ïóòü ê äîêàçàòåëüñòâóäîñòàòî÷íîñòè óñëîâèÿ íà ÷èñëî ñòîðîí n îòêðûâàåòñÿ ñëåäóþùèì íàáëþäåíèåì: åñëè ãðóïïà G èìååòïîðÿäîê 2k , òî îíà îáëàäàåò íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà 2.  äåéñòâèòåëüíîñòè èìååò ìåñòî áîëååñóùåñòâîâàíèÿ ñïåöèàëüíîé öåïî÷êè íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï ãðóïïû ïîðÿäêàîáùàÿÒåîðåìà. Ïóñòü ãðóïïà G èìååò ïîðÿäîê pk , ãäå p > 1 ïðîñòîå ÷èñëî.3ìàëüíîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà p.Äîêàçàòåëüñòâî òðåáóåò íåêîòîðîé ïîäãîòîâêè. Ýëåìåíòûåñëèa = hbh−1äëÿ íåêîòîðîãîîòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà(ñêàæåì,m)h ∈ G.a, b ∈ GÒîãäà G îáëàäàåò íîð-íàçûâàþòñÿñîïðÿæåííûìè,Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñîïðÿæåííîñòü ýëåìåíòîâ ýòîG. Ïîýòîìó êîíå÷íàÿ ãðóïïà G ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëàíåïåðåñåêàþùèõñÿ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòèG = K1 ∪ . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
